不动点法解题目.doc

利用“不动点法巧解高考题定义；方程f(x)=x的根称为函数f(x)的不动点。利用递推数列fx的不动点,可将某些递推关系an=(an-1)所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法叫不动点法。对于这个方法有几个重要定理，假设只从代数角度理解，恐怕对许多中学生来说是有难度的。下面笔者对这几个定理予以几何解释：定理1：假设f(x)=ax+b(a0,a1)，p是f(x)的不动点，an满足递推关系an=(an-1),(n>1)那么an-P=a(an-1-p),即 an-P 是公比为a的等比数列。它的代数证明如下：证明：因为p是fx的不动点,所以ap+b=p,所以b-p=-ap,由an=a. an-1+b得an-p=a. an-1+b-p=a(an-1-p),所以 an-P 是公比为a的等比数列。对这一定理的几何意义如下： f(x)=x,即 f(x)与g(x)=X的交点 一目了然，an-p /an-1-p 即为 f(x)的斜率a。上面是【文1】给出的纯代数证明，下面看看它所蕴含的几何意义。与定理一的几何意义相似，表示的是两条直线的的斜率相比是定值k,但怎么证明笔者尚未想到简便的方法，只能从上面的代数方法借鉴。第二种情况也是如此，an-p/an-1-p+k(an-p)=1.如下列图，由于笔者能力有限，尚未发现几何证法。由递推公式求其数列通项历来是高考的重点与热点题型，对那些递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点与关键与递推关系对应的函数的“不动点决定着递推数列的增减情况，因此我们可以利用对函数“不动点问题的研究结果，来简化对数列通项问题的探究。笔者在长期的教学实践中，不断总结探究反思，对那些难求通项的数列综合问题，形成利用函数不动点知识探究的规律性总结，以期对同学们解题有所帮助1 不动点的定义一般的，设的定义域为,假设存在，使成立，那么称为的不动点，或称为图像的不动点。2 求线性递推数列的通项定理1 设，且为的不动点，满足递推关系，证明是公比为a的等比数列。证：是的不动点，所以，所以，所以，数列是公比为的等比数列。例12021上海文数21题数列的前项与为，且，(1)证明：是等比数列；(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.证：(1) 当n=1时，a1=-14；当时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，即即，记，令，求出不动点，由定理1知：，又a1-1= -15 0，所以数列an-1是等比数列。(2)解略。3求非线性递推数列的通项定理2 设，且是的不动点，数列满足递推关系，假设，那么数列是公比为的等比数列；，那么数列是公差为的等差数列。证：由题设知； 同理， 所以数列是公比为的等比数列。 由题设知的解为，且。所以 ，所以数列是公差为的等差数列。例2 2006年全国卷22题设数列的前项与为，且方程有一根为。求数列的通项公式。解：依题，且，将代入上式，得，记，令，求出不动点，由定理2知：，所以数列是公差为的等差数列，所以，因此数列的通项公式为。例3 2021年全国卷22题数列中，设，求数列的通项公式. 求使不等式成立的的取值范围 .解：依题，记，令，求出不动点；由定理2知：， ； 两式相除得到，所以是以为公比，为首项的等比数列，所以，从而解略。定理3 设，且是的不动点，数列满足递推关系，那么有；假设，那么是公比为的等比数列。证：是的不动点，。，又，那么，故是公比为的等比数列。例4 2021东城区二模试题数列满足，求证：；求证：；求数列的通项公式证：、证略；依题，记，令，求出不动点；由定理3知：，所以，又，所以又，令，那么数列是首项为，公比为的等比数列所以由，得所以利用函数“不动点法求解较复杂的递推数列的通项问题，并不局限于以上三种类型，基于高考数列试题的难度，本文不再对更为复杂的递推数列进展论述，以下两个定理供有兴趣的同学探究证明。定理4 设且是的最小不动点，数列满足递推关系，那么有定理5 设且是的不动点，数列满足递推关系，那么有第 7 页