抛物线的概念与性质.docx
精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号 年 级：高二 辅导科目：数学 课时数：3 课 题抛物线概念与性质教学目标1、掌握抛物线的定义，掌握抛物线的四种标准方程；2、抛物线的对称性、顶点、范围、焦点坐标与准线方程；应用抛物线定义解决一些与焦点 弦长有关的问题。教学内容一、知识梳理1、抛物线的定义定义：平面内与一个定点F与一条定直线定点F不在定直线上的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。思考：如果定点F在定直线上，动点的轨迹是什么？ 2、抛物线的标准方程与性质标准方程图形顶点对称轴焦点准线(0,0)轴(,0)(0,0)轴(-,0)(0,0)轴(0, )(0,0)轴(0,-)我们把上述四种位置的抛物线方程都称为抛物线的标准方程。3、直线与抛物线它们的位置关系无外乎三种情况，即相切、相交、相离。具体来说：1、相离的问题常转化为二次曲线上的点到直线的距离的最大值或最小值来解决；2、只有一个公共点，对抛物线表示直线与其相切或表示与其对称轴平行；3、有两相异的公共点，表示相割，此时直线被截线段称为圆锥曲线的弦。常见的问题有：1直线与圆锥曲线位置关系的研究。 包括位置关系的判定，位置关系与参数值，位置关系与曲线方程等。2直线与圆锥曲线相交成弦的问题。包括弦长的计算，弦的中点，最值，由弦长或弦的中点的几何性质确定直线方程或圆锥曲线的方程，对称性问题等等。弦长的求法：由，弦长.注意：消去可得关于的二元方程有直线斜率.求解的根本策略是，将其转化为直线与圆锥曲线方程的方程组的解的问题，进而转化为一元二次方程的实根问题，因而判别式、韦达定理、弦长公式、焦半径公式的应用，以及设而不求、整体代入、数形结合的思想方法技巧在这里起着极为重要的作用。4、抛物线的特殊性质1过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于、两点，设，O为原点，那么有：1；2；3；4。2直线l交抛物线于、两点，O为原点，假设OAOB，那么直线l经过定点2p，0，反之亦然证明略。二、例题解析1、抛物线的准线为_ ,焦点坐标为_2、圆，与抛物线的准线相切，那么 _23、点M与点F的距离比它到直线:的距离小1，那么点的轨迹方程是 _4、抛物线与椭圆有一个共同的焦点，那么的取值范围是_5、抛物线上一点到轴的距离为12，那么点到焦点的距离为_136、一个正三角形的顶点都在抛物线上，其中一个顶点在原点，那么这个三角形的面积是 A A B C D7、假设点A的坐标是3，2，F为抛物线y2=2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MA|+|MF|取最小值的M的坐标为_(2,2)_8、假设抛物线与双曲线没有公共点，那么实数的取值范围为_9、求顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线3x-4y=12上的抛物线方程。解:直线L与X轴交点(4,0),与Y轴交点(0,-3)所以抛物线方程为焦点弦有关的问题1、是抛物线上的点，是该抛物线的焦点，求证：.说明利用抛物线的定义，将点到焦点的距离转化为到准线的距离，称为抛物线的焦半径.证明：过点作准线的垂线，垂足为，那么.根据抛物线的定义，.2、在抛物线y2=8x上一点到x轴的距离为4，那么该点到焦点F的距离为 63、在抛物线y2=8x上与焦点F的距离等于6的点的坐标为 . 4、过抛物线y 2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1, y 1) ，B(x2, y 2)两点，如果x1+ x2=6，那么|AB|= A A8B10C6 D45、过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，假设线段PF与FQ得长分别是、，那么 等于 C A B C D 解析：考虑特殊位置，令焦点弦PQ平行于轴。6、抛物线上有、三点，是它的焦点，假设、成等差数列，那么 A A 成等差数列 B 成等差数列 C 成等差数列 D 成等差数列7、是抛物线的焦点弦，假设，那么的中点到直线的距离是_8、假设抛物线的焦点弦长为，求焦点弦所在直线方程.说明根据焦半径公式，焦点弦长可以用两个端点的横坐标之与来表示.解：抛物线的焦点为.设焦点弦的两个端点分别为、.由条件，所以.如果直线平行于轴，那么，这与矛盾，所以直线不平行于轴.设焦点弦所在直线方程为，联立方程 消去，得到，根据韦达定理，求出，于是焦点弦所在直线的方程为.9、过抛物线的焦点作抛物线的弦，当时，求直线倾斜角的大小。答案：，所以倾斜角为或10、抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上一点到焦点的距离是，求抛物线的方程、准线方程、焦点坐标以及的值。