放缩法证明数列不等式.doc

放缩法证明数列不等式一、根底知识：1、放缩法证明数列不等式的理论依据不等式的性质：1传递性：假设，那么2假设，那么，此性质可推广到多项求与：假设，那么: 3假设需要用到乘法，那么对应性质为：假设，那么，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均一样2、放缩的技巧与方法：1与求与相关的不等式的放缩技巧： 在数列中，“求与看通项，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小应与所证的不等号同方向 在放缩时，对通项公式的变形要向可求与数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进展靠拢。 假设放缩后求与发现放“过了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进展设计，选择放缩程度更小的方式再进展尝试。2放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧： 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项或等距离间隔项 等比数列：所面对的问题通常为“常数的形式，所构造的等比数列的公比也要满足 ，如果题目条件无法表达出放缩的目标，那么可从所证不等式的常数入手，常数可视为的形式，然后猜测构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进展比拟，看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数，即可猜测该等比数列的首项为，公比为，即通项公式为 。注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能到达放缩效果，所以是否选择利用等比数列进展放缩，受数列通项公式的构造影响3与数列中的项相关的不等式问题： 此类问题往往从递推公式入手，假设需要放缩也是考虑对递推公式进展变形 在有些关于项的不等式证明中，可向求与问题进展划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加或“累乘的形式，即或累乘时要求不等式两侧均为正数，然后通过“累加或“累乘到达一侧为，另一侧为求与的结果，进而完成证明3、常见的放缩变形：1，其中：可称为“进可攻，退可守，可依照所证不等式不等号的方向进展选择。注：对于，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特征的数列，例如：，这种放缩的尺度要小于1中的式子。此外还可以构造放缩程度更小的，如：2，从而有：注：对于还可放缩为：3分子分母同加常数：此结论容易记混，通常在解题时，这种方法作为一种思考的方向，到了具体问题时不妨先构造出形式再验证不等关系。4 可推广为：二、典型例题：例1 设，数列的前项与为，求证： 例2：，求证：对任意的且，有 提示例3：数列满足：证明：对于一切正整数，均有思路：所证不等式可化简为：，由于是连乘形式，所以考虑放缩为分子分母可相消的特点，观察分母的形式为，所以结合不等号方向，将分子向该形式转化：，再根据右边的值对左边放缩的程度进展调整即可。证明：所证不等式为：等价于证明：设 即不等式得证第 - 3 - 页