八上培优半角模型.doc

八上培优5 半角模型 方法 ：截长补短图形中，往往出现90°套45°的情况，或者120°套60°的情况。还有套的情况。求证的结论一般是线段的与与差。解决的方法是：截长补短构造全等三角形。旋转移位造全等，翻折分割构全等。截长法，补短法。勤学早与新观察均有专题。勤学早在第49页，新观察在第34页，新观察培优也有涉及，在第27页2两个例题，29页有习题。这些题大同小异，只是图形略有变化而已。证明过程一般要证明两次全等。下面是新观察第34页14题1.如图，四边形ABCD中，A=C=90，D=60，AB=BC，E、F，分别在AD、CD上，且EBF=60求证：EF=AE+CF2.如图2，在上题中，假设E、F分别在AD、DC的延长线上，其余条件不变，求证：AE=EF+CF3.如图 ，A=B=90°, CA=CB=4, ACB=120°，ECF=60°，AE=3, BF=2, 求五边形ABCDE的面积.4如图1在四边形ABCD中AB=AD，B+D=180，E、F分别是边BC、CD上的点，且BAD=2EAF1求证：EF=BE+DF；2在1问中，假设将AEF绕点A逆时针旋转，当点E、F分别运动到BC、CD延长线上时，如图2所示，试探究EF、BE、DF之间的数量关系3.如图3，在四边形ABDC中，B+C=180°，DB=DC，BDC=120°，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明勤学早第40页试题1.1如图，AB= AC, BAC=90°，  MAN=45°, 过点C作NC AC交AN于点N，过点B作BM 垂直AB交AM于点M，当MAN在BAC内部时，求证：BM+CN =MN; 证明: 延长MB到点G，使BG=CN,连接AG，证ABGACN(SAS),AN=AG,BAG= ,NAC. LGAM=GAB + BAM=CAN+ BAM=45°= LMAN,证AMNAMG(SAS), 'MN= MG= BM + BG= BM十NC.证明二：(此证明方法见新观察培优第27页例3)(2)如图,在(1)的条件下，当AM与AN在AB两侧时，(1)的结论是否成立请说明理由.解:不成立，结论是:MN=CN一BM,证明略.根本模型二 120°套 60°2. 如图，ABC中,CA=CB,ACB=120°,E为AB上一点，DCE=60°,DAE= 120°，求证:DE=BE证明:(补短法)延长EB至点F,使BF=AD,连接CF,那么CBFCAD，CEDCEF,.DE- AD=EF- BF= BE.,ABC中,CA=CB,ACB=120°，点E为AB上一点，DCE=DAE= 60°，求证:AD+DE= BE.证明:(截长法)在BE上截取BF=AD,连接CF，易证CBFCAD，CEDACEF, DE= EF, AD+DE= BF+EF=BE.比拟：新观察培优版27页 例4如 图，ABC是边长为1的等边三角形，BDC是顶角，BDC= 120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于M、N, 连结MN, 试求AMN的周长. 分析:由于MDN=60°,BDC=120°，所以BDM十CDN=60°，注意到DB=DC，考虑运用“旋转法将BDM与CDN移到一起，寻找全等三角形。另一方面,AMN的周长AM+AN + MN= AB+ AC+MN-BM- CN. 猜测MN= BM+CN,证三角形全等解决.新观察培优68页 例5 如图， 点A、B(2,0)在x轴上原点两侧, C在y轴正半轴上, OC平分ACB.(1)求A点坐标;(2)如图1, AQ在CAB内部，P是AQ上一点， 满足ACB=AQB, AP=BQ. 试判断CPQ的形状，并予以证明;(3)如图2. BDBC交y轴负半轴于D. BDO=60°, F为线段AC上一动点，E在CB延长线上，满足CFD+E=180°. 当F在AC上移动时，结论: CE+CF值不变; CE- CF 值不变，其中只有一个正确结论，请选出正确结论并求其值.分析:(1)由A0CBOC得AO= BO=2, A(- 2,0).(2)由ACPBCQ得CP=CQ.(3)由BDBC,BDO=60°，可证得等边BC的条件,运用对称性知DA AC, 连结DA, 加上条件CFD+E=180°，可证得ADFBDE, 于是CE+CF=2AC= 2AB= 8.根本模型三 2°套°4.(1)如图1，在四边形ABCD中， AB=AD,B+D=180°, E,F分别是BC,CD上的点，且EAF= BAD, 求证:EF= BE+ DF;(2)如图2,在(1)的条件下,假设将AEF绕点A逆时针旋转，当点E,F分别运动到BC,CD延长线上时，那么EF,BE,DF之间的数量关系是EF=BE- DF解:(1)EF=BE+DF, 延长FD到点G，使DG=BE,连接AG,证ABEADG (SAS), .AE = AG,BAE=DAG，EAF=BAD,GAF=DAG+DAF=BAE+DAF= BAD- EAF= EAF, 'EAF= GAF,证AEFGAF(SAS),.EF= FG, FG=DG+ DF=BE+ DF,EF=BE +DF;(2)EF=BE DF.