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矩阵初等变换及应用 王法辉摘要：矩阵初等变换是高等代数的重要组成局部。本文对初等变换进展了研究探讨，详细介绍了及矩阵初等变换有关的根底知识。在阐述矩阵初等变换方法及应用原理的根底上，首先重点讨论该方法在解决高等代数相关计算问题上的应用，如求多项式的最大公因式、求逆矩阵解矩阵方程、求解线性方程组、判定向量的线性相关性、化二次型为标准型、求空间的基等。尤其是利用矩阵初等变换法求空间的基(解空间、特征子空间、核、值域等)的问题的计算,以具体实例生动的展示出问题的内在关系,最后给出了该方法在解决实际问题中的应用。本文理论分析及实际相结合，凸现了矩阵初等变换法直接、便利、有效的威力及作用。关键词：矩阵初等变换；最大公因式；线性相关性；二次型；空间的基1 导言 在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵与增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。在数学的学习与应用中，矩阵理论是高等代数的重要组成局部，矩阵初等变换方法更是贯穿高等代数理论的始终。应用初等变换证明命题过程容易被承受，同时也是解决高等代数相关计算问题最直接、便利、有效的方法。此外，还有大量的各种各样的，外表上看完全没有联系的问题的解决,都可以通过一样的方法实现：矩阵的初等变换。因此，对矩阵初等变换方法及应用进展探讨，无疑是十分必要与重要的。目前，有许多文献涉及到对矩阵初等变换方法该的讨论，但比拟零散。在研读文献的根底上，对矩阵初等变换的内涵进一步挖掘，使矩阵初等变换方法的威力作用得以充分展示是重要也是必要的。2 矩阵及其初等变换 矩阵由个数=1,2, ,=1,2,排成行列的数表称为行列的矩阵，简称矩阵。 矩阵的初等变换及初等矩阵矩阵有行列之分，因此有如下定义定义1 矩阵的初等行列变换是指如下三种变换(1)交换矩阵某两行列的位置，记为 ；(2)把某一行列的倍加到另一行列上，记为 ； (3)用一个非零常数乘以某一行列，记为 ，k0； 矩阵的初等行变换及初等列变换统称为矩阵的初等变换。定义2 由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。有以下3种形式(1)互换矩阵的行与行的位置，得(2)用数域种非零数乘的行，得(3)把矩阵的行的倍加到行，有定义3 如果可以由经过一系列初等变换得到，矩阵及称为等价的。 矩阵初等变换的假设干性质矩阵的初等变换改变了矩阵的元素,但矩阵初等变换具有以下性质1对矩阵施行初等行列变换，其列行向量组之间的线性关系保持不变。2对矩阵施行初等行变换相当于左乘相应的初等矩阵，施行初等列变换相当于右乘相应的初等矩阵。3可逆矩阵可以表示成一系列初等矩阵的乘积。初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵。4初等变换不改变矩阵的秩。3 矩阵初等变换在高等代数计算问题中的应用矩阵初等变换及线性方程组的求解密不可分，不仅给解线性方程组带来了极大方便，同时也开展与完善了矩阵理论本身，极大丰富了矩阵理论的应用领域。矩阵的初等变换方法更是贯穿高等代数理论的始终，在高等代数有关理论的证明及相关计算问题中更是起着巨大的作用。3.1 求多项式的最大公因式 根本概念以表示数域上的一元多项式环。定义1最大公因式 设是中两个多项式，中多项式称为的一个最大公因式，如果它满足(1) 是的公因式；(2) 的公因式全是的因式。定义2 以中的一元多项式为元素的矩阵称为多项式矩阵。定义3 以下3种变换称为多项式矩阵的初等行变换(1) 交换多项式矩阵的某两行；(2) 用零次多项式(中不等于零的数)乘以多项式矩阵的某一行；(3) 用一个多项式乘以多项式矩阵的某一行再加到另一行。且分别称以上三种变换为第1类，第2类，第3类多项式矩阵的初等行变换。所说的初等行变换总是指多项式矩阵的行初等变换，所说的矩阵总是指多项式矩阵。3.1.2 主要结果在高等代数中，求数域P上两个多项式的最大公因式通常是利用辗转相除法，当多项式的次数较高时，辗转相除法计算较繁琐。