第1章质点运动学与牛顿定律.doc

习题1 选择题1.1一质点在平面上运动,已知质点位置矢量的表达式为 r = a t2 i+ b t2 j (其中a、b为常量), 则该质点作( )(A) 匀速直线运动(B) 变速直线运动(C) 抛物线运动(D) 一般曲线运动解 首先要判断的是质点的轨迹，由质点的位置矢量表达式 r = a t2 i+ b t2 j 知，。消去可得质点的轨迹方程为，由此可知质点的轨迹为直线。其次要判断的是状态的变化，也就是考察速度和加速度，。由此可知质点作变速直线运动，故选。习题1.2图1.2 如图所示，用水平力F把木块压在竖直的墙面上并保持静止。当F逐渐增大时，木块所受的摩擦力( )（A）不为零， 但保持不变 （B）随F 成正比地增大（C）开始随F 增大， 达到某一最大值后， 就保持不变（D）无法确定解 由题意可知物体的状态是静止，根据牛顿第二定律物体所受的合外力为零。在竖直方向上物体受重力和摩擦力两个力的作用，两个力大小相等 、方向相反。故选。1.3一质点沿轴运动，其速度与时间的关系为：，当时，质点位于处，则质点的运动方程为( )(A) (B) (C) (D) 解 因为质点沿轴运动，由有，通过积分得到。当时，质点位于处，可求得。故选。1.4 质点作曲线运动，其瞬时速度为，瞬时速率为，平均速度为，平均速率为，则它们之间的下列四种关系中哪一种是正确的? ( )（A） （B）（C） （D）解 ；。故选。1.5 以下五种运动形式中，保持不变的运动是( ) (A) 单摆的运动 (B) 匀速率圆周运动 (C) 行星的椭圆轨道运动 (D) 抛体运动 (E) 圆锥摆运动 解 保持不变表明物体所受的合外力恒定不变。单摆的运动、行星的椭圆轨道运动、圆锥摆运动合外力的大小和方向都在不断的改变；匀速率圆周运动合外力的大小不变，但方向不断地改变；作抛体运动的物体只受重力作用，大小和方向都不变，故选。1.6 对于沿曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种是正确的( ) (A) 切向加速度必不为零。 (B) 法向加速度必不为零（拐点处除外）。 (C) 由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，因此法向加速度必为零。 (D) 若物体作匀速率运动，其总加速度必为零。 (E) 若物体的加速度为恒矢量，它一定作匀变速率运动。 解 对于沿曲线运动的物体，。当时，可以等于零；当时，；故选。1.7 一运动质点在某瞬时位于矢径的端点处, 其速度大小为( )(A) (B) (C) (D) 解 因为 ，所以速度的大小为。故选。1.8 水平地面上放一物体A，它与地面间的滑动摩擦系数为m现加一恒力如图所示欲使物体A有最大加速度，则恒力与水平方向夹角q 应满足( ) (A) sinq m (B) cosq m (C) tgq m (D) ctgq m 习题1.8图解 欲使物体A有最大加速度，对物体进行受力解，物体共受到三个力的作用，所受合外力是，根据牛顿第二定律，令，可求得时物体A有最大加速度。故选。1.9 在相对地面静止的坐标系内，A、B二船都以速率匀速行驶，A船沿x轴正向，B船沿y轴正向。今在A船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系(x、y方向单位矢用、表示)，那么在A船上的坐标系中，B船的速度（以m/s为单位）为( ) (A) 22 (B) -22 (C) 22 (D) 22 解 这是一个相对运动的问题，要求的是船相对船的速度，由题意可知，故选。1.10 如图所示，一轻绳跨过一个定滑轮，两端各系一质量分别为m1和m2的重物，且m1>m2滑轮质量及轴上摩擦均不计，此时重物的加速度的大小为a今用一竖直向下的恒力代替质量为m1的物体，可得质量为m2的重物的加速度为的大小a，则( ) (A) a= a (B) a> a (C) a< a (D) 不能确定. 习题1.10图解 对两物体进行受力解，受力；受力。根据牛顿第二定律有，可求得；当用一竖直向下的恒力代替质量为m1的物体，可得质量为m2的重物的加速度为的大小。