复变函数期末考试题大全(东北师大).docx

一、填空题每题2分1、复数的指数形式是 2、函数=将上的曲线变成()上的曲线是 3、假设,那么 4、= 5、积分= 6、积分 7、幂级数的收敛半径R= 8、是函数的 奇点9、 10、将点,i,0分别变成0,i,的分式线性变换 二、单项选择题每题2分1、设为任意实数，那么= A 无意义 B等于1 C是复数其实部等于1 D是复数其模等于12、以下命题正确的选项是 A B 零的辐角是零 C仅存在一个数z,使得 D 3、以下命题正确的选项是 A函数在平面上处处连续B 如果存在,那么在解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v是u的共轭调与函数,那么u也是v的共轭调与函数 4、根式的值之一是 A B C D 5、以下函数在的去心邻域内可展成洛朗级数的是 A B C D 6、以下积分之值不等于0的是( )A B C D 7、函数在处的泰勒展式为 A <1 B <1C <1 D <18、幂级数在内的与函数是 A B C D 9、设a，C：=1，那么 A 0 B i C 2ie D icosi10、将单位圆共形映射成单位圆外部的分式线性变换是 A B C D 三、判断题每题2分1、 对任何复数z,成立2、 假设是与的一个奇点,那么也是的奇点3、 方程的根全在圆环内4、 z=是函数的三阶极点5、 解析函数的零点是孤立的四、计算题每题6分1、在上解析,求a,b,c,d的值2、计算积分3、将函数在的邻域内展成泰勒级数,并指出收敛范围4、计算实积分I=5、求在指定圆环内的洛朗展式6、求将上半平面共形映射成单位圆的分式线性变换，使符合条件， 五、证明题每题7分1、设1函数在区域内解析2在某一点有，证明：在内必为常数2、证明方程在单位圆内有个根一填空题每题2分，视答题情况可酌情给1分，共20分1 ，2 ， 3 (2k+1),(k=0,)， 4 (k=0,)5 , 6 0 , 7 , 8 可去， 9 ， 10 二 单项选择题每题2分，共20分1 D 2 D 3 A 4 A 5 B 6 B 7 C 8 D 9 A 10 A三 判断题每题2分，共10分 1 2 3 4 5 四 计算题每题6分，共36分1解：, 分 5分 解得: 分2 解：被积函数在圆周的内部只有一阶极点z=0及二阶极点z=1 分 =2i(-2+2)=0 分3 解： = 4分 <2 6分4 解: 被积函数为偶函数在上半z平面有两个一阶极点i,2i 1分 I= 2分 = 3分 = 5分 = 6分5 解： 1分 = 3分 = 6分6 解: =L(i)=k 分 3分 4分 6分五 证明题每题7分，共14分1 证明:设 在解析 由泰勒定理 2分 由题设 EMBED Equation.3 ， 4分 由唯一性定理 7分2 证明：令 ， 分 (1及在解析 (2上， <5 分 故在上，由儒歇定理在内 7分一、填空题每题2分1、的指数形式是 2、= 3、假设0<r<1，那么积分 4、假设是的共轭调与函数，那么的共轭调与函数是 5、设为函数=的m阶零点，那么m = 6、设为函数的n阶极点，那么 = 7、幂级数的收敛半径R= 8、是函数的 奇点9、方程的根全在圆环 内10、将点,i,0分别变成0,i,的分式线性变换 二、单项选择题每题2分1、假设函数在区域D内解析，那么函数在区域D内 A在有限个点可导 B存在任意阶导数C 在无穷多个点可导 D存在有限个点不可导2、使成立的复数是 A 不存在 B 唯一的 C 纯虚数 D实数3、 A sin1 B sin1 C 2sin1 D 2sin14、根式的值之一是 A B C D 5、是的 A 可去奇点 B 一阶极点 C 一阶零点 D 本质奇点6、函数，在以为中心的圆环内的洛朗展式有m个，那么m=( )A 1 B 2 C 3 D 47、以下函数是解析函数的为 A B C D 8、在以下函数中，的是 A B C D 9、设a，C：=1，那么 A 0 B i C 2ie D icosi10、将单位圆共形映射成单位圆外部的分式线性变换是 A B C D 总分值10得分三、判断题每题2分1、 幂级数在<1内一致收敛2、 z=是函数的可去奇点3、 在柯西积分公式中，如果，即a在之外，其它条件不变，那么积分0，4、 函数 EMBED Equation.3 在的去心邻域内可展成洛朗级数5、 解析函数的零点是孤立的四、计算题每题6分1、计算积分，C： EMBED