定积分的概念与性质习题.doc

1利用定积分的定义计算以下积分：【解】第一步：分割在区间中插入个等分点：，将区间分为个等长的小区间，每个小区间的长度均为，取每个小区间的右端点，第二步：求与对于函数，构造与式第三步：取极限令求极限即得 。【解】第一步：分割在区间中插入个等分点：，将区间分为个等长的小区间，每个小区间的长度均为，取每个小区间的右端点，第二步：求与对于函数，构造与式由于数列为等比数列，其首项为，公比为，可知其前项与为，于是第三步：取极限令求极限即得 。2利用定积分的几何意义，证明以下等式：【证明】定积分的几何意义是由直线，及轴围成的三角形的面积，如图可见 即知，。证毕。【证明】定积分的几何意义是由圆弧与轴及轴所围成的四分之一圆形的面积，如图可见 。证毕。【证明】定积分的几何意义是由正弦曲线在上的一段与轴所围成的图形的面积，如图可见 图形由两块全等图形组成，其中位于轴下方，位于轴上方，显见，从而，证毕。【证明】定积分的几何意义是由余弦曲线在上的一段与轴所围成的图形的面积，如左图所示，为,而定积分的几何意义是由余弦曲线在上的一段与轴所围成的图形的面积，如右图所示，为,由于曲线关于轴对称，可知，亦即，即知。证毕。3，试用矩形法公式，求出的近似值取，计算时取4位小数。【解】矩形法公式为，其中，而为区间的个等分点。于是，在区间插入个等分点，对于，求出，于是，当时，4证明定积分性质：【证明】在区间中插入个等分点：，每个小区间的长度均为，对于函数，有： - 定积分的定义 - 加法结合律 - 极限运算法那么 - 定积分的定义【证明】在区间中插入个等分点：，每个小区间的长度均为，对于函数，构造与式即由定积分定义得 。再由上的结论，即得。综上得：，证毕。5估计以下积分的值：【解】函数在区间上，有恒成立，知在区间上单调减少，于是有，亦即，从而得 ，亦即。【解】函数，由得，而知，从而，即知，亦即，从而得 ，亦即。【解】函数在区间上，有恒成立，知在区间上单调增加，于是有 ，亦即 ，整理得 从而得 ，亦即。【解】注意到，函数在区间上，有，得唯一驻点，无不可导点，比照，知在区间上有，于是有 ，亦即 。6设及在闭区间上连续，证明：假设在上，且，那么在上；【证明】反证法：设有，使不成立，那么由题设在上，不妨设时，于是，由于在上连续，知在上可积，即由曲边梯形面积定义知，但由于在上，即知在与上，有，于是由定积分性质5.1.4知，有，从而由亦即，得到，这与上面的相矛盾，从而假设不成立，即使命题得证成立。假设在上，且，那么；【证明】由定积分性质5.1.5，假设在上，那么，因此，下面只须由证明，应用反证法，设，那么由的已证命题，由在上，且，那么在上，这与相矛盾，可知假设不成立，从而命题得证。假设在上，且，那么在上。【证明】设，即由题设得，于是，待证命题转换成为：在上，且，那么在上，而这是已证命题，从而命题得证成立。7根据定积分的性质及上题的结论比拟以下各组积分的大小：【解】当时，对不等式两端同乘，得，亦即，即由定积分的性质推论5.1.1得 。【解】令，即有，易见当时，成立，知函数在上单调增加，又因，知当时，有，亦即当时，成立，即由定积分的性质推论5.1.1得 。【解】令，即有，由于是增函数，由得，亦即当时，从而知函数在上单调增加，而，可知在上恒成立，亦即当时，即由定积分的性质推论5.1.1得 。【解】由于，而当 时，使得，比照即得 。第 8 页