三角形四心的向量表示.doc

从动与静两个角度看三角形中四“心的向量表示平面几何中中三角形的四“心,即三角形的内心、外心、重心、垂心。在引入向量这个工具后，我们可以从动与静两个角度看三角形中的四“心的向量表示，其一可以使我们对三角形中的四“心有全新的认识；其二使我们对向量形式的多样性与向量运算的灵活性有更清楚的认识。一从静止的角度看向量的四“心1点是三角形所在平面上一点，假设，那么是三角形的 A内心 B外心 C重心 D垂心分析：假设，那么，设以、为邻边的平行四边形为,与交于点,那么为的中点,由得,即、四点共线,故为的中线,所以在边的中线上,同理可证, 在边的中线上, 在边的中线上所以是三角形的重心. 2. 点是三角形所在平面上一点，假设,那么是三角形的 A内心 B外心 C重心 D垂心分析:由得,即,所以同理可证:,所以是的垂心.3. 点是三角形所在平面上一点，假设,那么是三角形的 A内心 B外心 C重心 D垂心分析:假设,又因为那么.所以,因为与分别表示与方向上的单位向量,设+,那么平分.又、共线，知平分。同理可证，平分，平分。从而是的内心。4点是三角形所在平面上一点，假设，那么是三角形的 A内心 B外心 C重心 D垂心分析：因为，所以，即，所以是的外心。二从运动的角度看三角形的四“心1点是平面上一个定点，、是平面内不共线三点，动点满足,，那么动点一定通过的 A内心 B外心 C重心 D垂心解: ,可得,由于表示以为邻边的平行四边形的对角线,所以点在边的中线所在直线上,故动点的轨迹一定通过的重心.2点是平面上一个定点，、是平面内不共线三点，动点满足,，那么动点一定通过的 A内心 B外心 C重心 D垂心分析：由得，。由于表示的平分线所在的方向向量。故当时，动点那么动点一定通过的内心。3点是平面上一个定点，、是平面内不共线三点，动点满足,，那么动点一定通过的 A内心 B外心 C重心 D垂心分析: 由得，。由于,所以。即点的轨迹是过点A且垂直于的直线，故动点的轨迹一定通过的垂心。4. 平面上一个定点，、是平面内不共线三点，动点满足,，那么动点一定通过的 A内心 B外心 C重心 D垂心分析:设的中点为为,那么,所以由可得,当时, 表示垂直于的向量,所以为线段的垂直平分线,故动点的轨迹一定通过的外心.上面通过动与静两个角度看三角形的四心的向量表示,得出了椒优美的结论,使我们对向量的四心有了新的认识,更好的体会到辩证的与谐的统一.第 4 页