Equation.3 1+的直线段2、求函数在所有孤立奇点包括处的留数3、将函数在的去心邻域内展成洛朗级数,并指出收敛域总分值14得分4、计算积分 , C:，5、计算实积分I= 6、求将单位圆共形映射成单位圆的分式线性变换使符合条件，五、证明题每题7分1、设函数在区域内解析，证明：函数也在内解析2、证明：在解析，且满足的，的函数不存在一填空题每题2分，视答题情况可酌情给1分，共20分1 ，2 (k=0,±) ， 3 0， 4 ， 5 9 6 ，7 ， 8 本质， 9 ， 10 二 单项选择题每题2分，共20分1 B 2 D 3 C 4 D 5 A 6 C 7 C 8 D 9 A 10 A三 判断题每题2分，共10分 1 2 3 4 5 四 计算题每题6分，共36分1解：C的参数方程为： z=i+t, 0 dz=dt 分 = 分2解: 为一阶极点 分 为二阶极点 分 分 分 6分3 解：= 2分 = 5分 0<<2 6分4 解：在C内有一个二阶极点0与一个一阶极点 1分 3分 5分所以原式i 6分5 解：令 1分 = 3分被积函数在内的有一个一阶极点 5分 I= 6分6解： 分 所以 分 于是所求变换 分五 证明题每题7分，共14分 1 证明： 设f(z)=ux，y+ivx，y= ux，y-ivx，y= vx，y-i ux，y 分fz在D内解析，四个偏导数为 v，v，-u，-u 分 比拟fz的CR方程 也满足C-R方程且四个偏导数在D内连续 EMBED Equation.3 在D内解析 分 2 证明：假设在解析的函数存在且满足， 分点列=以为聚点在点列上, 由解析函数的唯一性定理在的邻域内= 分但在这个邻域内又有矛盾在解析的函数不存在 分?复变函数论?试题库梅一A111?复变函数?考试试题一1、 _.为自然数2. _.3.函数的周期为_.4.设，那么的孤立奇点有_.的收敛半径为_.6.假设函数f(z)在整个平面上处处解析，那么称它是_.，那么_.8._，其中n为自然数.9. 的孤立奇点为_ .是的极点，那么.题40分：1. 设，求在内的罗朗展式.2. 3. 设，其中，试求4. 求复数的实部与虚部.四. 证明题.(20分)1. 函数在区域内解析. 证明：如果在内为常数，那么它在内为常数.2. 试证: 在割去线段的平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线上岸取正值的那支在的值.?复变函数?考试试题二二. 填空题. (20分)1. 设，那么，那么_.3. _.为自然数 4. 幂级数的收敛半径为_ .5. 假设z0是f(z)的m阶零点且m>0，那么z0是的_零点.6. 函数ez的周期为_. 7. 方程在单位圆内的零点个数为_.8. 设，那么的孤立奇点有_.9. 函数的不解析点之集为_.10. .三. 计算题. (40分)1. 求函数的幂级数展开式.2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点处的值.3. 计算积分：，积分路径为1单位圆的右半圆.4. 求 .四. 证明题. (20分)1. 设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是在D内解析.2. 试用儒歇定理证明代数根本定理.?复变函数?考试试题三二. 填空题. (20分)1. 设，那么f(z)的定义域为_.2. 函数ez的周期为_.3. 假设，那么_.4. _.5. _.为自然数6. 幂级数的收敛半径为_.7. 设，那么f(z)的孤立奇点有_.8. 设，那么.9. 假设是的极点，那么.10. .三. 计算题. (40分)1. 将函数在圆环域内展为Laurent级数.2. 试求幂级数的收敛半径.3. 算以下积分：，其中是. 4. 求在|z|<1内根的个数.四. 证明题. (20分)1. 函数在区域内解析. 证明：如果在内为常数，那么它在内为常数.2. 设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R及M，使得当时，证明是一个至多n次的多项式或一常数。?复变函数?考试试题四二. 填空题. (20分)1. 设，那么.2. 假设，那么_.3. 函数ez的周期为_.4. 函数的幂级数展开式为_5. 假设函数f(z)在复平面上处处解析，那么称它是_.6. 