大学物理竞赛专题辅导之力学.ppt
大学物理大学物理竞赛专题辅导之力学之力学力学基本定律力学基本定律加速度加速度作用力作用力万有引力万有引力库仑力库仑力运动轨道椭圆、抛运动轨道椭圆、抛物线、双曲线物线、双曲线洛伦兹力洛伦兹力圆周运动圆周运动弹性力弹性力电电磁磁相相互互作作用用动静摩擦力、安培力、核力动静摩擦力、安培力、核力.能够由牛顿第二定律严格求解坐标的问题并不多能够由牛顿第二定律严格求解坐标的问题并不多11/7/20222山东大学刘希明辅导物理竞赛力学动量、角动量、动能三大定理力学动量、角动量、动能三大定理动量定理动量定理角动量定理角动量定理动能定理动能定理冲量定理冲量定理冲量矩定理冲量矩定理力学的守恒定律力学的守恒定律动量、角动量、能量守恒动量、角动量、能量守恒11/7/20223山东大学刘希明辅导物理竞赛力学的物理模型力学的物理模型质点、质点组、刚体质点、质点组、刚体11/7/20224山东大学刘希明辅导物理竞赛【例例题题】如如图图在在光光滑滑水水平平面面上上有有质质量量为为M的的均均匀匀分分布布的的、半半径径R的的圆圆环环。质质点点质质量量m(m0的的质质点点，初初始始时时位位于于圆圆环环最最高高点点a处处，以以初初速速度度v0沿沿水水平平方方向向向向左左运运动动，如如果果在在以以后后的的运运动动中中质质点点能能够够沿沿圆圆环环外外侧侧不不脱脱落落圆圆环环，达达到到圆圆环环最最低低点点b。试试计计算算(1)质质点点在在a点点不不脱脱落落圆圆环环，初初始始速速度度满满足足的的条条件件(2)质质点点在在b处处不不脱脱落落圆圆环环，初初始始速速度度应应该该满满足足什什么么条条件件?(3)质质点点在在0q q00的限制，因此初始速度满足的条的限制，因此初始速度满足的条件是件是(1)(2)设质点到达最低点设质点到达最低点b处的速度大小为处的速度大小为v,则机械能守则机械能守恒得到恒得到(2)11/7/202214山东大学刘希明辅导物理竞赛同样按照条件同样按照条件 。这里法向动力学方。这里法向动力学方程得到程得到整理为整理为求根分解因式得求根分解因式得得到不等式得到不等式其中两个根分别是其中两个根分别是(3)11/7/202215山东大学刘希明辅导物理竞赛可见两个根都是大于零的。由此把可见两个根都是大于零的。由此把(3)式两边平方式两边平方把把(2)式能量守恒代入得初始速度满足的条件式能量守恒代入得初始速度满足的条件但其中但其中(4)11/7/202216山东大学刘希明辅导物理竞赛因此质点到达最低点因此质点到达最低点b处不脱落，初始速度满足的条处不脱落，初始速度满足的条件是件是(5)(3)(3)质点在左半圆环质点在左半圆环q q处不脱离，设此处速度为处不脱离，设此处速度为v,仍仍然按照条件然按照条件 讨论讨论.机械能守恒得到机械能守恒得到不脱离的条件是不脱离的条件是同样的方法得到不等式同样的方法得到不等式(6)(7)11/7/202217山东大学刘希明辅导物理竞赛其中两个根分别是其中两个根分别是讨论讨论：如果：如果 则上面的解则上面的解 （8)式改为式改为把把(6)式机械能守恒代入，以及式机械能守恒代入，以及v0 000的要求，得到的要求，得到(9)讨论讨论：如果：如果 则上面的解则上面的解 ,（8)式改写为式改写为(10)(8)11/7/202218山东大学刘希明辅导物理竞赛把把(10)式进一步利用机械能守恒式进一步利用机械能守恒(6)式得到式得到把把v1代入该式左端得到代入该式左端得到又因为又因为 ，所以上式中，所以上式中11/7/202219山东大学刘希明辅导物理竞赛因而左端因而左端这样得到两种夹角范围初始速度满足的条件是这样得到两种夹角范围初始速度满足的条件是()代进代进v2的表示得到这个条件是的表示得到这个条件是这个条件对于两种角度范围都成立这个条件对于两种角度范围都成立。为为了了满满足足质质点点在在左左半半圆圆环环都都不不脱脱离离，(12)式式右右端端应应该该取取最最小小值值。易易见见q q=0满满足足最最小小值值条条件件。得得到到初初始始速速度度满足的条件是满足的条件是(12)11/7/202220山东大学刘希明辅导物理竞赛(11)(4)质点返回到最高点不脱离的条件根据对称性质，这质点返回到最高点不脱离的条件根据对称性质，这个条件就是个条件就是(11)式。式。