外地试题：4探究：如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，EAF=45°，连结EF，求证：EF=BE+DF应用：如图，在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，AB=AD，B+D=90°，EAF=BAD，假设EF=3，BE=2，那么DF= 5通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可到达解一题知一类的目的下面是一个案例，请补充完整原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，EAF=45°，连接EF，求证：EF=BE+DF1思路梳理AB=AD，把ABE绕点A逆时针旋转90°至ADG，可使AB与AD重合ADG=B=90°，FDG=ADG+ADC=180°，那么点F、D、G共线根据 SAS，易证AFG AFE，从而得EF=BE+DF；2类比引申如图2，四边形ABCD中，AB=AD，BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，EAF=45°假设B、D都不是直角，但当B与D满足等量关系 B+D=180°时，仍有EF=BE+DF，请给出证明；3联想拓展如图3，在ABC中，BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且DAE=45°，猜测BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程71如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，B=D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且AE=AF，EAF=BAD现有三种添加辅助线的方式：延长EB至G，使BG=BE，连接AG；延长FD至G，使DG=BE，连接AG；过点A作AGEF，垂足为G；选择其中一种方法添加辅助线，求证：EF=BE+FD；2如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，假设B+D=180°，EAF=BAD，证明1中结论是否还成立？3如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，B+ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且EAF=BAD，1中的结论是否仍然成立？假设成立，请证明；假设不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明81如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，B=D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=BAD求证：EF=BE+FD2如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=BAD，1中的结论是否仍然成立？假设成立，请证明；假设不成立，请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明3如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，B+ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且EAF=BAD，1中的结论是否仍然成立？假设成立，请证明；假设不成立，请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明半角模型问题放到平面直角坐标系中是什么样子？1如图1，在平面直角坐标系中，AOB为等腰直角三角形，A4，41求B点坐标；2如图2，假设C为x正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角ACD，ACD=90°，连接OD，求AOD的度数；3如图3，过点A作y轴的垂线交y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰RtEGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连FM，等式AM=FM+OF是否成立？假设成立，请说明；假设不成立，说明理由第 - 17 - 页解：1如下图，作AEOB于E，A4，4，OE=4，AOB为等腰直角三角形，且AEOB，OE=EB=4，OB=8，B8，0；2如下图，作AEOB于E，DFOB于F， ACD为等腰直角三角形，AC=DC，ACD=90°即ACF+DCF=90°，FDC+DCF=90°，ACF=FDC，又DFC=AEC=90°，DFCCEAAAS，EC=DF=4，FC=AE，A4，4，AE=OE=4，FC=OE，即OF+EF=CE+EF，OF=CE，OF=DF，DOF=45°，AOB为等腰直角三角形，AOB=45°，AOD=AOB+DOF=90°；3AM=FM+OF成立，理由：如下图，在AM上截取AN=OF，连ENA4，4，AE=OE=4，又EAN=EOF=90°，AN=OF，EANEOFSAS，OEF=AEN，EF=EN，又EGH为等腰直角三角形，GEH=45°，即OEF+OEM=45°，AEN+OEM=45°又AEO=90°，NEM=45°=FEM，又EM=EM，NEMFEMSAS，MN=MF，AM-MF=AM-MN=AN，AM-MF=OF，即AM=FM+OF；【点评】此题考察三角形综合题、全等三角形的判定、等腰三角形的性质与坐标与图形性质的综合应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