圆锥曲线之定点定值问题教师.doc
圆锥曲线 之 定点定值 问题一、定点问题例已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切求椭圆C的方程；设，、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，求直线的斜率的取值范围；在的条件下，证明直线与轴相交于定点【练习1】 在直角坐标系中，点到点，的距离之和是，点 的轨迹是与轴的负半轴交于点，不过点的直线与轨迹交于不同的两点和求轨迹的方程；当时，求与的关系，并证明直线过定点【练习2】在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,。（1）设动点P满足,求点P的轨迹；（2）设，求点T的坐标；（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。【练习3】已知椭圆C中心在原点，焦点在轴上，焦距为，短轴长为（）求椭圆C的标准方程；（）若直线：与椭圆交于不同的两点（不是椭圆的左、右顶点），且以为直径的圆经过椭圆的右顶点求证：直线过定点，并求出定点的坐标【练习4】已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切（）求椭圆的方程；（）设，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点；（）在（）的条件下，过点的直线与椭圆交于，两点，求的取值范围二、定值问题例1已知椭圆的中心在原点，焦点在轴的非负半轴上，点到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点距离的最大值是6.()求椭圆的标准方程和离心率；()若为焦点关于直线的对称点，动点满足，问是否存在一个定点，使到点的距离为定值？若存在，求出点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.例2:已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，P(2，0)为定点()若点P为抛物线的焦点，求抛物线C的方程；()若动圆M过点P，且圆心M在抛物线C上运动，点A、B是圆M与轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C，使|AB|为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由【练习1】已知是椭圆C的两个焦点，、为过的直线与椭圆的交点，且的周长为（）求椭圆C的方程；（）判断是否为定值，若是求出这个值，若不是说明理由.【练习3】、是经过椭圆 右焦点的任一弦，若过椭圆中心的弦，求证：是定值【练习4】如图，过抛物线上一定点P（）（），作两条直线分别交抛物线于A（），B（）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数.【练习5】 已知双曲线的离心率为，右准线方程为（）求双曲线的方程；（）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.答案解析【定点问题】例1：解：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为 联立消去得：，由得，又不合题意，所以直线的斜率的取值范围是或设点，则，直线的方程为，令，得，将代入整理，得 由得代入整理，得，所以直线与轴相交于定点【练习1】解： 将，代入曲线的方程，整理得 ，因为直线与曲线交于不同的两点和，所以 设，则， 且，显然，曲线与轴的负半轴交于点，所以，由，得将、代入上式，整理得所以，即或经检验，都符合条件，当时，直线的方程为显然，此时直线经过定点点即直线经过点，与题意不符当时，直线的方程为显然，此时直线经过定点点，且不过点综上，与的关系是：，且直线经过定点点【练习2】解：（1）。（2）点T的坐标为。（3）点T的坐标为直线MTA方程为：，即，直线NTB 方程为：，即。分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，解得：、。（方法一）当时，直线MN方程为： 令，解得：。此时必过点D（1，0）；当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D（1，0）。所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。（方法二）若，则由及，得，此时直线MN的方程为，过点D（1，0）。若，则，直线MD的斜率，直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。因此，直线MN必过轴上的点（1，0）。【练习3】解: （） （）由方程组 消去，得由题意， 整理得： 设，则， 由已知， 且椭圆的右顶点为， 即 ，也即 ，整理得解得 或 ，均满足 当时，直线的方程为 ，过定点，不符合题意舍去；当时，直线的方程为 ，过定点， 故直线过定点，且定点的坐标为 【练习4】解：（） （）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为由 得 设点，则直线的方程令，得将，代入，整理，得 由得 ，代入整理，得所以直线与轴相交于定点 （）当过点直线的斜率存在时，设直线的方程为，且，在椭圆上由 得 易知所以， 则因为，所以所以当过点直线的斜率不存在时，其方程为解得，此时所以的取值范围是 【定值问题】例1：解：():离心率 (),设由得化简得，即故存在一个定点，使到点的距离为定值，其定值为 例2：解：() ()设圆心()，点A，B. 因为圆过点P(2，0)，则可设圆M的方程为. 令，得.则，. 所以. ，设抛物线C的方程为，因为圆心M在抛物线C上，则. 所以. 由此可得，当时， 为定值故存在一条抛物线，使|AB|为定值4. 【练习1】解：（） （）设（1） 当直线斜率不存在时，有，（2） 当直线斜率存在时，设直线方程为代入椭圆方程，并整理得：所以（或求出的值）所以所以 【练习2】 2/p【练习3】解析：对于本题，,分别为中心弦和焦点弦，可将其倾斜角退到0°，此时有，,（定值）下面再证明一般性设平行弦、的倾斜角为，则斜率，的方程为代入椭圆方程，又即得，另一方面，直线方程为同理可得 由可知（定值）（注意时的情况）（关于式也可直接由焦点弦长公式得到从特殊入手，求出定点（定值），再证明这个点（值）与变量无关。）【练习4】（I）所求距离为 （2）设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为 由， 相减得,故同理可得：,由PA，PB倾斜角互补知 即,所以, 故 设直线AB的斜率为,由，,相减得所以, 将代入得，所以是非零常数.【练习5】【解法1】（）双曲线的方程为.（）点在圆上，圆在点处的切线方程为，化简得.由及得，切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，且，设A、B两点的坐标分别为，则，且， 的大小为.【解法2】（）同解法1.（）点在圆上，圆在点处的切线方程为，化简得.由及得切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，设A、B两点的坐标分别为，则， 的大小为.（且，从而当时，方程和方程的判别式均大于零）.第 11 页
