排列组合总结.docx

排列组合常见题型及解题策略一可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客，能重复的元素看作“店，那么通过“住店法可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】 1有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？2有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？3将3封不同的信投入4个不同的邮筒，那么有多少种不同投法？【解析】：12 3【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有种不同方案.【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有 A、 B、 C、 D、【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店，3项冠军看作3个“客，他们都可能住进任意一家“店，每个“客有8种可能，因此共有种不同的结果。所以选A二相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有 【解析】：把视为一人，且固定在的右边，那么此题相当于4人的全排列，种【例2】2021四川卷理3位男生与3位女生共6位同学站成一排，假设男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，那么不同排法的种数是 A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有， 种其中男生甲站两端的有，符合条件的排法故共有288 三相离问题插空法 ：元素相离即不相邻问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位与两端.【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是种【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法具体数字作答【解析】： 【例3】 高三一班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目与1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，那么不同排法的种数是 【解析】：不同排法的种数为3600【例4】 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进展，工程丙必须在工程乙完成后才能进展，有工程丁必须在工程丙完成后立即进展。那么安排这6项工程的不同排法种数是 【解析】：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中，可得有20种不同排法。【例5】某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾有关的节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，那么该晚会的节目单的编排总数为 种.【解析】： 【例6】.马路上有编号为1，2，3，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？【解析】：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.【例7】 3个人坐在一排8个椅子上，假设每个人左右两边都有空位，那么坐法的种数有多少种？【解析】： 解法1、先将3个人各带一把椅子进展全排列有A，*，在四个空中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A种，所以每个人左右两边都空位的排法有=24种.解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，*再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有A=24种.【例8】 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种？【解析】：先排好8辆车有A种方法，要求空车位置连在一起，那么在每2辆之间及其两端的9个空档中任选一个，将空车位置插入有C种方法，所以共有CA种方法. 注：题中*表示元素，表示空.四元素分析法位置分析法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。【例1】 2021年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，假设其中小张与小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，那么不同的选派方案共有 A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种【解析】：方法一： 从后两项工作出发，采取位置分析法。 方法二：分两类：假设小张或小赵入选，那么有选法；假设小张、小赵都入选，那么有选法，共有选法36种，选A.【例2】 1名教师与4名获奖同学排成一排照相留念，假设教师不站两端那么有不同的排法有多少种？【解析】：教师在中间三个位置上选一个有种，4名同学在其余4个位置上有种方法；所以共有种。.【例3】 有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？【解析】 法一： 法二： 法三：五多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。【例1】1 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是 A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种2把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为AB CD 38个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？【解析】：1前后两排可看成一排的两段，因此此题可看成6个不同的元素排成一排，共种，选. 2答案：C3看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有种，其余5个元素任排5个位置上有种，故共有种排法.五定序问题缩倍法等几率法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.【例1】.五人并排站成一排，如果必须站在的右边可以不相邻那么不同的排法种数是 【解析】：在的右边与在的左边排法数一样，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即种【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的插法？【解析】：法一： 法二：【例3】将A、B、C、D、E、F这6个字母排成一排，假设A、B、C必须按A在前，B居中，C在后的原那么A、B、C允许不相邻，有多少种不同的排法？ 【解析】：法一： 法二： 六标号排位问题不配对问题 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.【例1】 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，那么每个方格的标号与所填数字均不一样的填法有 A、6种 B、9种 C、11种 D、23种【解析】：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选.【例2】 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是 A 10种 B 20种 C 30种 D 60种 答案：B【例3】：同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，那么4张贺年卡不同的分配方式共有( ) A6种B9种C11种D23种 【解析】：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。 第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式； 第二步，假设甲取b，那么乙的取法可分两类：1乙取a，那么接下来丙、丁取法都是唯一的，2乙取c或d2种方式，不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。根据加法原理与乘法原理，一共有种分配方式。 应选B【例4】：五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有( )A60种B44种C36种D24种 答案：B 六不同元素的分配问题先分堆再分配：注意平均分堆的算法【例1】 有6本不同的书按以下分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？（1） 分成1本、2本、3本三组；（2） 分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；（3） 分成每组都是2本的三个组；（4） 分给甲、乙、丙三人，每个人2本；（5） 分给5人每人至少1本。【解析】：1 2 3 4 5【例2】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，那么不同的分配方案有 种用数字作答【解析】：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有;第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有所以满足条件得分配的方案有说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.【例3】 5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，那么不同的分派方法共有 A150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种 【解析】：人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式，假设是1,2,2，那么有60种，假设是1,1,3，那么有90种，所以共有150种，选A【例4】 将9个含甲、乙平均分成三组，甲、乙分在同一组，那么不同分组方法的种数为 A70B140C280D840 答案： A 【例5】 将5名实习教师分配到高一年级的个班实习，每班至少名，最多名，那么不同的分配方案有 A种B种 C种D种【解析】：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，那么将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有种方法，再将3组分到3个班，共有种不同的分配方案，选B.【例6】 某外商方案在四个候选城市投资3个不同的工程,且在同一个城市投资的工程不超过2个,那么该外商不同的投资方案有 种 A16种 B36种 C42种 D60种【解析】：按条件工程可分配为与的构造， 应选D；【例7】15本不同的书，全局部给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为 A、480种 B、240种 C、120种 D、96种 答案：.212名同学分别到三个不同的路口进展车流量的调查，假设每个路口4人，那么不同的分配方案有多少种？答案：【例8】 有甲乙丙三项任务，甲需2人承当，乙丙各需一人承当，从10人中选出4人承当这三项任务，不同的选法种数是 A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种【解析】：先从10人中选出2人承当甲项任务，再从剩下的8人中选1人承当乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承当丙项任务，不同的选法共有种，选.【例9】.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建立，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？【解析】：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：假设甲乙都不参加，那么有派遣方案种；假设甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有方法，所以共有；假设乙参加而甲不参加同理也有种；假设甲乙都参加，那么先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另两个城市有种，共有方法.所以共有不同的派遣方法总数为种【例10】 四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，那么恰有一个空盒的放法有多少种？【解析】：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有种，再排：在四个盒中每次排3个有种，故共有种.七一样元素的分配问题隔板法：【例1】：把20个一样的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，那么有多少种不同的放法？【解析】：向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有种。【例2】 10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？【解析】：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个一样的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为种.变式1：7个一样的小球，任意放入四个不同的盒子，问每个盒子都不空的放法有 种变式2：马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盏路灯，为节约用电，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯方法有 种【例3】：将4个一样的白球、5个一样的黑球、6个一样的红球放入4各不同的盒子中的3个中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？【解析】： 1、先从4个盒子中选三个放置小球有种方法。2、注意到小球都是一样的，我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以在4个一样的白球、5个一样的黑球、6个一样的红球所产生的3个、4个5个空挡中分别插入两个板。各有、种方法。3、由分步计数原理可得=720种第 - 13 - 页