型2如图，直线L交x轴、y轴分别于A、B两点，Aa，0B0，b，且a-b2+|b-4|=01求A、B两点坐标；2C为线段AB上一点，C点的横坐标是3，P是y轴正半轴上一点，且满足OCP=45°，求P点坐标；3在2的条件下，过B作BDOC，交OC、OA分别于F、D两点，E为OA上一点，且CEA=BDO，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由1解：a-b2+|b-4|=0，a-b=0，b-4=0，a=4，b=4，A4，0，B0，4；23如图，Aa，b，ABy轴于B，且满足|a-2|+b-22=0，1求A点坐标；2如图1，分别以AB，AO为边作等边三角形ABC与AOD，试判定线段AC与DC的数量关系与位置关系，并说明理由；3如图2，过A作AEx轴于E，点F、G分别为线段OE、AE上两个动点，满足FBG=45°，试探究的值是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，请说明理由2021-2021江汉期中 如图点P为ABC的外角BCD的平分线上一点，PA=PB1求证：PAC=PBC；2作PEBC于E，假设AC=5，BC=11，求SPCE：SPBE；3假设M、N分别是边AC、BC上的点，且MPN=APB，那么线段AM、MN、BN之间有何数量关系，并说明理由解：1如图1，过点P作PEBC于E，PFAC于F，PC平分DCB，PE=PF，在RtPAF与RtPEB中，PFPEPAPB，RtPAFRtPEB，PAC=PBC，2如图2，过点P作PFAC于F，PEBC，CP是BCD的平分线，PE=PF，PCF=PCE，PC=PC，PCFPCE，CF=CE，由1知，RtPAFRtPEB，AF=BE，AF=AC+CF，BE=BC-CE，AC+CF=BC-CE，5+CF=11-CE，CE=CF=3，PFCPEC，SPFC=SPEC，RtPAFRtPEB，SPAF=SPEB，SPCE：SPBE=SPFC：SPFA=CF×PF：AC×PF=CF：AC=3：3+5=3：8；3如图3，在BC上截取BQ=AM，在PMA与PQB中，PMAPQB，PM=PQ，MPA=QPB，APM+QPA=APQ+QPB，即：APB=MPQ，MPN=APB，MPN=MPQ，MPN=QPN，在MPN与QPC中，MPNQPC，MN=QN，BN=AM+MN【点评】此题是三角形综合题，主要考察了全等三角形的判定与性质，角平分线定理与角平分线的定义，解1的关键是判断出PE=PF，解2的关键是求出CE=CF=3，解3的关键是构造全等三角形判断出APB=MPQ，是一道中等难度的中考常考题2021 -2021江岸八上期末 在ABC中，AB=AC，射线BM、BN在ABC内部，分别交线段AC于点G、H1如图1，假设ABC=60°、MBN=30°，作AEBN于点D，分别交BC、BM于点E、F求证：CE=AG；假设BF=2AF，连接CF，求CFE的度数；2如图2，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，假设BFE=BAC=2CFE，直接写出= 【分析】1由AB=AC，ABC=60°得到ABC为等边三角形，根据等边三角形的性质得到BAC=ACB=60°，AB=CA，求得BFD=AFG=60°，推出EAC=GBA证得GBAEAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；如图1，取BF的中点K连接AK，由BF=2AF，推出FAK是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到FAK=FKA，求得AKFBFD30°，根据全等三角形的性质得到AG=CE，BG=AE，AGB=AEC，推出GAKEFC，根据全等三角形的性质得到CFE=AKF即可得到结论；2如图2，在BF上取BK=AF，连接AK，推出EAC=FBA，根据全等三角形的性质得到SABK=SACF，AKB=AFC，证得FAK是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到AF=FK，即可得到结论【解答】解：1AB=AC，ABC=60°ABC为等边三角形，那么BAC=ACB=60°，AB=CA，ADBN，MBN=30°，BFD=AFG=60°，ABF+BAF=60°，BAF+EAC=60°EAC=GBA在GBA与EAC中，GBAEACABCAGABECA，GBAEAC，CE=AG；如图1，取BF的中点K连接AK，BF=2AF，AF=BK=FK=BF，FAK是等腰三角形，FAK=FKA，BFD=FAK+FKA=2AKF，BFD=60°，AKFBFD30°，GBAEAC，AG=CE，BG=AE，AGB=AEC，KG=BG-BK=AE-AF=FE，在GAK与EFC中，AGCEAGBAECKGFE，GAKEFC，CFE=AKF，CFE=AKF=30°；方法二：只要证明ADBBFC即可解决问题；2如图2，在BF上取BK=AF，连接AK，BFE=BAF+ABF，BFE=BAC，BAF+EAC=BAF+ABF，EAC=FBA，在ABK与ACF中，ABACABKFACBKAF，ABKAFC，SABK=SACF，AKB=AFC，BFE=2CFE，BFE=2AKF，BFE=2AKF=AKF+KAF，AKF=KAF，FAK是等腰三角形，AF=FK，BK=AF=FK，SABK=SAFK，SABF=SABK+SAFK=2SABK=2SACF，=2故答案为：2