偏微分方程数值解(试题).doc

偏微分方程数值解试题1、考虑一维的抛物型方程：（1）导出时间离散是一阶向前Euler格式，空间离散是二阶精度的差分格式；（2）讨论（1）中导出的格式的稳定性；（3）若时间离散为二阶精度的蛙跳格式， 空间离散是二阶精度的中心差分，问所导出的格式稳定吗？为什么？2、考虑Poission方程 其中是图1中的梯形。 图1 梯形使用差分方法来离散该方程。由于梯形的对称性，可以考虑梯形的一半，如图2，图2 从物理空间到计算区域的几何变换为了求解本问题，采用如下方法：将的一半投影到正方形区域，然后在上使用差分方法来离散该方程。在计算区域上用个网格点，空间步长为。（1）引入一个映射将原区域（带有坐标）变换到单位正方形（带有坐标）。同时导出在新区域上的方程和边界条件。（2）在变换区域，使用泰勒展开导出各导数项在区域内部和边界点上的差分格式。3、对线性对流方程，其一阶迎风有限体积法离散格式为=（）（1）写出时的一阶迎风有限体积法的离散格式；（2）写出为任意符号的常数的一阶迎风有限体积法的守恒形式。（3）使用说明一阶迎风有限体积法不是熵保持的格式。4、对一维Poission方程将分成等分，写出用中心差分离散上述方程的差分格式，并问：（1）该差分格式与原微分方程相容吗？为什么？（2）该差分格式稳定吗？为什么？（3）该差分格式是否收敛到原微分方程的解？为什么？（4）取，写出该差分格式的矩阵表示。5、叙述二重网格方法的执行过程，并对一维常微分方程边值问题给出限制算子和延拓算子矩阵（以细网格：，粗网格：为例）。6、对一阶波动方程 （1）写出用中心差分进行空间离散，用一阶向后Euler进行时间离散的差分格式；（2）使用线方法，分析上述格式的稳定性。7、考虑散热片的设计问题。二维散热片如图3所示，是由一个中心柱和4个水平的子片构成；散热片从底部的均匀通量源通过大表面的子片散热到周围的空气中。散热片可由一个5维参数向量来表示，其中，和；可取给定设计集中的任意值。是第个子片热传导系数（是中柱的热传导系数）；Bi是Biot数，反映在散热片表面的对流输运的热传导系数（大的Bi意味好的热传导）。比如，假定我们选择散热片具有如下参数，此时。中心柱的宽度是1，高度是4；子片的厚度，长度。我们将输出温度看作是的函数，其中输出温度是散热片底部定常态温度的均值，输出温度越低，散热效果越好。在散热片内定常态温度分布，由椭圆型方程控制 其中是在的限制，是热传导系数为的散热片的区域：是中心柱，对应4个子片。整个散热片区域记为，的边界记为。为确保在传导系数间断界面上温度和热通量的连续性，我们有 这里是的外法线。在散热片的底部引入Neumann边界条件 来刻画热源；一个Robin边界条件 来刻画对流热损失，其中是暴露在流体流动中的边界部分，。在底部的平均温度，其中。在这个问题中，我们取。（1）证明满足弱形式 其中 （2）证明是在中取得极小值的变量 （3）考虑线性有限元空间 找，使得 此时 运用通常的节点基，我们得矩阵方程 其中 n是有限元空间的维数。请推导出单元矩阵，单元荷载向量，单元输出向量；并且描述从单元量获得总矩阵的程序。8、考虑Poisson方程 其中是单位正方形，定义空间和泛函若，且是上述Poisson方程的解，（1）证明为在空间上的极小值点，其中 （2）证明满足弱形式 （3）作图示均匀三角形剖分，步长，写出下列节点编号所对应的刚度矩阵和荷载向量。 (a)节点编号顺序为(b) 节点编号顺序为(4)假定基函数和节点有同样的编号，写出节点为的节点基函数。9、考虑一维的poisson方程 将区间分成等份，用中心差分离散二阶导数，完成下列各题：（1） 写出该问题的矩阵形式的离散格式：；（2） 记，证明·非负性 ·有界性 10、交通流问题可用如下的非线性双曲型方程来刻划其中是汽车密度（每公里汽车的辆数），是速度。假定速度是密度的函数： 其中是最大速度，。用如下的Roe格式其中求解下列绿灯亮了问题：此时初始条件为一些参数如下：。（1） 给出时问题的解；（2） Roe格式满足熵条件吗？为什么？11、考虑1D常微分方程两点边值问题 其中，定义空间和泛函若，且是上述1D常微分方程两点边值问题的解，（1）证明为在空间上的极小值点，其中 （2）证明满足弱形式 （3）将均匀剖分成等份（比如），记第k个三角单元，写出节点编号为3所对应的节点基函数及第3个单元所对应的刚度矩阵和荷载向量。（4）写出时，该问题有限元离散所对应的线性方程组。