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与绝对值有关的问题一、 知识构造框图：数二、 绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。(2)代数意义：正数的绝对值是它的本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。 也可以写成： 说明：|a|0即|a|是一个非负数；|a|概念中蕴含分类讨论思想。三、 典型例题例1数形结合思想a、b、c在数轴上位置如图：那么代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于 A-3a B 2ca C2a2b D b例2：，且， 那么的值 A是正数B是负数C是零D不能确定符号例3分类讨论的思想甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；假设数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？例4整体的思想方程 的解的个数是A1个 B2个 C3个 D无穷多个例5非负性|ab2|与|a1|互为相互数，试求下式的值例6距离问题观察以下每对数在数轴上的对应点间的距离 4与，3与5，与，与3. 并答复以下各题：1你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？2假设数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为1，那么A与B两点间的距离可以表示为 3结合数轴求得的最小值为 ，取得最小值时x的取值范围为 _.4 满足的的取值范围为 四、 小结1理解绝对值的代数意义与几何意义以及绝对值的非负性2体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用答案：1分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a、b、c在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a2分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x、y、z三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。解：由题意，x、y、z在数轴上的位置如下图： 所以 3分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么终究谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。解：设甲数为x，乙数为y， 由题意得：， 1数轴上表示这两数的点位于原点两侧：假设x在原点左侧，y在原点右侧，即 x<0，y>0，那么 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6假设x在原点右侧，y在原点左侧，即 x>0，y<0，那么 -4y=8 ，所以y=-2,x=62数轴上表示这两数的点位于原点同侧：假设x、y在原点左侧，即 x<0，y<0，那么 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12假设x、y在原点右侧，即 x>0，y>0，那么 2y=8 ，所以y=4,x=124分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2021看成一个整体，问题即转化为求方程的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数与零的绝对值等于它的相反数，所以零与任意负数都是方程的解。 此题的答案为D。 5分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：|ab2|=|a1|=0，解得：a=1,b=2于是在上述分数连加求与的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结果同学们可以再深入思考， 如果题目变成求 值，你有方法求解吗？有兴趣的同学可以在课下继续探究。6.分析：点B表示的数为1，所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置。那么点A呢？因为x可以表示任意有理数，所以点A可以位于数轴上的任意位置。那么，如何求出A与B两点间的距离呢？ 结合数轴，我们发现应分以下三种情况进展讨论。当x<-1时，距离为-x-1, 当-1<x<0时，距离为x+1， 当x>0，距离为x+1综上，我们得到A与B两点间的距离可以表示为1答：_相等； 23结合数轴求得的最小值为 5 ，取得最小值时x的取值范围为 -3x_2_.分析：即x与2的差的绝对值，它可以表示数轴上x与2之间的距离。即x与-3的差的绝对值，它也可以表示数轴上x与-3之间距离。如图，x在数轴上的位置有三种可能：图1 图2 图3图2符合题意4 满足的的取值范围为 x<-4或x>-1 分析： 同理表示数轴上x与-1之间的距离，表示数轴上x与-4之间的距离。此题即求，当x是什么数时x与-1之间的距离加上x与-4之间的距离会大于3。借助数轴，我们可以得到正确答案：x<-4或x>-1。说明：借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题。这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便。事实上， 表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离。这是一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了3、4这两道难题。 第 6 页