11/7/202221山东大学刘希明辅导物理竞赛 【例例题题】在在天天花花板板的的O点点悬悬挂挂一一个个光光滑滑的的轻轻质质小小环环P,小小环环可可绕绕固固定定点点O自自由由转转动动，长长度度为为l的的轻轻绳绳穿穿过过小小环环P，其其两两端端分分别别连连接接质质量量为为m1与与m2的的小小球球A1与与A2，已已知知m1m2。设设两两个个小小球球同同时时做做圆圆锥锥摆摆运运动动，在在任任意意时时刻刻两两个个小小球球均均在在同同一一个个竖竖直直平平面面内内，旋旋转转的角速度是的角速度是(1)(1)计算两个小球到计算两个小球到p p的距离的距离l1 1与与l2 2.Pl1l2m2m1f f2f f1O(2)计计算算两两个个小小球球与与细细绳绳构构成成系系统所受外力对统所受外力对P点的力矩之和。点的力矩之和。(3)(3)计算系统对计算系统对P P点的角动量。以及守恒角动量的点的角动量。以及守恒角动量的大小。大小。11/7/202222山东大学刘希明辅导物理竞赛 【解解】如如图图所所示示，两两个个小小球球连连线线与与竖竖直直方方向向夹夹角角分分别别是是f f1与与f f2，小小球球m1与与m2的的分分别别受受到到重重力力mg与与绳绳子子张张力力T的的作作用用，两两球球通通过过绳绳子子连连接接受受张张力力相相等等。满满足足方方程程Pl1l2m2m1f f2f f1OTmgf f由此得到由此得到因为角速度相同，进而得到因为角速度相同，进而得到(1)(2)(3)11/7/202223山东大学刘希明辅导物理竞赛结果表明两个小球到结果表明两个小球到P点的垂直距离相等。因为两球点的垂直距离相等。因为两球通过细绳连接，受张力相等，得到关系通过细绳连接，受张力相等，得到关系改写成为改写成为(4)联立联立(3)(4)得到得到(5)但存在关系但存在关系(6)利用利用(5)(6)求出求出(7)11/7/202224山东大学刘希明辅导物理竞赛Pl1l2m2m1gf f2f f1O【解解】(2)计计算算两两个个小小球球与与细细绳绳构构成成系系统统所所受受外外力力对对P点点的的力力矩矩之之和和。两两个个小小球球的的重重力力对对P点点的的力力矩矩方方向向相相反反。设指向外面为正方向，则按定义设指向外面为正方向，则按定义利用利用(7)式摆线长度的结果得到式摆线长度的结果得到利用利用(2)(2)式可求出式可求出方向指向内方向指向内,方向指向外。方向指向外。则则11/7/202225山东大学刘希明辅导物理竞赛已已知知m1m2,则则 力力矩矩的的方方向向指指向向外外为为正正，得得到到至于绳子张力因为力的作用线过至于绳子张力因为力的作用线过P点，力矩为零。点，力矩为零。进而求出进而求出11/7/202226山东大学刘希明辅导物理竞赛 【解】【解】(3)系统对系统对P点的角动量点的角动量按照角动量的定义按照角动量的定义Pl1f f1m1v1对于质点对于质点m1如图可知如图可知图示位置速度图示位置速度v1 1方向指向版面内，方向指向版面内，l1 1的方向由的方向由P P指向质点，则角动量指向质点，则角动量方向如图所示方向如图所示J1同理可以求出同理可以求出m2相对相对P的角动量的角动量质点做圆锥运动时角动量的方向也随之改变。质点做圆锥运动时角动量的方向也随之改变。11/7/202227山东大学刘希明辅导物理竞赛Pl1f f1m1v1J1角动量在竖直方向的分量是角动量在竖直方向的分量是11/7/202228山东大学刘希明辅导物理竞赛由以上分析知道两个小球在同一个水平由以上分析知道两个小球在同一个水平面内做半径不同，角速度相同的圆周运面内做半径不同，角速度相同的圆周运动，角动量沿着竖直方向分量守恒。动，角动量沿着竖直方向分量守恒。Pl1f f1m1v1 两个质点角动量的水平分量方两个质点角动量的水平分量方向相反，总的水平分量是向相反，总的水平分量是虽然这个分量的大小不变，但方向在改变，因此虽然这个分量的大小不变，但方向在改变，因此角动量的水平分量不守恒！重力在水平方向的力角动量的水平分量不守恒！重力在水平方向的力矩不为零！矩不为零！11/7/202229山东大学刘希明辅导物理竞赛【例例题题】如如图图两两根根不不可可伸伸长长的的柔柔软软的的细细绳绳，长长度度分分别别是是l1与与l2，且且l10.需需要要通通过过受受力力分分析析与与讨讨论论，得得到到可可能能的的平衡状态，进一步求出平衡状态，进一步求出AB的长度。的长度。11/7/202230山东大学刘希明辅导物理竞赛【解解(1)】如如图图AB=0时时(A与与B重重合合)，AC连连线线沿沿竖竖直直线线方方向向，此此时时细细绳绳AC拉拉直直，BC松松弛弛。