必修平面向量讲义和练习.doc

?必修4? 第二章 平面向量一、知识纲要1、向量的相关概念：1 向量： 既有大小又有方向的量叫做向量，记为或。 向量又称矢量。注意 向量和标量的区别：向量既有大小又有方向；标量只有大小，没有方向。普通的数量都是标量，力是一种常见的向量。向量常用有向线段来表示，但也不能说向量就是有向线段，因为向量是自由的，可以平移；有向线段有固定的起点和终点，不能随意移动。2向量的模：向量的大小又叫向量的模，它指的是：表示向量的有向线段的长度。记作：|或。 注意 向量本身不能比拟大小，但向量的模可以比拟大小。3零 向 量： 长度为0的向量叫零向量，记为，零向量的方向是任意的。注意 0； 与0的区别：写法的区别，意义的区别。4单位向量：模长为1个单位长度的非零向量叫单位向量。注意 假设向量是单位向量，那么= 1 。2、 向量的表示：1 几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意：方向是“起点指向终点。2 符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，等；3 坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴正方向一样的两个单位向量、为基底向量，那么平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示。此时=。假设，那么， 即终点坐标减去起点坐标。特别的，如果向量的起点在原点，那么向量的坐标数值与向量的终点坐标数值一样。3、 向量之间的关系： 1平行共线：对于两个非零向量，假设它们的方向一样或相反的，那么就称这种关系为平行，记作。换言之，方向一样或相反的两个非零向量叫平行向量共线向量。相互平行的两个向量之间的夹角为0度或180度，记为<,> = 00或1800 。由于向量可以进展任意的平移(所以向量又叫自由向量)，所以平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。注意 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线与几何中的“共线的含义，要理解好平行向量中的“平行与几何中的“平行是不一样的。 规定平行于任何向量，故在有关向量平行共线的问题中务必看清楚是否有“非零向量这个条件。 平行向量无传递性因为有).2 不平行：对于两个非零向量和，如果平移后它们的夹角不是0度或180度，那么称这两个向量不平行。此时，它们夹角的范围是 <,> 0，。特别的，当<,> =即900时，称为两个向量垂直，记为。4、 由向量之间的关系引出的术语：1 同向向量：如果两个向量方向一样即：共线并且夹角为0度，那么就称这两个向量是同向向量。<,> = 02 反向向量：如果两个向量方向相反即：共线并且夹角为180度，那么就称这两个向量是反向向量。<,> =注意：同向向量和反向向量都是共线向量。并且只考虑方向，不研究模长的大小关系。3 相等向量： 长度相等且方向一样的两个向量叫相等向量，记为。注意： 相等向量经过平移后总可以重合，是同向向量的升级版。 相等向量的坐标表达为： 假设，且，那么。即向量相等具有传递性。4 相反向量：长度相等且方向相反的两个向量叫相反向量， 的相反向量记为，的相反向量记为：或，零向量的相反向量仍是零向量。注意： 相反向量是反向向量的升级版，要求方向相反，且大小相等，即|。 假设为相反向量，那么 。 相反向量的坐标表达为： 双重取反必复原：=。5、向量的线性运算：1向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。注意 加法性质： ，任何向量与零向量的和都是任何向量； +()=()+=，一对相反向量的和一定为零向量； 向量加法满足交换律：+=+； 向量加法满足结合律：+=+；2向量减法：求两个向量差的运算叫做向量的加法。记作：，即求两个向量与的差，等于向量加上的相反向量。注意 +()=()+=； 假设、是互为相反向量，那么=,=,+=.小结 加减法的运算法那么：作图“三角形法那么 “平行四边形法那么说明：向量加法有“三角形法那么与“平行四边形法那么：1用平行四边形法那么时，两个向量是要共始点的，和向量是始点与向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量2 三角形法那么的特点是“首尾相接，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法那么；当两向量是首尾连接时，用三角形法那么向量加法的三角形法那么可推广至多个向量相加：，但这时必须“首尾相连3向量的数乘运算：实数与向量的积是一个向量，所得的结果表示：在的方向或的相反方向取倍构成一个新向量，记作。