由于多项式辗转相除法主要表现为系数间的运算，因此通常利用别离系数法，使运算相对简化。同样地，为了简化求多项式最大公因式的运算，考虑将要求最大公因式的两个多项式的系数及二行矩阵表示式对应起来。考虑中的多项式其中 ,引入如下记号当时,；当时，,。由于多项式的最大公因式具有以下根本性质1 ,=,；2 假设,=1，那么,=,；3,=, ；因此，如上引入的二行矩阵反映了以下事实1交换二行矩阵两行的位置，得到的矩阵仍然对应这两个多项式的最大公因式；2二行矩阵某一行的倍加于另一行得到的矩阵仍然对应这两个多项式的最大公因式。上述事实意味着数域上多项式的最大公因式,可以利用二行矩阵进展初等行变换求得。具体实施步骤为1根据多项式的系数作出,对应的二行矩阵；2利用第1、2类初等行变换使得二行矩阵中的行出现端首(左端或右端)为0；3向左(或向右)平移二行矩阵中某行，使得这一行端首的0去掉。这说明,的次数在降低。反复利用1、2、3直到出现二行矩阵的两行元素对应成比例为止。 计算举例例1 数域上的一元多项式求。解 构造二行矩阵并实施初等行变换 第二行元素共轮换过3次，所以最大公因式为。例2 求多项式，的最大公因式。解 构造三行矩阵并进展初等行变换所以。3.2 求逆矩阵 解矩阵方程 可逆矩阵定义假设对级矩阵有级矩阵使那么称是可逆的，称为的可逆矩阵。其中为级单位矩阵。 初等变换求逆的原理与步骤由于可逆矩阵可表示为一系列初等矩阵的乘积，故由有因此有如下求逆步骤1构造的矩阵；2对上述矩阵实行初等行变换，当用初等行变换把化为单位阵，那么的位置变成的逆矩阵，即需要指出的是在此过程中只能用初等行变换。如果用列变换，那么需把置于的下方变成矩阵且只能使用列变换把化为单位矩阵，同时化为的逆矩阵，即利用及求逆矩阵一样的原理，矩阵初等变换可用于解矩阵方程。 计算举例例1 求A=的逆矩阵。解 构造矩阵，由得=例2 设=，=，求使得解 构造矩阵并实施初等行变换得 =3.3 求解线性方程组 有关概念及结论考虑元线性方程组并记那么得方程组的矩阵形式。称一下三种变换：（1） 用一非零的数乘以某方程；（2） 把一个方程的倍数加到另一个方程；（3） 互换两个方程的位置；为线性方程组的初等变换。利用方程组的初等变换求解线性方程组的过程的矩阵描述即为对系数矩阵或者增广矩阵进展初等行变换的过程。有关结论1有解，且当时，有唯一解；当时，有无穷多解。2恒有解，当时，有唯一零解；当时，有非零解。3.3.2 计算实例例1 求解齐次线性方程组解对方程组的系数矩阵矩阵施行初等行变换 同解的方程组其中，为自由未知量，设为任意实数那么通解为例2 求解非齐次线性方程组解 对增广矩阵施行初等行变换，所以方程组有无穷多解。同解方程组， 为自由未知量，方程组的通解=+， 为任意实数。 判定向量组的线性关系 求向量组的极大无关组 根本概念定义1线性相关与线性无关设有向量组，如果有不全为0的一组数，使称向量组线性相关，否那么称为线性无关。定义2线性组合与线性表出设有向量组及向量，假设有数，使称向量为向量组的线性组合，也称可由线性表出。定义3向量组等价 设有向量组及，如果中的每一个向量都可以有向量组线性表出，那么称向量组可由向量组线性表出；如果及可以互相线性表出，称他们为等价。定义4极大无关组 如果一个向量组的局部组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添一个向量如果还有的话，所得的向量组都线性相关，那么向量组的这个局部组称为一个极大线性无关组。 有关结论1向量组线性相关线性方程组有非零解；向量组线性无关线性方程组只有零解。2可由线性表出有解。因此，可以利用初等变换解决向量组的线性相关性判定、求极大无关组的问题。 计算举例例 求向量组，的极大无关组及秩，并把其余向量用极大无关组线性表示。解 令，对施行矩阵初等行变换，得=故，是，的一个极大无关组，且=+，=+。 化二次型为标准型 根本概念定义1二次型及其标准型 设是一数域，一个系数在数域中的的二次齐次多项式=称为数域上的一个元二次型，简称二次型。仅含平方项的二次型称为标准型。定义2二次型的矩阵表示记=，那么 称为二次型的矩阵。定义3合同矩阵 对数域上有矩阵、，假设有数域上可逆矩阵，使称矩阵及合同。 