重重力力mg与与绳绳子子AC的的张张力力T相相等等。这种平衡与摩擦系数的取值无关！这种平衡与摩擦系数的取值无关！A BCml1l2当当小小环环B离离开开A到到达达横横杆杆右右边边某某位位置置时时，如果满足条件如果满足条件A BCml2l1由由于于细细绳绳BC没没有有质质量量，系系统统受受到到小小球球的的重重力力mg与与绳绳子子AC的的张张力力T相相互互平平衡衡外外，没没有有任任何何其其他他外外力力作作用用，系系统统仍仍然然处处于于平平衡衡状状态态。这这种种平平衡衡与与小小环环的的摩摩擦擦系系数数无关。无关。(1)11/7/202231山东大学刘希明辅导物理竞赛设设小小环环B再再向向右右移移动动一一段段小小距距离离D Dx,上上面面条条件件(1)不不再再满满足。足。AB长度表示为长度表示为小小环环B受受到到沿沿细细绳绳BC方方向向张张力力作作用用T2,张张力力T2在在竖竖直直方方向向分分力力、向向左左的的水平分力以及静摩擦力分别是水平分力以及静摩擦力分别是AmC T2q q2如果小环如果小环B在水平方向的力满足关系在水平方向的力满足关系BF2f2N2平衡被破坏，质点平衡被破坏，质点B返回向左运动。返回向左运动。11/7/202232山东大学刘希明辅导物理竞赛利用以上力的表示及几何关系求出摩擦系数满足关利用以上力的表示及几何关系求出摩擦系数满足关系系时时，小小环环B B将将返返回回左左向向运运动动，系系统统的的平衡状态被破坏。平衡状态被破坏。ABmC T2q q2同同样样小小环环A受受到到沿沿着着AC方方向向张张力力T1作作用用，其其平平衡衡状状态态同同样样与与张张力力T1以以及及摩摩擦擦力力f1之之间间的的关关系系决决定定。但但T1近近似似沿沿着着竖竖直直方方向向，其其水水平平分分力力小小于于静静摩摩擦擦力力，因因而而不不发发生生滑滑动动。对对于于一一种种极极端端情情况况：m m1 1=0,此此时时小小环环将将沿沿着着AB杆杆滑滑动。平衡状态被破坏。动。平衡状态被破坏。11/7/202233山东大学刘希明辅导物理竞赛总之在条件总之在条件系系统统的的平平衡衡状状态态是是：AC连连线线沿沿竖竖直直方方向向,AB 之之间间距离范围是距离范围是或者或者【解解(2)】问问题题成成为为，讨讨论论在在以以下下条条件件时时系系统统的的平平衡问题衡问题11/7/202234山东大学刘希明辅导物理竞赛如如图图所所示示系系统统处处于于平平衡衡状状态态。分分别别分析环分析环A与与B的受力情况。的受力情况。A D Bq q1f f1 1q q2f f2 2T1T2Cm环环A受到张力、水平分力与摩擦力作受到张力、水平分力与摩擦力作用用,分别是分别是当当AB距离继续增大，距离继续增大，达到条件达到条件可可见见当当杆杆AB距距离离再再变变大大(距距离离DC变变小小时时)时时,使使得得tgf f1的的值值满满足足上上面面条条件件时时环环A将将沿沿着着杆杆向向内内滑滑动动而而不不再静止再静止,系统不再平衡。系统不再平衡。F1f111/7/202235山东大学刘希明辅导物理竞赛同理分析环同理分析环B的受力情况的受力情况.得到环得到环B发生滑动的条件是发生滑动的条件是进一步分析这两个条件满足时需要具备的条件。进一步分析这两个条件满足时需要具备的条件。11/7/202236山东大学刘希明辅导物理竞赛如图夹角如图夹角f f1与与f f2在几何条件下相互联在几何条件下相互联系，用系，用h表示表示C到到AB杆的距离，则杆的距离，则A D Bq q1f f1 1q q2f f2 2T1T2Cmh由正弦定理得到由正弦定理得到当当AB距距离离增增大大时时，夹夹角角q q1与与q q2都都减减少少，夹夹角角f f1与与f f2则则随随着着增增大大,其其正正切切函函数数值值也也增增大大。而而环环和和环环首首哪一个先滑动或同时滑动取决于那个条件首先满足哪一个先滑动或同时滑动取决于那个条件首先满足11/7/202237山东大学刘希明辅导物理竞赛设设环开始滑动时环开始滑动时,h用用hA表示表示,则得到则得到A D Bq q1f f1 1q q2f f2 2T1T2Cmh设设B环开始滑动时环开始滑动时,h用用hB表示表示,同样得到同样得到可可以以通通过过比比较较杆杆AB增增长长过过程程中中，通通过过距距离离hA与与hB来来判断哪个环首先滑动，进而求的判断哪个环首先滑动，进而求的AB的长度。的长度。