培优专题讲解等腰三角形含解答.doc

等腰三角形专题练习题 等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有一般三角形的性质，同时，还具有自身的特殊性，这些特殊性使它比一般三角形应用更加广泛等腰三角形的性质和判定为证明两个角相等和两条线段相等提供了依据等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在直线是它的对称轴，对于某些含有（或隐含）等腰三角形条件的问题，可以作等腰三角形底边上的高或构建等腰三角形、等边三角形找到解决问题的途径 例1 如图1-1，ABC中，AB=BC，M、N为BC边上两点，且BAM=CAN，MN=AN，求MAC的度数 练习1 1如图1-2，已知ABC中，AB=AC，AD=AE，BAE=30°，则DEC等于（ ）A75° B10° C12.5° D18° 1-2 2如图1-3，AA、BB分别是ABC的外角EAB和CBD的平分线，且AA=AB=BB，A、B、C在一直线上，则ACB的度数是多少？ 1-33如图1-4，等腰三角形ABC中，AB=BC，A=20°D是AB边上的点，且AD=BC，连结CD，则BDC=_1-4 例2 如图1-5，D是等边三角形ABC的AB边延长线上一点，BD的垂直平分线HE交AC延长线于点E，那么CE与AD相等吗？试说明理由 练习21已知如图1-6，在ABC中，AB=CD，D是AB上一点，DEBC，E为垂足，ED的延长线交CA的延长线于点F，判断AD与AF相等吗？ 1-6 1-7 1-8 2如图1-7，ABC是等腰直角三角形，BAC=90°，点D是ABC内一点，且DAC=DCA=15°，则BD与BA的大小关系是（ ） ABD>BA BBD<BA CBD=BA D无法确定3已知：如图1-8，在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，AF与EF相等吗？为什么？ 例3 已知：如图1-9，ABD和BEC均为等边三角形，M、N分别为AE和DC的中点，那么BMN是等边三角形吗？说明理由 练习31已知：如图1-10，在等边三角形ABC中，BD=CE=AF，AD与BE交于G，BE与CF交于H，CF与AD交于K，试判断GHK的形状 1-102已知：如图1-11，ABC是等边三角形，E是AC延长线上的任意一点，选择一点D，使CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，那么CMN是等边三角形吗？为什么？ 1-113已知：如图1-12，等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使AD=AE，作等边三角形PCD、QAE和RAB，则以P、Q、R为顶点的三角形是等边三角形，请说明理由1-12 例4 已知：如图1-13，等腰ABC中，AB=AC，A=100°，ABC的平分线交AC于E，试比较AE+BE与BC的大小？ 练习41如图1-14，在ABC中，AB=AC，P为底边BC上的一点，PDAB于D，PEAC于E，CFAB于F，那么PD+PE与CF相等吗？ 1-142已知：如图1-15，ABC和ADE都是等边三角形B、C、D在一条直线上，说明CE与AC+CD相等的理由1-153已知：如图1-16，ABC是等边三角形，延长AC到D，以BD为一边作等边三角形BDE，连结AE，则AD_AE+AB（填“>”或“”或“<”）1-16例5 已知：如图1-17，ABC中，AB=AC，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使BD=AB，那么CE是CD的几分之几？ 练习51如图1-18，D、E分别是等边三角形ABC两边BC、AC上的点，且AE=CD，连结BE、AD交于点P过B作BQAD于Q，请说明BP是PQ的2倍2如图1-19，在ABC中，BAC=90°，AB=AC，BE平分ABC，CEBE，那么CE是BD的几分之几？1-19 3已知：如图1-20，在ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们相交于H，且AE=BE，那么AH是BD的_倍1-20答案:例1 分析 AB=AC，MN=AN可知ABC和AMN均为等腰三角形，充分利用等腰三角形的性质寻找所求角间的关系 1-1 解：设BAM=CAN=，AMN=， MN=AN， AMN=MAN= 设ABC=， 在ABC中， ABC+BCA+CAB=180°， 由于BCA=CAB=2+， 4+2+=180° 在ABM中，=+， 4+2+（-）=180° 即3（+）=180°+=60°，故MAC=60°例2 分析 要说明似乎没有任何关系的两条线段相等，往往需要做一些工作，如添加辅助线，构造全等三角形等，从而达到解决问题的目的 解：延长AD到F，使AF=EF， 1-5 ABC是等边三角形， AB=AC，A=60° AEF是等边三角形 EA=EF，AEF=A=60° 又EH垂直平分BD， EB=ED，EBD=EDB EADEFB AD=BF 又BF=AF-AB=AE-AC=CE，AD=CE1-9 例3 分析 要说明一个三角形是等边三角形，只要能够证明这个三角形满足“三条边相等或三个角相等或一个角是60°的等腰三角形”即可本题只需利用三角形全等证得BM=BN，且MBN=60°即可 解：在ABE和DBC中， ABE=60°+DBE，DBC=60°+DBE， ABE=DBC AB=BD，BE=EC ABEDBC AE=DC，MEB=NCB 又M、N分别是AE和DC的中点， ME=NC，又BEC为等边三角形， BE=BC