有关结论1数域上任意一个元二次型都可以经过非退化的线性替换化为标准型。2 任意一个对称矩阵合同于对角矩阵。 初等变换化二次型为标准型的原理用初等变换法把二次型化为标准型，是对矩阵施行初等列变换的同时对施以相应的行变换，当矩阵化为对角阵时，单位矩阵就化为所要求的非退化变换矩阵。即 计算举例例 用初等变换法化二次型为标准标准型，并写出相应的非退化线性变换。解 二次型的矩阵=，由得 的标准型为，所用的非退化线性变换为，其中=。3.6 求空间的基 根本概念定义1线性空间 设是一个非空集合，是一个数域。对于中任意两个元素与，在中都有唯一的一个元素与它们对应，称为与的与，记为=+，这种代数运算，叫做加法；对于任意数域中任一数及中任一元素，在中都有唯一的一个元素及它们对应，称为及的数量乘积，记为=，这种代数运算，叫做数量乘法。如果加法及数量乘法满足以下规那么1+=+2+=+3在中有一个元素0，对于中任一元素都有+0=这个元素称为的零元素4对于中每一个元素，都有中的元素，使得+=0称为的负元素51=6=7+=+8+=+称为数域上的线性空间。定义2基及维数 如果在线性空间中有个线性无关的向量,没有更多数目的线性无关的向量,那么就称是维的。在维线性空间中，个线性无关的向量称为的一组基。易知，如果在线性空间中有个向量线性无关,且中任一向量都可以由它们线性表出,那么是维的, 就是的一组基；在线性空间中, 如果向量组线性无关, 而，线性相关, 那么向量可以由线性表出,且表示法唯一。定义3生成子空间设是线性空间中的一组向量，那么这组向量所有可能的线性组合所成的集合是非空的，而且对两种运算封闭，因而是的一个子空间，叫做的生成子空间，记为。定义4子空间的交及与 设，是线性空间的两个子空间，所谓及的交，是指所有同时存在及与的元素，记为；所谓及的与，是指由所有能表示成， ， 的向量组合的子集合，记为 +。如果，是线性空间的两个子空间，那么他们的交及与 +也是的子空间，分别称为交子空间及与子空间。定义5正交补空间 设，是欧氏空间的两个子空间，如果对于任意的属于，属于恒有，=0那么称，为正交的，记为。如果，并且+=，子空间称为的一个正交补。定义6特征子空间 设是的线性变换， ，那么是的子空间，称为的特征子空间。 是的不变子空间。定义7线性变换的值域与核 设是线性空间V的一个线性变换，集合 称为线性变换的值域也记做或者；集合称为线性变换的核，也记作。 计算举例例 ，并记，即。1求的解空间的基；2求的零特征值的特征子空间的基；3设，求的基；4求的极大无关组；5定义线性变换，求的基；6求5中线性变换的值域的基。解1空间的基即为的根底解系。由得的根底解系为，所求基为；2当的时候，=，即所求空间的基为的根底解系，所以基为；3由题意由=，=1，2，3，4，即=0，即，所以的基为；4由可得，的极大无关组为；5由核的定义知，所求基为；6，而= 所以的基为的列向量组的极大无关组对应的的极大无关组,即基为。其中，。4 矩阵初等变换在实际问题中的应用矩阵初等变换不仅可以用于解决高等代数计算问题，在现实生活中，也有许许多多的问题可以用矩阵初等变换来解决。例 现有一个木工、一个电工、一个油漆工，三人相互同意彼此装修他们自己的房子，在装修之前，他们达成了如下协议（1） 每人总共只工作10天包括给自己家干活在内;（2） 每人的工资根据一般的市价在6080之间;（3） 每人的日工资数似的每人的总收入及总支出相等。表1是他们协商后制定出的工作天数的分配方案，如何计算他们应得的工资？表1 各工种工作天数天数木工电工油漆工在木工家工作天数216在电工家工作天数451在油漆工家工作天数443解 设木工、电工、油漆工的工资分别为，由题意得 即 对系数矩阵作初等行变换,得其同解方程组为 得 即 = ，当时，。5 结语 本文主要对矩阵初等变换的作用作了简单的介绍。通过对一些概念的表述与局部原理的推导，用矩阵的初等变换解决了高等代数计算中的多种问题以及现实生活中的一些问题，并通过解决这些问题进一步说明了矩阵初等变换的作用。本文的突出点是对矩阵初等变换解决问题的方法进展了详细的阐述，简单明了，并将能解决的各种问题加以分类与归纳，比各种代数书籍更为具体。参考文献1 高吉全.矩阵初等变换的方法与应用研究M.北京: 中国工人出版社,2000:96-108M. (第三版).