11/7/202238山东大学刘希明辅导物理竞赛A D Bq q1f f1 1q q2f f2 2T1T2Cmh(1)如果如果 ,首先达到首先达到A A球滑动的球滑动的条件。由以上各式得到关系条件。由以上各式得到关系以及关系以及关系11/7/202239山东大学刘希明辅导物理竞赛进一步求出进一步求出AB的长度是的长度是总之，在条件总之，在条件系统保持平衡状态，系统保持平衡状态，AB的长度限制为的长度限制为11/7/202240山东大学刘希明辅导物理竞赛(2)如果如果 ,由以上各式得到关系由以上各式得到关系小环小环B首先滑动，系统失去平衡状态。此时有关系首先滑动，系统失去平衡状态。此时有关系以及关系以及关系11/7/202241山东大学刘希明辅导物理竞赛进一步求出进一步求出AB的长度是的长度是总之，在条件总之，在条件系统保持平衡状态，系统保持平衡状态，AB的长度限制为的长度限制为11/7/202242山东大学刘希明辅导物理竞赛讨论：如果满足条件讨论：如果满足条件则给出关系则给出关系 ，两个小环将同时滑动，两个小环将同时滑动,此时此时AB的的距离是距离是保持系统力学平衡的条件是保持系统力学平衡的条件是11/7/202243山东大学刘希明辅导物理竞赛【例例题题】质质量量M的的宇宇航航站站载载有有质质量量m的的卫卫星星一一起起绕绕地地球球做做半半径径nR的的圆圆周周运运动动，R是是地地球球的的半半径径，n=1.25。在在园园轨轨道道某某位位置置上上，沿沿着着运运动动方方向向卫卫星星被被射射出出后后做做椭椭圆圆运运动动，其其远远地地点点到到地地心心的的距距离离为为8nR,卫卫星星绕绕地地球球一一周周后后正正好好与与宇宇航航站站相相遇遇，问问两两者者的的质质量比值量比值m/M多大？多大？nRR11/7/202244山东大学刘希明辅导物理竞赛【解】卫星被射出前，在地球引力下做圆周【解】卫星被射出前，在地球引力下做圆周运动，速度为运动，速度为u(1)设设在在圆圆周周轨轨道道上上C点点，卫卫星星m被被射射出出后后，卫卫星星速速度度为为v，宇航站，宇航站M的速度为的速度为V，则动量守恒，则动量守恒(2)此此后后卫卫星星与与宇宇航航站站分分别别以以速速度度v与与V绕绕地地球球做做椭椭圆圆运运动。假设两者速度方向相同。动。假设两者速度方向相同。11/7/202245山东大学刘希明辅导物理竞赛万有引力作用下园轨道、椭圆轨道的讨论万有引力作用下园轨道、椭圆轨道的讨论半径半径R0园运动的能量与运动方程分别是园运动的能量与运动方程分别是Mm求出园轨道的能量求出园轨道的能量椭圆轨道的能量与长半径有关是椭圆轨道的能量与长半径有关是11/7/202246山东大学刘希明辅导物理竞赛在轨道上某处质点在轨道上某处质点m速度有所增加，但总能量小于零，速度有所增加，但总能量小于零，园轨道变成椭圆轨道。必有关系园轨道变成椭圆轨道。必有关系Mm这个位置是新椭圆轨道的近地点。按照几何关系得到这个位置是新椭圆轨道的近地点。按照几何关系得到如如果果质质点点的的速速度度有有所所减减少少，总总能能量量减减少少。园园轨轨道道成成为为椭椭圆圆轨轨道道。但但是是 ，这这个个位位置置是是椭椭圆轨道的远地点，且圆轨道的远地点，且11/7/202247山东大学刘希明辅导物理竞赛因因为为Mm,则则Vb,所有当该式括号中第一项为零时，取所有当该式括号中第一项为零时，取极大值。所用时间最短。极大值。所用时间最短。11/7/202264山东大学刘希明辅导物理竞赛由此得到质点沿着任意直径下落用时间最短的直径是由此得到质点沿着任意直径下落用时间最短的直径是讨论：由于讨论：由于 ,所以长短半径应满足条件所以长短半径应满足条件(4)得到条件得到条件(5)而如果而如果(6)则则不不存存在在极极值值。在在条条件件(5)满满足足时时，把把(4)式式代代入入(3)式得到时间的极小值。式得到时间的极小值。这个条件对应着对称的两个极角所表征的直径。这个条件对应着对称的两个极角所表征的直径。11/7/202265山东大学刘希明辅导物理竞赛讨论当讨论当 满足时，在满足时，在 范围内，时间范围内，时间t随随q q单调变化，没有极值。单调变化，没有极值。在在 ，时间，时间 ，在，在由上式求出时间的极小值是由上式求出时间的极小值是11/7/202266山东大学刘希明辅导物理竞赛时间时间t随极角随极角q q变化的示意图变化的示意图11/7/202267山东大学刘希明辅导物理竞赛【例题】水塘里有一只青蛙停在一片荷叶的中央，【例题】水塘里有一只青蛙停在一片荷叶的中央，青蛙质量为青蛙质量为m,荷叶质量为荷叶质量为M，看成半径为，看成半径为R的园。