说明根据点的纵坐标为负值可以确定抛物线开口向下，进而确定抛物线的方程形式.解：设抛物线方程为，其准线方程为.根据抛物线的定义，有，所以. 抛物线的方程为，准线方程为，焦点坐标为，将点的坐标代入方程，算得直线与抛物线1、抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是 A A1，1BCD2，42、过点0,1作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有CA1条B2条C3条D0条3、直线交抛物线于、两点，假设，那么_14、抛物线y 2=4x的弦AB垂直于x轴，假设AB的长为4，那么焦点到AB的距离为 25、过A1，1，且与抛物线有一个公共点的直线方程为 及X=-16、在抛物线中，以为中心的弦所在的直线方程为_7、直线l过点A4,0且与抛物线交于P、Q两点，假设以PQ为直径的圆恒过原点O，求抛物线C的方程。8、给定直线：，抛物线C：。1当抛物线C的焦点在直线上时，确定抛物线C的方程。2假设ABC的三个顶点都在1所确定的抛物线C上，且点A的纵坐标，ABC的重心恰在抛物线C的焦点上，求直线BC的方程。答案：12代入得那么A(8,2),设.直线方程代入,由韦达定理及重心坐标公式求得.9、动圆过定点，且与定直线相切，点在上。1求动圆圆心的轨迹的方程；2设过点且斜率为的直线与曲线相交于、两点，求线段的长；3问：能否为正三角形？假设能，求点的坐标；假设不能，说明理由。解：1因为动圆过定点，且与定直线相切所以由抛物线定义知：圆心的轨迹是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线所以 圆心的轨迹方程为 -4分2由题知，直线的方程为 -6分所以解得： -8分 -10分3假设能为正三角形，那么设点的坐标为 -11分 由题知 13分 即： -14分 由于上述方程无实数解，因此直线上不存在这样的点C。 -16分10、假设抛物线上两点、关于直线对称，且，求的值。答案：11、假设抛物线上存在关于直线x+y=0对称的两点，求a的范围。解析：提示：设Am，n，B-n，-m为抛物线上关于x+y=0对称的两点，那么1-2得 31+3得，故判别式 ，又a0 三、总结与反思四、课后作业1、抛物线的准线方程是 C ABCy=2 Dy=42、与椭圆有一样的焦点，且顶点在原点的抛物线方程是 B A B C D3、A、B是抛物线上两点，O为坐标原点，假设|OA|=|OB|，且AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，那么直线AB的方程是 C Ax=pBCD3p4、抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点到焦点的距离为5，那么抛物线方程为 D A BC D5、抛物线x2=4y，过焦点F，倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，那么线段AB的长为 A A.8 B.4 6、过点M2，4作与抛物线y 2=8x只有一个公共点的直线l有 C A0条B1条C2条D3条7、直线与抛物线交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，那么k的值为 A或2BC2 D8、抛物线y2=8x的焦点为F、P在抛物线上，假设|PF|=5，那么P点的坐标为 C A. (3，2) B.(3，-2)C.(3，2)或(3，-2) D.(-3，2)或(-3，-2)9、设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，假设那么|FA|+|FB|+|FC|= B(A)9(B)6(C) 4 (D) 310、动圆经过点且与直线：相切，那么的轨迹方程为 11、假设点M到点的距离比它到直线的距离大1，那么点M的轨迹方程为 或12、抛物线上的两点A、B到焦点的距离之与为10，那么线段AB中点到y轴的距离为 413、顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线上的抛物线方程是 或14、等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OAOB，那么AOB的面积为 15、抛物线y=4x2 上的点到直线y=4x5的最近距离是 16、顶点在原点，焦点在轴上的抛物线，截直线所得弦长为，求抛物线方程。答案：或17、直线与抛物线交于两点，(1)假设，求的值；(2)假设，求的值.解：设(1) -1分-2分，-2分，-1分(2) ，-1分，-2分，-2分经检验满足-1分第 13 页