北京: 高等教育出版社,2003:12-18M. 北京:机械工业出版社,2007:66-764 李志斌.线性代数M. 北京:机械工业出版社,2006:80-965 蔡假设松,J.辽宁工学院学报.2002. (22):63-656 凌征求.矩阵初等变换的几个应用J.玉林师范学院学报.2001. (22):37-407 邓建松等译.Mathematica使用指南M.科学出版社,20028J.重庆三峡学院学报.2001.(05):42-459J.安庆师范学院学报自然科学版.1995.(03):55-5810J. 锦州师范学院自然科学版.2000.(02):39-4211欧启通. 矩阵初等变换的应用J. 甘肃联合大学学报自然科学版.2007.(03):55-6012谢芳.矩阵初等变换的假设干应用J.绍通师范专科学院学报.2004.(02:21-2513谭军. 矩阵初等变换的一些性质与应用J. 郑州航空工业管理学院学报.2002.24:50-5414FENG Tian-xiang,TAN Ming-shu.Applications of elementary transformation in matrix computationJ.(04):23-2715XIONG Hui-jun.A Criterion for the Positive definiteness of a Block-Matrix and Its ApplicationsJ .湖南文理学院学报自然科学版2006.04:33-36附录：开题报告矩阵初等变换及应用1 选题背景在线性方程组的讨论中可以发现，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵与增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。此外，还有大量的各种各样的，外表上看完全没有联系的问题的解决,都可以通过一样的方法实现：矩阵的初等变换。因此矩阵初等变换就成为极其重要的一个知识点。11 研究的目的与意义在数学的学习与应用中，矩阵理论是高等代数的重要组成局部，矩阵初等变换方法更是贯穿高等代数理论的始终。应用初等变换证明命题过程容易被承受，同时也是解决高等代数相关计算问题最直接、便利、有效的方法。因此，对矩阵初等变换方法及应用进展探讨，无疑是十分必要与重要的。目前，已有许多文献涉及到该问题的讨论，研读现有文献，吸取精华，在深刻理解矩阵初等变换内涵的根底上，理论分析及实例应用相结合，讨论、挖掘矩阵初等变换在解决高等代数相关问题中的作用，如：解线性方程组、求向量组的极大无关组与线性关系、求逆矩阵与解矩阵方程、求解空间特征子空间、生成子空间的基、求交子空间与子空间、核子空间、正交补空间的基、求多项式的最大公因式、化二次型为标准型等，使矩阵初等变换方法的威力作用得以充分展示。12 研究方法目前，有许多文献涉及到对矩阵初等变换方法该的讨论，但比拟零散。在研读文献的根底上，深刻理解矩阵初等变换的内涵，采用理论分析及实例应用相结合的方法，讨论、挖掘矩阵初等变换在解决高等代数相关问题中的作用，如：解线性方程组、求向量组的极大无关组与线性关系、求逆矩阵与解矩阵方程、求解空间特征子空间、生成子空间的基、求交子空间与子空间、核子空间、正交补空间的基、求多项式的最大公因式、化二次型为标准型等，使矩阵初等变换方法的威力作用得以充分展示。2 文章构造论文总共分为五个局部。其中第一局部为导言，主要介绍选题的背景；第二局部介绍矩阵初等变换方法及有关性质；第三局部为矩阵初等变换在高等代数相关问题中的应用，如求多项式的最大公因式、解线性方程组、求向量组的极大无关组与线性关系、求逆矩阵与解矩阵方程、求解空间特征子空间、生成子空间、核子空间、正交补空间的基、化二次型等；第四局部为实际应用问题；第五局部为文章的完毕语，简要概括论文的工作。具体框架如下：1 导言2 矩阵及其初等变换2.1 矩阵定义2.2 矩阵的初等变换及初等矩阵2.3 矩阵初等变换的假设干性质3 矩阵初等变换在高等代数计算问题中的应用矩阵初等变换及线性方程组的求解密不可分，不仅给解线性方程组带来了极大方便，同时也开展与完善了矩阵理论本身，极大丰富了矩阵理论的应用领域。