的园。(1)(1)若青蛙能够一次跳离荷叶，那么青蛙应做多若青蛙能够一次跳离荷叶，那么青蛙应做多少功？少功？(2)(2)如如果果青青蛙蛙由由所所在在荷荷叶叶中中央央起起跳跳，刚刚好好落落在在紧紧挨挨着着的的另另一一片片完完全全相相同同的的荷荷叶叶中中央央，随随之之一一起起向前滑动，试求机械能损失与青蛙所做功的比值。向前滑动，试求机械能损失与青蛙所做功的比值。设设青青蛙蛙跳跳离离或或者者跳跳落落荷荷叶叶时时，荷荷叶叶均均不不产产生生竖直方向的运动，只能够在水面上无阻力的滑动。竖直方向的运动，只能够在水面上无阻力的滑动。11/7/202268山东大学刘希明辅导物理竞赛【解解1 1】设设青青蛙蛙起起跳跳后后瞬瞬间间相相对对地地面面的的水水平平速速度度与与竖竖直直速速度度分分别别是是vx与与vy,荷荷叶叶后后退退的的速速度度为为v,则则起起跳跳过过程中青蛙所做的功是程中青蛙所做的功是(1)系统在水平方向动量守恒系统在水平方向动量守恒(2)在荷叶参考系中，青蛙起跳后相对荷叶的水平速在荷叶参考系中，青蛙起跳后相对荷叶的水平速度是度是(3)按照题目要求，青蛙要离开荷叶，即青蛙相对荷按照题目要求，青蛙要离开荷叶，即青蛙相对荷叶中央的位移必须满足条件叶中央的位移必须满足条件11/7/202269山东大学刘希明辅导物理竞赛容易求出容易求出进而利用进而利用 整理给出关系整理给出关系求出青蛙竖直速度满足的条件求出青蛙竖直速度满足的条件(4)把把(2)(4)代入代入(1)式式，得到青蛙做功的限制，得到青蛙做功的限制(5)进一步利用公式进一步利用公式 ，改写，改写(5)式式 11/7/202270山东大学刘希明辅导物理竞赛(6)因此青蛙能够跳出荷叶，所做的功至少应是因此青蛙能够跳出荷叶，所做的功至少应是(2)(2)如如果果青青蛙蛙由由所所在在荷荷叶叶中中央央起起跳跳，刚刚好好落落在在紧紧挨挨着着的的另另一一片片完完全全相相同同的的荷荷叶叶中中央央，随随之之一一起起向向前前滑滑动，试求机械能损失与青蛙所做功的比值。动，试求机械能损失与青蛙所做功的比值。11/7/202271山东大学刘希明辅导物理竞赛【解解2 2】设设青青蛙蛙起起跳跳后后瞬瞬间间相相对对水水面面的的速速度度v,竖竖直直分分量量与与水水平平分分量量之之夹夹角角为为q.q.则则可可以以利利用用抛抛体体公公式式处处理理射射程程问问题题。到到达达另另一一片片完完全全相相同同荷荷叶叶的的中中央央，水水平平射射程是程是由此求出起跳时速率的表示由此求出起跳时速率的表示(1)青蛙起跳时与荷叶系统在水平方向动量守恒青蛙起跳时与荷叶系统在水平方向动量守恒(2)11/7/202272山东大学刘希明辅导物理竞赛设青蛙跳到另一片荷叶中心后，两者具有共同的设青蛙跳到另一片荷叶中心后，两者具有共同的水平速度水平速度V，再次利用水平方向动量守恒得到再次利用水平方向动量守恒得到(3)青蛙起跳时做的功是青蛙起跳时做的功是(4)青蛙的机械能损失是青蛙的机械能损失是分别代入分别代入(2)(3)(4),得到得到11/7/202273山东大学刘希明辅导物理竞赛进一步求出比值是进一步求出比值是因为因为所以这个比值的范围是所以这个比值的范围是11/7/202274山东大学刘希明辅导物理竞赛【例例题题】如如图图一一辆辆以以速速度度v0运运动动的的车车子子A撞撞上上一一辆辆静静止止的的车车子子B，碰碰撞撞后后两两车车一一起起运运动动直直至至停停止止，历历时时10秒秒。在在这这个个过过程程中中原原来来放放在在车车子子B车车尾尾的的1米米长长的的物物块块刚刚好好移移动动到到车车A的的车车顶顶。已已知知两两车车质质量量相相等等，物物块块的的质质量量是是一一个个车车子子质质量量的的1/140，物物块块与与车车顶顶的的摩摩擦擦系系数数是是车车与与地地面面摩摩擦擦系系数数的的69倍倍，求求车车A初初始始速速度度v0多多大大？ABv0CABCv11/7/202275山东大学刘希明辅导物理竞赛【分析与解答】【分析与解答】车子车子A与与发生完全非弹碰撞，可以忽略一切常规发生完全非弹碰撞，可以忽略一切常规力；利用动量守恒解决。力；利用动量守恒解决。AB碰碰撞撞瞬瞬间间作作为为一一个个整整体体运运动动，而而物物块块C相相对对车车子子发发生生相相对对滑滑动动，在在时时间间t1内内相相对对滑滑动动停停止止，物物块块恰恰好移动到车子好移动到车子A的前端。