含参方程的解法.doc

含参方程的解法一题多解训练，就是启发与引导同学们从不同的角度、不同的思路，用不同的方法与不同的运算过程去分析、解答同一道数学题的练习活动，从而提高综合运用已学知识解答数学问题的技巧，锻炼思维的灵活性，促进同学们长知识、长智慧，开阔同学们的思路，引导同学们灵活地掌握知识之间的纵横联系，培养与发挥创造性.例假设方程x2xk在区间(1,1)内有实数解，试求实数k的取值范围.分析此题考察方程在区间内有实数解，考察根的分布问题，由于函数与方程的关系密切，所以解决此题可以利用根的分布得出满足条件的不等式，进而求解；也可以通过构造函数，利用数形结合思想求解.所以有以下几种方法.解方法一令f(x)x2xk.假设方程x2xk在区间(1,1)内有两个实数解，那么有解得k<.假设方程x2xk在区间(1,1)内有一个实数解，那么有f(1)·f(1)<0，或或解得k<.综上所述，实数k的取值范围为，).评注本方法是利用根的分布，分别讨论有一解、两解的情况，最后把解集取并集即可.方法二因为f(x)x2xk的对称轴x(1,1)，更确切地说，x在(0,1)内，所以方程x2xk在区间(1,1)内有实数解满足的条件是解得k<.所以实数k的取值范围为，).评注该解法的特点是发现了此题的特殊性，即对称轴在的区间内，从而迅速将难题破解.方法三假设方程x2xk在(1,1)内有实数解，令yx2x，x(1,1)的值域为M，那么原方程在(1,1)内有实数解，只需kM即可.根据函数yx2x的对称轴为x，且x(1,1)，可知函数在x处取得最小值，即ymin()2×；函数在x1处取得最大值，即ymax1.所以k<.所以实数k的取值范围为，).评注该解法的妙处在于将原问题转化为求二次函数的值域问题，运用了化归与转化思想，而对于值域问题的处理，也就简单多了.方法四令f(x)x2x，x(1,1)，g(x)k.假设方程x2xk在(1,1)内有实数解，那么只需f(x)与g(x)的图象在(1,1)内有交点即可，如下图.显然k<.所以实数k的取值范围为，).评注该解法很好地将一个代数问题转化为图象交点问题，运用了数形结合的思想，而且该解法还能进一步对解的个数进展讨论.第 4 页