首先定义多项式矩阵的行初等变换，然后利用多项式的根本性质推广定理，给出利用矩阵的初等行变换求多项式的最大公因式计算实例3.2 求逆矩阵 解矩阵方程首先给出可逆矩阵定义，其次阐述矩阵初等变换求逆的原理与步骤 ：由于可逆矩阵可表示为一系列初等矩阵的乘积，故有有有如下求逆步骤（1） 构造的矩阵（2） 对上述矩阵实施初等行变换，当用初等变换把化为单位阵，那么的位置变成的逆矩阵，即 ，同时有最后给出计算实例。3.3 求解线性方程组考虑元线性方程组 首先介绍线性方程组的初等变换的概念，其次阐述方程组解的情况齐次、非奇次，最后以实例实现矩阵初等变换解方程组的方法。3.4 判定向量组的线性关系 求向量组的极大无关组首先阐述有关概念，如线性相关与线性无关、线性组合与线性表出、向量组等价、极大无关组等，其次给出有关结论及原理，如1向量组线性相关线性方程组有非零解向量组线性无关线性方程组有唯一零解。2可由线性表出有解最后给出计算实例。3.5 化二次型为标准型首先阐述有关概念，如二次型及其标准型；其次给出有关理论，如1数域上任意一个元二次型都可以经过非退化的线性替换化为标准型。2 任意一个对称矩阵合同及对角矩阵。最后给出计算原理及实例。3.6 求解空间的基阐述有关概念，如给出有关理论，如线性空间、解空间、特征子空间、生成子空间、核子空间、正交补空间、线性变换的至于及核等；给出综合计算实例。4 实际问题举例5 结语论文工作的简要说明。4 参考文献综述大多数的参考文献，要么只有矩阵的初等变换在局部方面的应用，要么就是对初等变换在各方面的应用一笔带过，显得过于简单。本文将综合讨论矩阵初等变换在解决高等代数相关问题中的应用，凸现矩阵初等变换方法的威力作用。5 工作方案2007年11月-2021年2月中旬：检索文献、查阅资料、收集课题所需中外文素材；2021年3月-2021年4月中旬：进一步收集素材、筛选信息，完成毕业论文写作的初步思想，完成开题报告。结合毕业论文题目翻译英文参考资料2021年4月中旬2007年5月初：完成毕业论文初稿，送指导教师审阅;.2021年5月初2007年5月底：修改、完善初稿,完成论文，准备毕业辩论。5 参考文献1 高吉全.矩阵初等变换的方法与应用研究M.北京: 中国工人出版社,2000:96-1082 王萼芳,石生明修订.高等代数M. (第三版).北京: 高等教育出版社,2003:12-183 张文博等译.线性代数M. 北京:机械工业出版社,2007:66-764 李志斌.线性代数M. 北京:机械工业出版社,2006:80-96. (22):63-65. (22):37-407 邓建松等译.Mathematica使用指南M.科学出版社,20028J.重庆三峡学院学报.2001.(05):42-459J.安庆师范学院学报自然科学版.1995.(03):55-5810J. 锦州师范学院自然科学版.2000.(02):39-4211欧启通. 矩阵初等变换的应用J. 甘肃联合大学学报自然科学版.2007.(03):55-6012J.绍通师范专科学院学报.2004.(02:21-2513FENG Tian-xiang,TAN Ming-shu.Applications of elementary transformation in matrix computationJ.黑龙江大学自然科学报.2004.(04):23-2714XIONG Hui-jun.A Criterion for the Positive definiteness of a Block-Matrix and Its ApplicationsJ .湖南文理学院学报自然科学版2006.04:33-36致 谢本学位论文是在我的导师李乃华教师的亲切关心与悉心指导下完成的。大一的时候我学习了李老师的所教授的?高等代数?，她严肃的科学态度，严谨的治学精神，幽默的授课方式，无时无刻不深深地感染与鼓励着我，使我的学习态度从急躁转变成成熟、踏实。在大四期间，李教师都始终给予我细心的指导与不懈的支持，倾注了大量的心血，使我论文能够最终顺利完成。在此谨向李教师致以诚挚的谢意与崇高的敬意。论文的得以顺利完成，我真挚的感谢我的师长、同学、朋友，以及你们给及我的帮助。在这里请承受我诚挚的谢意!第 24 页