利用相对运动解决。的前端。利用相对运动解决。A、B、C三三者者作作为为整整体体向向前前继继续续运运动动，在在摩摩擦擦阻阻力力作作用用下下，逐逐渐渐减减速速直直到到停停止止，这这段段时时间间为为t2.且且总总的时间是的时间是t=t1+t2=10s.11/7/202276山东大学刘希明辅导物理竞赛A与发生完全非弹碰撞，设共同速度为与发生完全非弹碰撞，设共同速度为v.动量动量守恒给出两者向前运动的速度守恒给出两者向前运动的速度(1)设设物物块块质质量量为为m,车车的的质质量量M=140m,车车子子与与地地面面之之间间的的摩摩擦擦系系数数为为m m,物物块块与与车车之之间间的的摩摩擦擦系系数数为为m m1,则则m m1=69m m.两两车车在在地地面面及及物物块块向向后后的的摩摩擦擦力力作用下的减加速度是作用下的减加速度是(2)11/7/202277山东大学刘希明辅导物理竞赛按牛顿三定律物块受到车子向前的摩擦力，相对地按牛顿三定律物块受到车子向前的摩擦力，相对地面的加速度是面的加速度是(3)而物块相对车子的加速度则是而物块相对车子的加速度则是(4)物物块块在在这这个个相相对对加加速速度度下下做做匀匀变变速速运运动动，在在t1时时间间内内速速度度变变为为零零，通通过过的的距距离离为为l=1m.可可以以利利用用运运动动学学关关系系求求解解。首首先先给给出出箱箱子子相相对对车车子子的的初初、末末速速度度。初初速速度度就就是是车车子子相相对对地地面面速速度度，但但方方向向相相反反，末末速速度度为零停止。为零停止。ff1f1v11/7/202278山东大学刘希明辅导物理竞赛l=1m利用运动学公式利用运动学公式(5)以及运动学公式以及运动学公式 ,求出求出(6)相对车的物理量相对车的物理量经经过过t1时时间间后后，箱箱子子相相对对车车子子静静止止，此此时时两两车车(以以及及物物块块)相对地面的速度相对地面的速度v1，在这个时间内由运动学给出在这个时间内由运动学给出由由(1)式得到物块的初速度式得到物块的初速度11/7/202279山东大学刘希明辅导物理竞赛由由t1时刻起，三者以初速度时刻起，三者以初速度v1在地面摩擦力作用下在地面摩擦力作用下做减速运动，直到经过做减速运动，直到经过t2时间停止。加速度是时间停止。加速度是(8)(9)利用关系利用关系 代入数据求出代入数据求出利用运动学公式求出利用运动学公式求出(10)(7)11/7/202280山东大学刘希明辅导物理竞赛【解【解2 2】据前分析，得到】据前分析，得到ABAB碰撞后共同速度为碰撞后共同速度为(1)由由此此开开始始，车车AB一一起起向向前前运运动动，箱箱子子C则则向向左左相相对对滑滑动动运运动动。经经过过10秒秒时时间间三三者者都都停停止止。在在这这个个过过程程中中，箱箱子子与与车车之之间间摩摩擦擦力力做做功功损损耗耗能能量量，这这个个摩摩擦擦力力做做功功的的数数值值为为m m1mgl,另另一一方方面面系系统统受受到到地地面面摩摩擦擦力力作作用用同同样样损损耗耗能能量量，这这个个地地面面摩摩擦擦力力作作用用时时间间是是t=10s.可以看成系统受到一个冲量作用：可以看成系统受到一个冲量作用：m m(2M+m)gt 设箱子与车之间摩擦力做功使得三者的速度减少为设箱子与车之间摩擦力做功使得三者的速度减少为v1 1，得到关系得到关系(2)11/7/202281山东大学刘希明辅导物理竞赛系统此时具有的动量是系统此时具有的动量是 在地面摩擦力冲量在地面摩擦力冲量作用下最后变为零，按冲量定理得到作用下最后变为零，按冲量定理得到(3)利用以上利用以上3式可以求出与式可以求出与m m有关的初速度有关的初速度事事实实上上，以以上上3个个方方程程包包括括4个个量量:v、v0、v1与与m m，显显然然需要进一步列出有关方程。利用相对运动关系得到需要进一步列出有关方程。利用相对运动关系得到则问题全部解决。则问题全部解决。11/7/202282山东大学刘希明辅导物理竞赛【例例题题】如如图图所所示示，固固定定的的半半径径R竖竖直直放放置置的的圆圆环环，有有一一个个质质量量m的的珠珠子子套套在在圆圆环环上上，两两者者之之间间摩摩擦擦系系数数为为m.m.初初始始时时珠珠子子位位于于圆圆环环的的最最低低点点P，在在一一个个附附加加的的切切向向力力作作用用下下，以以不不变变的的速速度度v从从P点点到到达达最高点最高点Q。