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培优训练二：实数（提高篇）（一）【内容解析】（1）概念：平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数；要准确、深刻理解概念。如平方根的概念：文字概念：若一个数x的平方是a，那么x是a的平方根；符号概念：若，那么；逆向理解：若x是a的平方根，那么。（2）性质：在平方根、算术平方根中，被开方数a0式子有意义；在算术平方根中，其结果是非负数，即0；计算中的性质1：（a0）；计算中的性质2：；在立方根中，（符号法则）计算中的性质3：；（3）实数的分类：（二）【典例分析】1、利用概念解题：例1. 已知：是的算术数平方根，是立方根，求的平方根。练习：1. 已知，求的算术平方根与立方根。2若2a1的平方根为±3，ab5的平方根为±2，求a+3b的算术平方根。例2、已知x、y互为倒数，c、d互为相反数，a的绝对值为3，z的算术平方根是5，求的值。2、利用性质解题：例1 已知一个数的平方根是2a1和a11，求这个数变式：已知2a1和a11是一个数的平方根，则这个数是 ；若2m4与3m1是同一个数两个平方根，则m为 。例2若y=1，求（xy）x的值例3x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。例4已知与互为相反数，求的值.练习： 1.若一个正数a的两个平方根分别为和，求的值。2. 若（x3）2=0，求xy的平方根；3. 已知求的值.4. 当x满足下列条件时，求x的范围。 =x2 = =x5. 若，则的值是 6. 中x的取值范围是_；中x的取值范围是_； 中x的取值范围是_；中x的取值范围是_；7. 若x5，则_；若，则x1_3、利用取值范围解题：例1. 已知有理数a满足，求的值。例2. 已知实数x，y满足,则的值是例3. 已知= 。例4. 设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不相等的实数，则的值是 。4、利用估算比较大小、计算：比较大小的常用方法还有：差值比较法：如：比较1与1的大小。解 （1）（1）=0 ， 11。商值比较法（适用于两个正数）如：比较与的大小。解：÷=-11 倒数法：倒数法的基本思路是：对任意两个正实数a，b，先分别求出a与b的倒数，再根据当时，ab。来比较a与b的大小。（以后介绍）取特值验证法：比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单。如：当0<x<1时，的大小顺序是_。解：（特殊值法）取=，则：=，=2。2，。估算法的基本是思路是设a，b为任意两个正实数，先估算出a，b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。例1比较与的大小例2若的小数部分是a， 的小数部分是b，求a+b的值。例3. 设则A、B中数值较小的是 。练习：1.估计1的值是（ ）（A）在2和3之间 （B）在3和4之间 （C）在4和5之间 （D）在5和6之间2比较大小： 1；3 2.1（填“>”、“<”）5、利用数形结合解题：例1 实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简|a+b|+的结果是（ ）a0bA、2b B、2a C、2a D、2b01CAB例2 如图，数轴上表示1、的对应点为A、B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是（ ）A、1 B、1 C、 2 D、2例3 若实数a，b，c在数轴上的位置如图，化简：练习：1.如果有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，那么可以化简为( )A2caB2a2bCaDa2如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别是a、b、c，其中ABBC，如果，那么该数轴的原点O的位置应该在( )A点A的左边B点A与点B之间C点B与点C之间D点B与点C之间或点C的右边6、实数的计算例1.计算：(-) 练习：（1）；（2）；例2、解方程（x+1）2=36.练习：（1） （2）（3）8x3270；（4）(x1)21210（三）【常见错误诊断】1、混淆平方根和算术平方根：由-3是9的平方根得：=-3。 由81的平方根是±9得=±9是5的平方根的相反数2、混淆文字表示和符号表示：的算术平方根是4； 的立方根是43、概念理解不透彻：（1）平方根、算术平方根的概念不清：是6的平方根；6的平方根是；与互为相反数；a的算术平方根是填空：计算的结果是_；的算数平方根是_； 25的算数平方根是_；5的算数平方根是_； 9的平方根是_；(1)2的算数平方根是_； 的算数平方根是_；8的立方根是_（2）无理数的概念不清：开方开不尽的数是无理数； 无理数就是开方开不尽的数；无理数是无限小数；无限小数是无理数；无理数包括正无理数、零、负无理数；两个无理数的和还是无理数；两个无理数的积还是无理数；填空：在-1.414， 3.，2+，3.212212221，0.303003.这些数中，无理数的个数有 个；4、计算错误：=；若x2=16，则x=4.5、确定取值范围错误（漏解或考虑不全面）若代数式有意义，则的取值范围是若代数式有意义，则的取值范围是6、公式用错：；=3.14-；若c满足，则c=-3（四）【巩固练习】1 B. 8 C. D.22如果，那么y 的值是（ ）A. 0.0625 B. 0.5 C. 0.5 D .±0.53下列说法中正确的是（ ）A.的平方根是±3 B.1的立方根是±1 C.=±1 D.是5的平方根的相反数4若，则实数a在数轴上的对应点一定在（）A原点左侧 B原点右侧 C原点或原点左侧 D原点或原点右侧5若=3.136，则=（ ） A、0.03136 B、0.3136 C、±0.03136 D、±0.31366数a、b在数轴上的位置如图，那么化简的结果是（ ）A B C D 7下列说法正确的是（ ）A. 0.25是0.5 的一个平方根 B .正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0C . 7 2 的平方根是7 D. 负数有一个平方根8若-3，则的取值范围是( ).A. 3 B. 3 C. 3 D. 39若a、b为实数，且满足a2+=0，则ba的值为（ ）A2B0C2D以上都不对10. 在，3.1415926，这6个数中，无理数有（ ） A1个B2个C3个D4个11若一个数的立方根等于它的算术平方根，则这个数是 。 12若和都是5的立方根，则= .13观察下列各式：，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则 . 14由下列等式：，所揭示的规律，可得出一般的结论是 （用字母n表示，n是正整数且n>1）。15比较下列实数的大小： 12 0.5；16一个正方形的面积变为原来的m倍，则边长变为原来的 倍；一个立方体的体积变为原来的n倍，则棱长变为原来的 倍。17计算：18已知一个2a-1的立方根是3，3a+b+5的平方根是±7，c是的整数部分，求的平方根。 19已知a、b满足，解关于的方程 20若，求a+b的值21. 设2+的整数部分和小数部分分别是x、y，求（x-1）2+(+8)2的平方根。22已知点A、B在数轴上对应的数分别是a、b，且a、b满足，点C是数轴上不同于A、B的一动点，其对应的数为c。（1）若C运动到使AB=BC时，求点C所对应的数；（2）若c满足，试化简： （3）当C运动某一位置时，实数c满足，试求线段BC的长.第 7 页