由此可知a> a，故选。2 填空题1.11在平面内有一运动的质点，其,分量的运动方程分别为，(SI)，t时刻其速率 =_， 其切向加速度的大小=_；其法向加速度的大小=_。解 根据可得，t时刻质点的速率为，切向加速度的大小，法向加速度的大小。1.12在x轴上作变加速直线运动的质点,已知其初速度为,初始位置为,加速度为a=Ct2 (其中C为常量),则其速度与时间的关系= ， 运动方程为x= 。解 根据，通过积分可得；通过积分可得。1.13灯距地面高度为H,一个人身高为h, 在灯下以匀速率沿水平直线行走, 如图1.2所示.则他的头顶在地上的影子M点沿地面移动的速度= 。HM习题1.13图解 建立如下坐标，设时刻影子M点在地面的位置为，人在地面的位置为，由几何关系知，将此式对求导得，因为，所以。HM··OPxy1.14如图,一质点P从O点出发以匀速率1作顺时针转向的圆周运动, 圆的半径1m,如图所示,当它走过圆周时, 走过的路程是 ，这段时间内的平均速度大小 ，方向是 。··OPxy习题1.14图解 质点P从O点出发以匀速率1作顺时针转向的圆周运动, 当它走过圆周到达时，走过的路程是，方向与轴成。1.15一质点沿半径为R的圆周运动, 在t = 0时经过P点, 此后它的速率按=A+B t (A、B为正的已知常量)变化, 则质点沿圆周运动一周再经过P点时的切向加速度at= ，法向加速度an= 。解 ，。1.16以一定初速度斜向上抛出一个物体, 如果忽略空气阻力, 当该物体的速度与水平面的夹角为q 时，它的切向加速度的大小为= ， 法向加速度an的大小为an= 。解 因为忽略空气阻力，物体只受重力作用，所以物体的加速度就是重力加速度，将分解为沿速度方向和与速度垂直方向即得到。1.17如图所示装置中，若两个滑轮与绳子的质量以及滑轮与其轴之间的摩擦都忽略不计，绳子不可伸长，则在外力F的作用下，物体m1和m2的加速度为a =_，m1与m2间绳子的张力T =_。 习题1.17图解 因为两个滑轮与绳子的质量以及滑轮与其轴之间的摩擦都忽略不计，绳子不可伸长，对两物体进行受力解，受力；受力。根据牛顿第二定律有，可求得。1.18在如图所示的装置中，两个定滑轮与绳的质量以及滑轮与其轴之间的摩擦都可忽略不计，绳子不可伸长，m1与平面之间的摩擦也可不计，在水平外力F的作用下，物体m1与m2的加速度a_，绳中的张力T_。 习题1.18图解 因为两个滑轮与绳子的质量以及滑轮与其轴之间的摩擦都忽略不计，绳子不可伸长， 对两物体进行受力解，水平方向受力；受力。根据牛顿第二定律有，可求得。3 计算题1.19 已知质点位矢随时间变化的函数形式为，式中的单位为m，的单位为s.求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。解 (1)由，有：，有：（2）而，有速率：，利用 有：1.20 一质点沿轴作直线运动,它在t时刻的坐标是，式中以米计，以秒计，试求 (1) s和s时刻的瞬时速度；（2）第二秒内所通过的路程；（3）第二秒内的平均加速度以及和 时刻的瞬时加速度。解（1）由 可知 当s时 ， 当s 时 （2）令得 s时有极值，其速度为零，质点改变运动方向，即质点的“回头”点。此时而 则质点所经过的路程为（3）而 则 1.21 一质点在轴上作加速运动，开始时。若（1）加速度，求任意时刻的速度和位置，其中,为常量；（2）加速度，求任意时刻的速度和位置；（3）加速度，求任意位置的速度。解：（1）由和可依次得速度位置坐标（2）由可得，两边积分有 所以 可得 再由可得两边积分有 由此可得 （3）由于于是 两边积分有 由此可得 ,故1.22质点的运动方程为：，式中为正的常量。求：（1）质点运动的轨迹方程；（2）质点的速度大小；（3）质点的加速度大小。解 （1）质点的轨迹方程为：，这是一条空间螺旋线。空间螺旋线在平面上的投影，是圆心在原点，半径为R的圆，其螺距为。（2） ，（3） 1.23质点在xOy平面内的运动方程为 x=3t，y=2t2+3。求：（1）t=2s时质点的位矢、速度和加速度；（2）从t=1s到t=2s这段时间内，质点位移的大小和方向；（3）s和s两时间段，质点的平均速度；（4）写出轨迹方程。