求该过程中摩擦力做的功。求该过程中摩擦力做的功。PQm【分分析析与与求求解解】质质点点在在运运动动过过程程中中始始终终保保持持恒恒定定速速率率v，做做圆圆周周运运动动的的向向心心力力是是重重力力mg与与支支持持力力N两两者者合合力力提提供供，因因此此N的的大大小小与与方方向向与与圆圆周周运运动动的速度有关。的速度有关。11/7/202283山东大学刘希明辅导物理竞赛mgN ANPQxBOq qBq q设设如如图图，珠珠子子在在任任意意q q处处，受受到到重重力力mg以及正压力以及正压力N作用，则有方程作用，则有方程(1)上上式式中中余余弦弦函函数数cosq q会会取取负负值值，如如果果珠珠子子的的速速率率v足足够够大大，环环对对珠珠子子的的支支持持力力N的的方方向向始始终终指指向向圆圆心心。如如果果珠珠子子的的速速率率v不不是是足足够够大大，可可能能出出现现N=0=0的的位位置置q qB B,继继续续向向上上运运动动时，时，N会改变方向，方向背离圆心。会改变方向，方向背离圆心。这个速率的临界值可由在最高点这个速率的临界值可由在最高点Q处的处的N=0来确定。来确定。11/7/202284山东大学刘希明辅导物理竞赛mgN ANPQxBOq qBq q在最高点在最高点Q处正压力处正压力N=0，则有，则有(2)设设珠子的速率满足条件珠子的速率满足条件利利用用(1)式式求求出出N=0的的位位置置q qB如如图所示图所示(3)当珠子由当珠子由p到到B的运动过程中的运动过程中，利用利用(1)式的式的N表示式得表示式得到摩擦力到摩擦力通过任意小位移通过任意小位移D DS摩擦力做的功是摩擦力做的功是11/7/202285山东大学刘希明辅导物理竞赛q qDqDqD DsD Dx利用基本几何关系利用基本几何关系得到珠子由得到珠子由q q=0=0到到q q=q qB B摩擦力做的功摩擦力做的功利用了基本关系利用了基本关系进一步计算珠子由进一步计算珠子由q qB到到Q时摩擦力做的功，此时时摩擦力做的功，此时N改改变符号，但摩擦力仍然与运动方向相反。变符号，但摩擦力仍然与运动方向相反。(4)11/7/202286山东大学刘希明辅导物理竞赛(5)利用以上利用以上(4)(5)(4)(5)以及以及(3)(3)得到摩擦力做的总功为得到摩擦力做的总功为(6)对于另外一种情况，中间不存在对于另外一种情况，中间不存在N=0的点，则摩擦的点，则摩擦力做的总功是力做的总功是11/7/202287山东大学刘希明辅导物理竞赛【例例题题】质质量量很很大大的的车车厢厢相相对对地地面面以以速速度度v0匀匀速速运运动动，车车厢厢内内一一半半径径为为R的的固固定定光光滑滑的的半半圆圆柱柱面面，顶顶部部有有一一个个质质量量为为m的的物物块块，开开始始时时静静止止，因因为为受受到到一一个个扰扰动动，物物块块在在图图示示平平面面内内下下滑滑，直直到到离离开开柱柱体体，试求在此过程中圆柱面支持力试求在此过程中圆柱面支持力N对物块所做的功。对物块所做的功。Rq qvm11/7/202288山东大学刘希明辅导物理竞赛【分分析析与与解解】在在车车厢厢惯惯性性参参考考系系，支支持持力力始始终终与与物物块块位位移移垂垂直直，因因此此支支持持力力也也不不做做功功。应应该该在在地地面面参参考系考虑做功问题。考系考虑做功问题。首首先先在在车车厢厢惯惯性性参参考考系系求求解解物物块块离离开开圆圆柱柱时时的的位位置置与与速速度度。此此位位置置支支持持力力为为零零。机机械械能能守守恒恒与与圆圆周周运运动动方方程为程为(1)解出物块脱离圆柱时的夹角与相对车厢的速度是解出物块脱离圆柱时的夹角与相对车厢的速度是(2)11/7/202289山东大学刘希明辅导物理竞赛q qv0设设物物块块向向右右滑滑动动脱脱离离圆圆柱柱。物物块块相对地面的速度为相对地面的速度为V，则有关系则有关系(4)利利用用功功能能原原理理得得到到物物块块能能量量的的改改变，即支持力做的功变，即支持力做的功(5)联立以上联立以上5 5式，得到式，得到(6)V如果物块向左滑动离开圆柱体，则如果物块向左滑动离开圆柱体，则11/7/202290山东大学刘希明辅导物理竞赛x0 xAyzEOq q 【例例题题】如如图图所所示示，xy平平面面是是绝绝缘缘、刚刚性性平平面面，坐坐标标轴轴Oz轴轴竖竖直直向向上上.在在A(x0,0,0)处处一一带带负负电电的的质质点点,电电荷荷量量为为-q.