假设函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，那么称它是D内的_.7. 设，那么.8. 的孤立奇点为_.9. 假设是的极点，那么.10. _.三. 计算题. (40分)1. 解方程.2. 设，求3. . 4. 函数有哪些奇点？各属何类型假设是极点，指明它的阶数.四. 证明题. (20分)1. 证明：假设函数在上半平面解析，那么函数在下半平面解析.2. 证明方程在内仅有3个根.?复变函数?考试试题五二. 填空题.20分1. 设，那么.2. 当时，为实数.3. 设，那么.4. 的周期为_.5. 设，那么.6. .7. 假设函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，那么称它是D内的_。8. 函数的幂级数展开式为_.9. 的孤立奇点为_.10. 设C是以为a心，r为半径的圆周，那么.为自然数三. 计算题. (40分)1. 求复数的实部与虚部.2. 计算积分：，在这里L表示连接原点到的直线段.3. 求积分： EMBED Equation.3 ，其中0<a<1.4. 应用儒歇定理求方程，在|z|<1内根的个数，在这里在上解析，并且.四. 证明题. (20分)1. 证明函数除去在外，处处不可微.2. 设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个数R及M，使得当时，证明:是一个至多n次的多项式或一常数.?复变函数?考试试题六1.一、 填空题20分1. 假设，那么_.2. 设，那么的定义域为_.3. 函数的周期为_.4. _.5. 幂级数的收敛半径为_.6. 假设是的阶零点且，那么是的_零点.7. 假设函数在整个复平面处处解析，那么称它是_.8. 函数的不解析点之集为_.9. 方程在单位圆内的零点个数为_.10. 公式称为_.二、 计算题30分1、.2、设，其中，试求.3、设，求.4、求函数在内的罗朗展式.5、求复数的实部与虚部.6、求的值.三、 证明题20分1、 方程在单位圆内的根的个数为6.2、 假设函数在区域内解析，等于常数，那么在恒等于常数.3、 假设是的阶零点，那么是的阶极点.计算以下积分分(1) ； (2) 计算积分分求以下幂级数的收敛半径分(1)；(2)设为复平面上的解析函数，试确定，的值分三、证明题设函数在区域内解析，在区域内也解析，证明必为常数分试证明的轨迹是一直线，其中为复常数，为实常数分试卷一至十四参考答案?复变函数?考试试题一参考答案二填空题1. ； 2. 1； 3. ，； 4. ； 5. 16. 整函数； 7. ； 8. ； 9. 0； 10. .三计算题.1. 解 因为 所以 .2. 解 因为 ,.所以.3. 解 令, 那么它在平面解析, 由柯西公式有在内, . 所以.4. 解 令, 那么 . 故 , .四. 证明题.1. 证明 设在内. 令. 两边分别对求偏导数, 得 因为函数在内解析, 所以. 代入 (2) 那么上述方程组变为. 消去得, .1) 假设, 那么 为常数.2) 假设, 由方程 (1) (2) 及 方程有 , .所以. (为常数).所以为常数.2. 证明的支点为. 于是割去线段的平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支. 由于当从支割线上岸一点出发,连续变动到 时, 只有的幅角增加. 所以的幅角共增加. 由所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在的幅角为, 故.?复变函数?考试试题二参考答案二. 填空题1.1， ； 2. ； 3. ； 4. 1； 5. .6. ，. 7. 0； 8. ； 9. ； 10. 0.三. 计算题1. 解 .2. 解 令. 那么. 又因为在正实轴去正实值，所以. 所以.3. 单位圆的右半圆周为, . 所以.4. 解=0.四. 证明题.1. 证明 (必要性) 令,那么. (为实常数). 令. 那么. 即满足, 且连续, 故在内解析.(充分性) 令, 那么 , 因为与在内解析, 所以, 且.比拟等式两边得 . 从而在内均为常数,故在内为常数.2. 即要证“任一 次方程 有且只有 个根. 证明 令, 取, 当在上时, 有 . .由儒歇定理知在圆 内, 方程 与 有相同个数的根. 而 在 内有一个 重根 . 