微积分习题答案.doc

一、填空题1设是的多项式，且，那么 2 3 4设，那么有 ， 4，25设，那么 26 7函数的连续点是 8为使函数在点处连续，应补充定义 19设函数在处连续，那么参数 10函数在点处连续，那么 2二、单项选择题1设，且存在，那么 2极限 不存在 3 ； ； ； 4的连续区间是_ 5函数的不连续点有 2个 3个 4个 4个以上6以下函数中，.当时，与无穷小量相比是高阶无穷小量的是_；是等价无穷小量的是_ ， 7当时，与相比是 高阶无穷小量 低阶无穷小量 同阶但不等价的无穷小量 等价无穷小量8当时，与相比是 高阶无穷小量 同阶但不等价的无穷小量低阶无穷小量 等价无穷小量9设 为连续函数，那么k =_ 1 3 0 310函数在点处有定义是当时极限存在的 充分但非必要条件 必要但非充分条件充分必要条件 既非充分又非必要条件11当时，以下函数中比高阶的无穷小量是 12当时，以下函数中为无穷小量的是 13当时，以下函数中为无穷小量的是 14设在某个极限过程中函数与均是无穷大量，那么以下函数中哪一个也必是无穷大量 15设，那么函数在点处连续的充分必要条件是 16是的 连续点 跳跃连续点 可去连续点 无穷连续点三、求以下极限1 2 3456 解 记 因为 即 ，由于，所以由夹逼定理，得7设，求 解 原式左端 由于极限存在，故。 ，四、分析题1讨论极限解 因为，故原极限不存在。2求的连续点，并判别连续点的类型。解 因为，而，因此有连续点：为可去连续点，为无穷连续点。.3求函数的连续区间，假设有连续点，试指出连续点的类型。解 函数的连续区间为，点为函数的第二类无穷连续点。4讨论函数的连续性。解 在点处没有定义，是连续点，故的连续区间为，点为的第二类无穷连续点。5讨论函数在点处的连续性。解 ， 在点处连续性。6设函数 1当取何值时，点是函数的连续点？是何种连续点？2当取何值时，函数在上连续？为什么？解1在点处， 当且时，由于，所以点是的跳跃连续点。 2当时，由于，那么在点处连续。又因为在或上，为初等函数，所以连续。故当时，函数在上连续。7设函数 1求函数的定义域； 2讨论函数在点处的极限是否存在？为什么？ 3为何值时，函数在点处连续？并求函数的连续区间；4画出函数的图形。解1 2因为，所以不存在 3在点处， 所以，当时，即函数在点处连续。此时，的连续区间为： 4略五、证明题1证明方程在区间内至少有一个实根。证 设，在上连续，又，由零点定理知，在内至少存在一点，使得，即，故方程在区间内至少有一个实根。2证明：方程至少有一个正根。证 设因为，故由零点定理知，使得，所以方程至少有一正根。3证明方程至少有一个正根，并且不超过。证 设，下面分两种情形来讨论：情形1 假设 ，那么因为，故是方程的正根，并且不超过。情形2 假设，那么因，故，又因在上连续，故由零点定理知，使得，因此是方程的正根，并且不超过。4设为正整数，函数在上连续，且，证明存在数，使得。证 假设，即，取，结论成立。 假设，作辅助函数，易知在上连续，因为 那么个实数全部为零或同时有正数与负数， 1假设这些数全部为零，即，那么结论成立。 2假设这些数中有正数与负数，即有某个 于是由零点定理可知，在与之间存在一点显然，使得，即 #