MBENBC，BM=BN MBN=MBE-NBE=NBC-NBE=60°BMN为等边三角形例4 分析 说明一条线段的长是否等于其他两条线段长的和，常常采用截取等长线段的方法，将那些本来没有关系的线段放在条线段上，这样可迎刃而解 解：在BC上截取BF=BE，BD=BA，连结FE、DE， AB=AC，A=100°，ABC=C=40°，又BE平分ABC， 1=2=ABC=20° 1-13 BF=BE，BEF=5=80° 在BAE和BDE中， BA=BD，1=2，BE=BE BAEBDE AE=DE，3=A=100° 4=180°-3=180°， 4=5，DE=FE，AE=FE 又6=5-C=80°-40°=40°， 6=C，FE=FC故AE+BE=FC+BF=BC例5 分析 延长线段到倍长，再证明三角形全等，往往是说明线段倍分关系的重要途径和必要手段 解：延长CE到F，使EF=CE，连结BF，CE是AB的中线，AE=EB 又FEB=AEC， 1-17 EBFEAC，EBF=A BF=AC=BD 在FBC和DBC中， FB=BD，BC=BC FBC=FBE+EBC =A+ACB DBC=A+ACB FBC=DBC BCFBCDCF=CD=2CE，故CE=CD练习11解：设DEC=x， AD=AE， ADE=AED x=AEC-ADE=（B+30°）-ADE=（B+30°）-（C+x） AB=AC，B=C 2x=30°，x=15°，故选C2解：AB=BB， BAB=BBA，BBD=BAB+BBA=2BAB 又CBB=DBB， ACB=CBB+CBB=3CAB 设CAB=x，ACB=3x，CBD=4x，又AA=AB， A=ABA=CBD=4x AA平分EAB AAB=（180°-x） 又AAB=180°-（A+ABA）=180°-8x （180°-x）=180°-8x x=12°，故ACB=36°3解：如图，作AEDBAC，连结EC 则AED=BAC=20°， DAE=ADE=B=ACB=80° CAE=DAE-BAC=80°-20°=60° 又AB=AE=AC， ACE是正三角形，AE=EC=ED DEC=AEC-AED=40° EDC=（180°-DEC）=70° BDC=180°-（ADE+EDC）=30°练习2 1解：AB=AC，B=C DEBC，DEB=FEC=90° 在RtDEB与RtFEC中， B=C，BDE=F FDA=BDE， FDA=F，故AD=AF2解：以AD为边在ADB内作等边ADE，连结BE 则1=2=3=60° AE=ED=AD DAC=15°， EAB=90°-1-DAC=15° DAC=EAB 又DA=AE，AB=AC， EABDAC EBA=DCA=15° BEA=180°-EBA-EAB=150° BED=360°-BEA-AED=150° BEA=BED 又EB=EB，AE=ED BEABED，BD=BA 故选择C3解：延长AD到G，使DG=AD，连结BG， BD=DC，BDG=CDA，AD=DG， ADCBDE AC=BG，G=EAF， 又BE=AC，BE=BG G=BED，而BED=AEF， AEF=AFE，故FA=FE练习31解：ABC是等边三角形， AB=BC=CA ABC=ACB=BAC=60° 又BD=AF=CE， ABDBCECAF 1=2=3 BAC-1=ABC-2=ACB-3 即CAK=ABG=BCH 又AB=BC=CA， ABGBCHCAK AGB=BHC=CKA 即KGH=GHK=GKH 故GKH是等边三角形2解：由于ABC与CDE均为等边三角形，A、C、E三点共线，得知： CA=CB，CD=CE，ACD=BCE， 故ACDBCE ADC=BEC，AD=BE 又DM=AD，EN=BE， DCMECN DCM=ECN，CM=CN 又ECN+NCD=ECD=60°， NCM=MCD+NCD=60° CMN是等边三角形3解：连结BP ABC与CDP均为等边三角形， AC=BC，CD=CP，ACB=DCP=60° 1=2， ADCBPC CBP=DAC=60° RBP=RBA+ABC+CBP=60°+60°+60°=180°， R、B、P三点共线 又RAQ=RAB+BAC+CAQ=60°+60°+60°=180°， R、A、Q三点共线 而AQ=AE=AD=BP， RQ=RA+AQ=RB+BP=RP 又R=60°，PQR是等边三角形 故以P、Q、R为顶点的三角形是等边三角形练习41解：SACB=SAPB+SAPC， 即AB·CF=AB·PD+AB·PE CF=PD+PE2解：AC=AB，CAE=BAD，AE=AD， AECADB CE=BD 又BD=BC+CD=AC+CD CE=AC+CD3解：ABC和BDE均为等边三角形 ABE=60°-EBC=CBD，AB=BC，BE=BD ABECBD AE=CD又AB=AC， AD=AC+CD=AB+AE练习51解：CAB=C=60°，AE=CD，AB=AC，ADCBEA，CAD=EBA 又BPQ=PAB+PBA=PAB+CAD=60°， 在RtPQB中，PBQ=30°， BP=2PQ 2解：延长CE交BA的延长线于F， 1=2，BEC=BEF=90°，BE=BE， BECBEF BC=BF，CE=EF， CE=CF 又2+3=90°，4+5=90°，3=4， 2=5，且AB=AC RtAFCRtADB CF=BD故CE=BD3解：AB=AC，ADBC， BD=DC，DAC+C=90° 又BEAC，EBC+C=90° DAC=EBC 在AEH和BEC中， DAC=EBC，AE=BE AEH=BEC=90°，AEHBEC，AH=BC 又BC=2BD，故AH=2BD第 16 页