解 (1) ，时，(2) ， 与轴正向的夹角 (3) ，(4) ，1.24 质点的关系如图，图中，三条线表示三个速度不同的运动问（1）它们属于什么类型的运动?（2）哪一个速率小？ 解（1）从图象可以看出，三条线反映的都是：与成线性关系，所以它们属于匀速直线运动（2）根据 可知直线的斜率越小，速率就小，所以对应的速率小。习题1.24图1.25质点沿轴正向运动，加速度，为常数设从原点出发时速度为，求运动方程。解 由于是一维运动，所以，由题意：，分离变量并积分有： ，得： 又 ， 积分有：1.26 已知子弹的轨迹为抛物线，初速为，并且与水平面的夹角为。试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。解（1）抛物线顶点处子弹的速度，顶点处切向加速度为0，法向加速度为。因此有：，习题1.26图（2）在落地点时子弹的速度为，由抛物线对称性，知法向加速度方向与竖直方向成角，则：，有： 则： 。1.27 如图所示，质量为m的钢球A沿着中心在O、半径为R的光滑半圆形槽下滑当A滑到图示的位置时，其速率为v ，钢球中心与O的连线OA和竖直方向成q 角，求这时钢球对槽的压力和钢球的切向加速度 习题1.27图解 对小球进行受力解根据牛顿第二定律有1.28 质量为10kg的质点在平面内运动，受一恒力作用，力的分量为，当时，。当时，求：(1) 质点的位矢；(2) 质点的速度。解 （1）由题意根据牛顿第二定律可以得到 又因为通过积分得 由通过积分所以当时（2）当时1.29质量为的子弹以速度水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为，忽略子弹的重力，求：(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；(2) 子弹进入沙土的最大深度。解 由题意，子弹射入沙土中的阻力表达式为：又由牛顿第二定律可得：，则分离变量，可得：，两边同时积分，有：，所以：（2）子弹进入沙土的最大深度也就是的时候子弹的位移，则：考虑到，可推出：，而这个式子两边积分就可以得到位移：1.30 两根弹簧的倔强系数分别为k1和k2求证：（1）它们串联起来时，总倔强系数k与k1和k2满足关系关系式；（2）它们并联起来时，总倔强系数k = k1 + k2解 当力F将弹簧共拉长x时，有F = kx，其中k为总倔强系数两个弹簧分别拉长x1和x2，产生的弹力分别为F1 = k1x1，F2 = k2x2（1）由于弹簧串联，所以F = F1 = F2，x = x1 + x2，因此 习题1.28图即 （2）由于弹簧并联，所以F = F1 + F2，x = x1 = x2，因此 kx = k1x1 + k2x2， 即 k = k1 + k21.31 如图所示，一半径为R的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动在环上套有一珠子今逐渐增大圆环的转动角速度，试求在不同转动速度下珠子能静止在环上的位置以珠子所停处的半径与竖直直径的夹角表示解 珠子受到重力和环的压力，其合力指向竖直直径，作为珠子做圆周运动的向心力，其大小为：F = mgtg珠子做圆周运动的半径为r = Rsin根据向心力公式得F = mgtg = m2Rsin，可得习题1.31图，解得1.32一质量为m的小球以速率从地面开始竖直向上运动在运动过程中，小球所受空气阻力大小与速率成正比，比例系数为k求：（1）小球速率随时间的变化关系；（2）小球上升到最大高度所花的时间T解（1）小球竖直上升时受到重力和空气阻力，两者方向向下，取向上的方向为正，根据牛顿第二定律得方程分离变量得 积分得当t = 0时，所以，因此，小球速率随时间的变化关系为（2）当小球运动到最高点时，所需要的时间为讨论（1）如果还要求位置与时间的关系，可用如下步骤：由于，所以积分得当t = 0时，x = 0，所以因此（2）如果小球以的初速度向下做直线运动，取向下的方向为正，则微分方程变为用同样的步骤可以解得小球速率随时间的变化关系为这个公式可将上面公式中的g改为-g得出第 15 页