线性代数习题参考-答案~.doc

|第一章 行列式§1 行列式的概念1 填空(1) 排列 6427531 的逆序数为 ，该排列为 排列。(2) = ， = 时， 排列 1274 56 9 为偶排列。ij ij(3) 阶行列式由 项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列n的 个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个 元排列。若该排列为奇排列，则该项的符号为 号；若为n偶排列，该项的符号为 号。(4) 在 6 阶行列式中， 含 的项的符号为 ，含15234516aa的项的符号为 。3241562a2 用行列式的定义计算下列行列式的值(1) 1230a解： 该行列式的 项展开式中，有 项不为零，它们分别为 !，所以行列式的值为 。(2) 12,21,21,1,00nnnnnaaa解：该行列式展开式中唯一不可能为 0 的项是 ，而它的逆序数是 ，故行列式值为 。3 证明：在全部 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。证明： 元排列共有 个，设其中奇排列数有 个，偶排列数为 个。对于任意奇排n!1n2n列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有 ，同理得 ，所以 。12n2112|4 若一个 阶行列式中等于 0 的元素个数比 多，则此行列式为 0，为什么？nn25 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则 至少为多少？nn（提示：利用 3 题的结果）6 利用对角线法则计算下列三阶行列式（1）201483（2） 21abc|§2 行列式的性质1 利用行列式的性质计算系列行列式。(1) 2413506(2) 10abcd(3) abcedff|2 证明下列恒等式(1) 3axbyzabxxyzDyz（提示：将行列式按第一列分解为两个行列式之和，再利用性质证明）(2) 22222222130aabbccdd(3) 111221100nnnnxxaxaxaa(提示：从最后一列起，后列的 倍加到前一列)|3 已知四阶行列式 D 的第三行元素分别为： ；第四行元素的对应的余1,024子式依次是 2，10， ，4，求 的值。a4 已知 1365，2743，4056，6695，5356 能被 13 整除，证明：能被 13 整除。136527409536（提示：注意观察行列式中第 2，3，4，5 列元素的特点）5 已知 ，5123451274350D求：(1) ；1232452AA(2) 和 。44（提示：利用行列式按行（列）展开的性质计算）|6 设 ，求 的根。()xabcf()0fx解 1：首先，行列式展开式中含 项，所以 有四个根。而通过观察，将4()f代入行列式，行列式中均有两行元素相同，此时行列式值为,xabxc0，即 为根。然后，把所有列加到第一列上，可发现第四个根，,计算如下：解 2：（注意各行元素之和相等，可计算 的值后，求根。 ）()fx|§3 行列式的计算1 利用三角行列式的结果计算下列 阶行列式n(1) 31D（提示：注意各行（列）元素之和相等）(2)00xyxyy（提示：可考虑按第一行（列）展开）|(3) 121, (0,12,)n inaDan （提示：可考虑第一行的 倍加到各行，再化为三角行列式）12 用迭代法计算下列行列式(1) 21001200nD解：按第一行（列）展开，得递推公式： = + 。于是nD1n2n= = 。nD1n2n2由此得： + 1+ 2n+ D。|(2) 。001001nababDab解：按第一行展开，有递推公式 + ，得递推公式：nD1n2nD1nDa12()na2()同理可得： 1nb联立与，解方程组得： nD3 利用范德蒙行列式的结果计算下列行列式(1) ，111()()nnnnaaD (0,2,)n（提示：利用行列式的性质，先化行列式为标准形式的范德蒙行列式，再利用范德蒙行列式的结果计算行列式）|(2) ，12111222211211nnnnnnnabaabDabaab )0(ia解：在 行中提出 因子，ii4构造辅助行列式法计算下列行列式(1) (缺行的范德蒙行列式)224411abcdD解：构造辅助范德蒙行列式 ， 为 中元素22233344411abcdxD D的余子式，而3x22233344411abcdxD