外外加加均均匀匀电电场场强强度度为为E的的电电场场,E与与x轴轴垂垂直直,与与z轴轴夹夹角角为为q q。质质点点用用一一穿穿过过坐坐标标原原点点O的的细细线线牵牵引引，质质点点与与刚刚性性平平面面的的动动摩摩擦擦系系数数与与静静摩摩擦擦系系数数都都为为m mtgq q,不计质点的质量。不计质点的质量。质质点点在在刚刚性性平平面面上上缓缓慢慢的的移移动动，任任何何时时刻刻都都可可以以认认为为处处在在力力平平衡衡状状态态。质质点点的的轨轨道道是是一一条条二二次次曲曲线线,求求出出这这条条二二次次曲曲线线的方程。的方程。11/7/202291山东大学刘希明辅导物理竞赛x0 xAyzEOq q【分分析析力力】质质点点在在电电场场力力F、细细绳绳拉拉力力T、摩摩擦擦力力f以以及及刚刚性性面面支支持持力力N共共同同作作用用下下在在刚刚性性平平面面上上作作力力平平衡衡下下缓缓慢慢运运动动。其其中中被被动动力力摩摩擦擦力力的的方方向向与与速速度度方方向向相相反反（即即轨轨道道的的切切线线方方向向),由由此此可可以以得得到到质质点点的的轨轨道道方程方程。把把均均匀匀电电场场投投影影到到y、z方方向向，如如图图得得到到关关系系(1)11/7/202292山东大学刘希明辅导物理竞赛x0 xAzEOq qy 质点受到的摩擦力与质点受到的摩擦力与N有关，正好与电场力相等，表有关，正好与电场力相等，表成为成为 摩擦力的方向决定于质点运动的方向。摩擦力的方向决定于质点运动的方向。质点受到电场力分解到质点受到电场力分解到y、z方向方向(2)在在z方方向向还还受受到到桌桌面面向向上上的的支支持持力力N作用，与电场力相平衡，得到关系作用，与电场力相平衡，得到关系(3)11/7/202293山东大学刘希明辅导物理竞赛 质点在电场分力质点在电场分力Fy,摩擦力摩擦力f以及细绳拉以及细绳拉力力T作用下在作用下在Oxy平面缓慢运动。任意时刻三个力平面缓慢运动。任意时刻三个力相互平衡，如图所示受力平衡方程为相互平衡，如图所示受力平衡方程为 (4)整理整理(4)(4)式得到关系式得到关系(5)注注意意到到摩摩擦擦力力f的的大大小小与与电电场场力力F Fy y的的大大小小相相等等,(5)式式化成为化成为该方程的解是该方程的解是(6)舍去舍去T T=0=0的无意义解。的无意义解。xyfFyTf f11/7/202294山东大学刘希明辅导物理竞赛考虑到夹角范围考虑到夹角范围 则则(6)式的式的 把这个结果代入把这个结果代入(4)中，得到摩擦力的表示中，得到摩擦力的表示因因为为摩摩擦擦力力始始终终沿沿着着轨轨道道的的切切线线方方向向，因因此此(8)(8)式式给给出出了了轨轨道道切切线线方方向向的的斜斜率率。由由此此可可以以得得到到轨轨道道方方程程。下面做出讨论，给出质点轨道方程是园。下面做出讨论，给出质点轨道方程是园。(7)进一步求出进一步求出(8)11/7/202295山东大学刘希明辅导物理竞赛 当当f=pf=p/2/2时时，与与Oy轴轴对对应应。k=,一一般般情情况况是是质质点点运运动动到到y轴轴上上后后，沿沿着着y轴轴运运动动到到坐坐标标原原点点O O,这这不不是是二二次次曲曲线线轨轨道道，与与题题意意不不符符。因因此此必必定定是是轨轨道道在在坐标原点的切线与坐标原点的切线与x轴垂直。轴垂直。讨论：当讨论：当f=0f=0时，对应图中时，对应图中OAOA线，即开始的起点。线，即开始的起点。k=,即在起点即在起点A A时时，轨道的切线与轨道的切线与x轴垂直轴垂直。xyAO11/7/202296山东大学刘希明辅导物理竞赛二二次次曲曲线线中中，曲曲线线上上两两点点切切线线相相互互平平行行(与与x轴轴垂垂直直)，只只能能是是园园或或椭椭圆圆。而而A、O两两点点的的切切线线与与连连线线AO垂垂直直，因因此此连连线线ox坐坐标标轴轴就就是是轨轨道道曲曲线线的的轴轴线线，另另一一轴轴线线在在OA的的垂垂直直平平分分线线上上且且与与oy轴轴平平行行，二二次次曲曲线线与与这这个个轴轴线线交交点点的的切切线线斜斜率率为为0。由由(8)式式得得夹夹角角(9)因此轨道曲线是园。其方程是因此轨道曲线是园。其方程是xyAO11/7/202297山东大学刘希明辅导物理竞赛 【例例题题】如如图图所所示示,带带正正电电小小球球质质量量为为0.10kg,电电荷荷量量为为810-4C.从从水水平平地地面面上上A点点以以与与x轴轴正正方方向向成成300夹夹角角的的初初速速度度v0抛抛出出(v0位位于于Oxy竖竖直直平平面面
