将军饮马问题拓展.doc

“将军饮马问题的探究与启示【摘要】利用“将军饮马问题中的轴对称思想去解决线段与最小的问题，是较多学生解题的“障碍问题，现通过数学建模思想把这类问题化归为“将军饮马问题，利用“两点之间线段最短加以证明，同时对数学教育工作者提出了启示。【关键词】轴对称 最小值 问题探究 问题启示【正文】一、问题再现根本问题：人教版八年级数学上册P42有一道探究题，源于古希腊著名的“将军饮马问题，大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题。课文原题如下：如图1，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ 课本给出了如下的作图及证明方法：如图2，作B关于直线l的对称点B，连结AB与直线l交于点C，点C就是所求的位置. 证明：如图3，在直线l上另取任一点C，连结A C，B C， BC，因为直线l是点B，B的对称轴，点C，C在l上，CB=CB， CB= CB，AC+CB=AC+C B=A B . 在A CB中，A BA C+ CB，AC+CBA C+ CB即AC+CB最小.反思：本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短，即“三角形两边之与大于第三边的问题加以解决其中C在A B与l的交点上，即A、C 、B三点共线。本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离与的最小值的问题的数学模型。二、问题探讨1、在三角形或四边形中的运用：正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点。那么DN+MN的最小值为多少？分析：要求DN+MN的最小值，联想“将军饮马问题，作点M关于AC的对称点E，且易知点E应该在线段BC上，这样MN=NE，那么题目就转化成求DN+NE的最小值了，由于点N在AC上移动且D、N、E可能构成一个三角形，因为“两点之间线段最短，所以，当点N移动到DE与AC交点处，即点D、N、E共线时，DN+NE=DE=10，到达最小值。反思：假设引导学生把题中的D、M看着是根本问题中的A、B两点，把AC看着是根本问题中的燃气管道l，本问题即为根本问题，学生可通过根本问题的联想与迁移解决本问题。2、在平面直角坐标系中的运用：2021年济南：抛物线的对称轴为X=1，与轴交于两点，与轴交于点其中、1求这条抛物线的函数表达式2在对称轴上存在一点P，使得的周长最小请求出点P的坐标3假设点是线段上的一个动点不与点O、点C重合过点D作交轴于点连接、设的长为，的面积为求与之间的函数关系式试说明是否存在最大值，假设存在，请求出最大值；假设不存在，请说明理由。 分析：此题只对第2问作详细分析1抛物线的解析式为.2连结AC、BC.因为的长度一定，要使周长最小，就是使最小。B点关于对称轴的对称点是A点，通过、C(0，-2)可求AC的解析式为AC与对称轴的交点即为所求的点。3当时，反思：此题对第2问的解答是转化为“求定直线上一动点与直线外两定点B、C的距离与的最小值，它的原型就是“将军饮马问题的根本问题，由于与函数结合一起，增加了命题的想象空间，这里，蕴含了丰富的“数与“形相互转化的数学思想。3、在代数式中的运用：a 、b均为正数，且 a+b=8，求代数式的最小值。分析：由a 、b均为正数，且 a+b=8，得 = ，构造适宜图形可将其转化为求两条线段与的最小值问题。如图，取AC=2，BD=4，AB=8，作C关于AB的对称点C，连接CD交AB于P，连接CP，设PA=a，那么PB=8a，CP=，DP=。此时C、P、D三点共线，CD=CP+DP=10为最小值。反思：正是由于a 、b均为正数，可以把此题构造“将军饮马问题的根本图形，顺利地求出的最小值为13，想法新奇但又顺理成章。三、问题推广1、由“求定直线上一动点与直线外两定点的距离与的最小值推广到“求两定直线上各一动点与直线外两定点的距离与的最小值问题：义务教育课程标准实验教科书八年级上册P47第9题，如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边给马喝水，然后回到帐篷，请你帮助他确定这一天的最短路线。分析：作A关于MN的对称点G，B关于直线l的对称点H，连接GH交MN于I，交直线l于L，连接AI、BL，即可得出答案；反思：根据对称点推出AI=GI，BL=HL，HK=BK，AJ=GJ，那么四点G、I、L、H在同一直线上根本问题中三点共线的推广，根据两点之间线段最短即可求出答案。2、从用“三角形周长最短证明推广到用“一边为定值的四边形周长最短的证明：在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点假设E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标分析：由于DC、EF的长为定值，如果四边形CDEF的周长最小，即DE+FC有最小值为此，作点D关于x轴的对称点D'，在CB边上截取CG=2，当点E在线段DG上时，四边形CDEF的周长最小反思：此题主要考察轴对称最短路线问题将军饮马问题，它是在根本图形证明线段与一边为定值的三角形周长最短的根底上增加了平移的线段GE与两边为定值的四边形周长最短的问题，只要学生充分体会“将军饮马的问题，通过对根本问题知识的类比与迁移，可以解决此问题四、问题启示基于对“将军饮马问题的探索，笔者认为对数学教育工作者有两方面的启示：1、对习题设计者试卷命题者的启示：对习题的变式题的设计要“从学生开展的内在需要出发，从教学内容的发生、开展过程的角度出发，能融数学的教与学为一体，重视知识的形成过程，重视知识的“内化；对试题的设计要立足于教材，对例题或根本图形进展深入的挖掘，以教材的例题或根本图形为起点，结合学生的生活经历，难度视此题型在试卷所处的位置而定。2、对教师教学的启示：从本文的解法反思中可以看出，即使是比拟复杂的问题，所用到的知识也是简单的根底问题，这就要求教师在日常的教学中，特别是单元复习与中考复习时，不仅要从不同角度去分析问题，复原知识的发生、开展及形成的过程，教给学生解题的方法，而且要与学生共同探究根本问题与解题的联系，使学生能够说出“为什么这样想、“用到哪些知识等，增强学生解答综合题的信心，提高学生解答综合题的成功率。参考文献：1、金建荣. 趣谈将军饮马问题J. 中学生数学(初中版).2005(2)2、刘金英、张义民、王立明. 中考数学试题分类解析(二) J。中国数学教育(初中版).2021(1-2)第 5 页