全等三角形经典例题含答案.doc

新思路全等三角形的经典例题 判定方法条件注意边边边公理SSS三边对应相等三边对应相等边角边公理(SAS)两边和它们的夹角对应相等“两边夹一角必须是两边夹一角，不能是两边对一角角边角公理(ASA)两角和它们的夹边对应相等“两角夹一边不能理解为两角及任意一边角角边公理(AAS)两角和其中一角的对边对应相等例1：如图，过DABC的顶点A，作AFAB且AF=AB，作AHAC，使AH=AC，连结BH、CF，且BH与CF交于D点。求证：1BH=CF2BHCF分析：从图中可观察分析，假设证BH=CF，显然，假设能证出DABHDAFC，问题就能解决。从看，已经知道AF=AB，AC=AH。这两个三角形已经具备两条边对应相等了。还要证明第三条边相等，显然不可能用“边边边公理了。只能寻求两对应边的夹角了。从看，BAF和HAC都是直角。而图中的BAC显然是公共角，根据等式性质，问题可以顺利解决。证明：1AFAB，AHAC BAF=HAC=90° BAF+BAC=HAC+BAC 即FAC=BAH 在DABH和DAFC中 DABHDAFC边角边 BH=FC全等三角形对应边相等2设AC与BH交于点P 在DAPH中 HAP=90° 2+3=90°直角三角形中两个锐角互余 1=2全等三角形对应角相等 3=4 1+4=2+3=90° 在DPDC中 1+4=90° HDC=90° BHCF例2：，如上图：BD、CE是DABC的高，分别在高上取点P与Q，使BP=AC，CQ=AB。求证：AQ=AP分析：从要证的结论AQ=AP，只有在DABP和DQCA中找对应原素，不难发现，已经有BP=AC、CQ=AB，也就是这两个三角形中已经有两条对应边相等。也只有找到其中夹角相等，全等就可以了，问题的关键在于如何找出1=2？再分析条件，不难看出，既然BD、CE都是高，就有BDA=CEA=90°，这样就可看出1和2都是BAC的余角了。根据同角的余角相等这条性质得到1=2，这样问题就可以迎刃而解了。证明：BDAC于D CEAB于EBDA=CEA=90°1+BAC=2+BAC=90°1=2在DABP和DPCA中DABPDQCA边角边AQ=AP全等三角形对应边相等例3：如图，OA=OB、OC=OD求证：AE=BE分析：从要证明的结论AE=EB看，我们不难看出，应当在DADE和DBCE中去寻找答案，而要证明DADEDBCE，比拟明显的有一组对顶角相等，即AED=BEC，另外可以通过等式性质得到，OAOD=OBOC，即AD=BC，那么这两个三角的全等条件仍然差一个，从证明的结论AE=BE上分析，不可能再寻找边的对应相等了，那么只有找一组对应角是否相等就可以了，如能否证出A=B或ADE=BCE，A=B除了是DADE和DBCE的对应角外，它们还是DAOC和DBOD的对应角，只要DAOCDBOD，那么就可以推出A=B，这样问题便迎刃而解了，同学们自己分析一下DAOC和DBOD全等条件够吗？证明：在DAOC和DBOD中DAOCDBOD边角边A=B全等三角形的对应角相等OA=OB OC=ODAD=BC等式性质在DADE和DBCE中DADEDBCE角角边AE=BE全等三角形对应边相等同学们自己动手试一试，可不可通过证明ADE=BCE来证明DADEDBCE 呢？例4：如图，ADBC，AE、BE分别平分DAB和CBA，DC过点E。求证：AB=AD+BC分析：从要证明的结论AB=AD+BC上看，显然是两条线段的和与另外一条线段相等，可以考虑，能否在长的AB边上截一段等于AD或BC，利用角平分线的条件证全等。证明一：在AB上截AF=AD，连结EF在DADE和DAFE中DADEDAFED=AFE全等三角形对应角相等ADBCD+C=180°两直线平行，同旁内角互补又D=AFE已证BFE=C等角的补角相等在DBFE和DBCE中DBFEDBCE角角边BF=BCAB=AD+BC证明二：延长AE、BC交于点F。AE、BE分别是DAB和CBA的平分线。 又ADBC1+2+3+4=180°两直线平等，同旁内角互补2+3=90°AEB=90°BEF=90°在DABE和DFBE中DABEDFBE 角边角AB=BF AE=EF在DAED和DFEC中 DAEDDFEC AD=FCAB=AD+BC等量代换例5：如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD、CEAB于E，且B+D=180°。求证：AE=AD+BE分析：从上面例题，可以看出，有时为了证明某两条线段和等于另一条线段，可以考虑“截长补短的添加辅助线，此题是否仍可考虑这样“截长补短的方法呢？由于AC是角平分线，所以在AE上截AF=AD，连结FC，可证出DADCDAFC，问题就可以得到解决。证明一：在AE上截取AF=AD，连结FC。在DAFC和DADC中DAFCDADC边角边AFC=D全等三角形对应角相等B+D=180°B=EFC等角的补角相等在DCEB和DCEF中DCEBDCEF 角角边BE=EFAE=AF+EFAE=AD+BE等量代换证明二：在线段EA上截EF=BE，连结FC如右图。同样也可以证明，同学们自己试一试，证明过程是怎样的，看一看，当推导过程不通时，想一想，还有哪些条件没有充分考虑到，或是还有哪些定理，性质用的不熟，自己找一找思维障碍是什么？小结：在几何证明过程中，如果现成的三角形不可以证明，那么需要我们选出所需要的三角形，这就需要我们恰到好处的添加辅助线。如例：DABC中，AD是BC边上的中线。求证：分析：求证，即可变形为，其构造恰好为中线的2倍。小于原三角形的两边之和，如果添加辅助线，造出一个三角形，使其两边恰与AB、AC相等，而另一边正好为AD的2倍，问题就迎刃而解了。证明：延长AD至E，使DE=AD，连结BE。在DADC和DEDB中DADCDEDB边角边AC=BE全等三角形对应边相等在DABE中，三角形中，两边之和大于第三边