11勾股定理.doc
勾股定理一、勾股定理在直角三角形中，三边长为a、b、c，其中c为斜边，则a2b2=c2如：已知RtABC中，三边长为a、b、c，其中a=3，b=4，则c=_答案：.二、直角三角形的性质（1）两锐角互余；（2）RtABC中，c为斜边，则a2b2=c2（3）如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，三边长为a，2a（4）等腰直角三角形三边长分别为a，a，例1、如图，在ABC中，CDAB于D，若AB=5，BCD=30°，求AC的长解：设BD=x，CDAB，BCD=30°.BC=2BD=2x.在RtBCD中，根据勾股定理得BD2CD2=BC2.即.解得x=2.BD=2，AB=5，AD=3.在RtACD中，由勾股定理有例2、如图，在ABC中，C=90°，AD、BE是中线，AD=5，求AB的长解：设CE=x，CD=y，则AC=2x，BC=2y.在RtACD和RtBCE中，由勾股定理得例3、如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MNAC于点N，求MN解：连接AM，AB=AC，M为BC的中点AMBCBM=MC=BC=3.在RtAMB中，由勾股定理得设CN=x，则AN=5x在RtANM中，MN2=AM2AN2=42（5x）2在RtCNM中，MN2=MC2CN2=32x232x2=42（5x）2，解得方法2：由面积法得：AM·MC=MN·AC.例4、如图，在ABC中，A=90°，P是AC的中点，PDBC于D，BC=9，DC=3，求AB的长解：连结PB，BD=BCDC=6在RtBDP和RtPDC中PD2=BP2BD2，PD2=PC2DC2BP2BD2=PC2DC2BP2PC2=BD2DC2=369=27在RtABP中，AB2=BP2AP2.AP=PCAB2=BP2PC2=27.例5、如图，已知A=60°，B=D=90°，AB=2，CD=1，求BC和AD的长解：如图，延长AD、BC交于点EB=90°，A=60°，E=30°.AE=2AB=4.在RtABE中，由勾股定理得. 同步测试一、选择题1、如图，矩形纸片ABCD中，AB=8cm，把矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，若，则AD的长为（）A4cmB5cmC6cmD7cm二、填空题2、在RtABC中，C=90°，A、B、C所对应的边分别是a、b、c（1）若a=3cm，b=5cm，则c=_（2）若a=8cm，c=17cm，则b=_（3）若ab=34，c=10cm，则a=_，b=_3、分别以直角三角形的三边为边向形外作正方形，如图中所示的正方形A的面积是_，B的面积是_4、在RtABC中，斜边AB=2cm，则AB2BC2CA2=_cm25、一个直角三角形的两边长分别为3cm和4cm，则它的第三边长为_6、已知：直角三角形的两条直角边长分别为6cm、8cm，那么斜边上的高为_7、矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE=_cm8、如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，AB、CD分别是两底面的直径，AD、BC是母线若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是_（结果保留根式）三、解答题9、如图所示，铁路上有A、B两点（看做直线上两点）相距40千米，C、D为两村庄（看做两个点），ADAB，BCAB，垂足分别为A、B，AD=24千米，BC=16千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A点多少千米处？10、如图所示，地面上有一个长方体，一只蜘蛛在这个长方体的顶点A处，一滴水珠在这个长方体的顶点C处，已知长方体的长为6m，宽为5m，高为3m，蜘蛛要沿着长方体的表面从A处爬到C处，沿着怎样的路线爬行的距离最短？你能求出这个最短距离吗？答案：1、C 2、（1）；（2）15cm；（3）6cm，8cm 3、25；256 4、8 5、5cm或6、4.8cm 点拨：设斜边上的高为h， 7、 点拨：设DE=BE=x cm，则AE=（10x）cm，（10x）242=x2 8、 9、AE2242=（40AE）2162，解得AE=16（千米） 10、将长方体上面展开并与前面在同一平面上， 则蜘蛛沿对角线AC爬行距离最短，最短距离是 课外拓展例、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，莲花村六组有四个村庄，A、B、C、D正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图中的实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线（以下数据可供参考：）解：不妨设正方形的边长为1（也可以设为a），则图（1）、（2）中的总线路长分别为ADABBC=3，ABBCCD=3图（3）中，总线路长为ACBD=2.828图（4）中，延长EF交BC于点H，则FHBC，BH=HC由FBH=30°，BH=及勾股定理，得EA=ED=FB=FC=，FH=EF=12FH=1此时，总线路长为4EAEF=显然，3>2.828>2.732，图（4）的连结线路最短，即图（4）的架设方案最省电线点评：这里是逐一计算四条线路的长度，并加以比较，选出最短的方案在方案（4）中注意作铺助线，构成直角三角形，再运用勾股定理 中考解析例1、如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是，斜边长为c和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形 （1）画出拼成的这个图形的示意图 （2）证明勾股定理 解析：方法一、（1）如图 （2）证明：大正方形的面积表示为,大正方形的面积也可表示为,， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 方法二、（1）如图 （2）证明：大正方形的面积表示为：， 又可以表示为：,， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 例2、有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长 解析：在中，由勾股定理有：，扩充部分为扩充成等腰应分以下三种情况 如图1，当时，可求得的周长为32m 如图2，当时，可求由勾股定理得：，得的周长为如图3，当为底时，设则由勾股定理得：，得的周长为10 / 10