因此次方程在 内有 个根.?复变函数?考试试题三参考答案二.填空题.1.; 2. ; 3. ; 4. 1; 5. ;6. 1; 7. ; 8. ; 9. ; 10. .三. 计算题.1. 解 .2. 解 . 所以收敛半径为.3. 解 令 , 那么 .故原式.4. 解 令 , . 那么在 上均解析, 且, 故由儒歇定理有 . 即在 内, 方程只有一个根.四. 证明题.1. 证明 证明 设在内. 令. 两边分别对求偏导数, 得 因为函数在内解析, 所以. 代入 (2) 那么上述方程组变为. 消去得, .1) , 那么 为常数.2) 假设, 由方程 (1) (2) 及 方程有 , .所以. (为常数).所以为常数.2. 证明 取 , 那么对一切正整数 时, . 于是由的任意性知对一切均有. 故, 即是一个至屡次多项式或常数. ?复变函数?考试试题四参考答案.二. 填空题.1. , ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. 整函数;6. 亚纯函数; 7. 0; 8. ; 9. ; 10. .三. 计算题.1. 2. 解 , . 故原式.3. 解 原式.4. 解 =，令，得，而 为可去奇点 当时， 而 为一阶极点.四. 证明题.1. 证明 设, 在下半平面内任取一点, 是下半平面内异于的点, 考虑 .而, 在上半平面内, 在上半平面解析, 因此, 从而在下半平面内解析.2. 证明 令, , 那么与在全平面解析, 且在上, ,故在内.在上, , 故在内.所以在内仅有三个零点, 即原方程在内仅有三个根.?复变函数?考试试题五参考答案一. 判断题.1 ×× 6× × 10.二. 填空题.1.2, , ; 2. ; 3. , ; 4. ; 5. 0; 6. 0; 7. 亚纯函数; 8. ; 9. 0; 10. . 三. 计算题.1. 解 令, 那么 . 故 , .2. 解 连接原点及的直线段的参数方程为 , 故.3. 令, 那么. 当时, 故, 且在圆内只以为一级极点, 在上无奇点, 故, 由残数定理有.4. 解 令 那么在内解析, 且在 EMBED Equation.DSMT4 上, , 所以在内, , 即原方程在 内只有一个根.四. 证明题.1. 证明 因为, 故. 这四个偏导数在平面上处处连续, 但只在处满足条件, 故只在除了外处处不可微.2. 证明 取 , 那么对一切正整数 时, . 于是由的任意性知对一切均有. 故, 即是一个至屡次多项式或常数.?复变函数?考试试题六参考答案二、填空题：1. 2. 3. 4. 1 5. 1 6. 阶 7. 整函数 8. 9. 0 10. 欧拉公式 三、计算题：1. 解：因为 故.2. 解： 因此 故 .3.解： 4.解： 5解：设, 那么. 6解：四、1. 证明：设那么在上， 即有. 根据儒歇定理，与在单位圆内有一样个数的零点，而的零点个数为6，故在单位圆内的根的个数为6. 2.证明：设，那么, 由于在内解析，因此有 , .于是故，即在内恒为常数. 3.证明：由于是的阶零点，从而可设 ，其中在的某邻域内解析且，于是 由可知存在的某邻域，在内恒有，因此在内解析，故为的阶极点.复变函数试题一、 填空题3×15=45分1、一个复数乘以，它的模，它的辐角。2、函数把平面上的区域映成平面上的区域。3、。4、设为解析函数，那么，。5、在区域内是解析的，为内任一闭合曲线，那么。6、。其中：7、，那么。8、函数在-1处的泰勒展式的收敛半径R=。9、z=0是函数的 级极点。10、如果分式线性映射把z平面上的点，那么该分式线性映射为 。11、= 。12、。13、方程的所有根是 。14、。15、假设函数f(z)在点a解析，且，那么。二、 判断题3×6=18分1、0的辐角是零。2、如果在可导，那么在解析。3、设与都是调与函数，如果是的共轭调与函数，那么也是的共轭调与函数。4、每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛。5、函数不能在某个圆环域内展开成洛朗级数。6、设在单连通域B内处处解析，C为B内任一条正向简单闭曲线，那么 三、 解答题共37分1、9分求复数的共轭复数、模与辐角主值。2、10分把以下函数在指定的圆环域内展开成洛朗级数。3、8分证明函数在z平面内解析，并求出导数。4、10解析函数f(z)在正实轴上的数值为纯虚数，且虚部为：，求f(z)。