的长度与方向规定如下： ； 当时，的方向与的方向一样；当时，的方向与的方向相反；当时，方向是任意的 数乘向量满足交换律、结合律与分配律：， ， 6、向量的投影和数量积：(1) 两个向量的数量积：两个非零向量与，它们的夹角为，那么·=·cos叫做与的数量积或内积 规定(2) 向量的投影：cos=R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影(3) 数量积的几何意义： ·等于的长度与在方向上的投影的乘积(4)、向量的模与平方的关系：5、乘法公式成立： ；6平面向量数量积的运算律：交换律成立：对实数的结合律成立：分配律成立：特别注意：1结合律不成立：；2消去律不成立不能得到3=0不能得到=或=7、向量的坐标运算：1起点和终点的坐标，求向量坐标: ，那么， 即终点坐标减去起点坐标。2向量的坐标，求向量的模: ，那么=；，那么，此时，本公式等价于“两点间距离公式: 那么。3两个向量的坐标，求这两个向量加减、数乘和数量积：加减：，那么，即对应横纵坐标相加减。数乘：，那么，即倍数对坐标作分配。数量积：，那么，即对应坐标之积再相加。4两个向量的坐标，求这两个向量的夹角或夹角余弦值：，那么。 8、 向量的夹角两个非零向量与，作=, =,那么AOB= 叫做向量与的夹角，记为。注意 研究向量夹角时，必须将两个向量的起点移动到同一点上； 当且仅当两个非零向量与同方向时， 当且仅当与反方向时 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 cos= 向量夹角与数量积的关系： 当为锐角时，0反之不成立，因为数量积为正数的两个向量不一定构成锐角，可能是平行且同向；当为钝角时，0。反之不成立，因为数量积为负数的两个向量不一定构成钝角，可能是平行且反向9、平面向量的根本定理如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。假设给定一组基底向量，那么平面内的任何一个向量都存在一组实属对与之对应，当这组基底是两个相互垂直的单位向量时，这组基底可以构成一个系统，这个系统叫平面直角坐标系，与向量对应的实数对就是坐标。10、向量垂直共线的根本定理1共线： ，此为向量平行的符号表达。假设，那么或，此为向量平行的坐标表达。注意 对于“，当时，可以看成是非零向量的0倍即，所以规定“零向量与任何非零向量平行。2垂直：非零向量满足： ，此为向量平行的符号表达。假设，那么，此为向量平行的坐标表达。 即：两个向量非零向量垂直等价于这两个向量的数量积为0。 假设中有一个向量是零向量，那么数量积一定为0，此时无需讨论是否垂直。所以规定“零向量与任何非零向量平行，但是不规定“零向量与任何非零向量垂直。11、有向线段的定比分点1、定义：设点P是直线PP上异于P、P的任意一点，假设存在一个实数 ，使，那么叫做点P分有向线段所成的比，P点叫做有向线段的以定比为的定比分点。简称：点P为定比分点2、的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段 PP上时>0；当P点在线段PP的延长线上时；当P点在线段 PP的延长线上时<1；假设点P分有向线段所成的比为，那么点P分有向线段所成的比为。3、线段的定比分点公式：设、，分有向线段所成的比为，那么分点的坐标为，即。特别地，当1时，就得到线段PP的中点公式。二、经典例题【例1】 A1,2，B4,2，那么向量的坐标为：= ；向量的模为：|= ；把向量按向量1,3平移后得到的向量是 。【例2】 平面上，把一个图形整体向某个方向移动一段距离，假设移动前点A坐标为-2,3，移动后，点A的对应点A坐标为2，-1，那么平移向量为= ，移动的距离为 。【例3】以下命题：1假设，那么。2两个向量相等的充要条件是它们的起点一样，终点一样。3假设，那么是平行四边形。4假设是平行四边形，那么。5假设，那么。6假设，那么。其中正确的选项是 。【例 4】给出以下命题： 假设|，那么=； 假设A，B，C，D是不共线的四点，那么是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； 假设=，=，那么=； =的充要条件是|=|且/； 假设/，/，那么/；其中正确的序号是 【例 5】求参数的值：1设非零向量、不共线，=k+，=+k (kÎR)，假设，试求k2 向量，且，求实数的值【例 6】 判断以下各命题正确与否：1； 2； 3假设，那么；4假设，那么当且仅当时成立；5对任意向量都成立；6对任意向量，有【例 7】，按以下条件求实数的值 1；2；【例 8】平移1按向量把平移到，那么按向量把点平移到点_2函数的图象按向量平移后，所得函数的解析式是，那么_【例 9】定比分点1假设M-3，-2，N6，-1，且，那么点P的坐标为_2，直线与线段交于，且，那么等于_3假设点分所成的比为，那么分所成的比为_【例 10】坐标与模1设，且，那么C、D的坐标分别是_2均为单位向量，它们的夹角为，那么_【例 11】向量sinx，cosx, sinx，sinx, 1，0。1假设x，求向量、的夹角；2假设x，函数的最大值为，求的值【例 12】中，,与交于点，求点的坐标。【例 13】三个点。1求证：;2要使为矩形，求点的坐标，并求矩形两对角线所夹的锐角的余弦值。