2022年高中及高等数学公式大全.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高中数学常用公式及常用结论1. 元素与集合的关系xAxC A ,xC AxA .2. 德摩根公式C UABC AC B C UABC AC B . 3. 包含关系ABAABBABC BC AAC BC ABR4. 容斥原理card A B cardA cardB card A B card A B C cardA cardB cardC card A B card A B card B C card C A card A B C . 5集合 a a 2 , , a n 的子集个数共有 2 n 个；真子集有 2 n 1 个；非空子集有 2 n 1 个；非空的真子集有 2 n 2 个. 6. 二次函数的解析式的三种形式1 一般式 f x ax 2bx c a 0 ; 2 顶点式 f x a x h 2k a 0 ; 3 零点式 f x a x x 1 x x 2 a 0 . 7.解连不等式 N f M 常有以下转化形式N f x M f x M f N 0| f x M N | M N f x N02 2 M f x 1 1. f N M N8. 方程 f x 0 在 k 1k 2 上有且只有一个实根 , 与 f k 1 f k 2 0 不等价 , 前者是后者的一个必要而 不 是 充 分 条 件 . 特 别 地 , 方 程 ax 2bx c 0 a 0 有 且 只 有 一 个 实 根 在 k 1k 2 内 , 等 价 于f k 1 f k 2 0 , 或 f k 1 0 且 k 1 b k 1 k 2, 或 f k 2 0 且 k 1 k 2 bk 2 . 2 a 2 2 2 a9. 闭区间上的二次函数的最值二次函数 f x ax 2bx c a 0 在闭区间 p, q 上的最值只能在 x b处及区间的两端点处取2 a得,详细如下：1 当 a>0 时,如 x b p , q,就 f x min f b, f x max max f , f q ；2 a 2 ax bp , q,f x max max f p , f q ,f x min min f , f q . 2 a2 当 a<0 时 , 如 x b p , q, 就 f m i n min f p , f q , 如 x b p , q, 就2 a 2 af x ma x max f p , f q ,f x min min f , f q . 10. 一元二次方程的实根分布名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 39 页精选学习资料 - - - - - - - - - 依据：如f m f n 0,就方程f x学习必备欢迎下载 . 0在区间 m n 内至少有一个实根设fxx2pxq,就p24 q00（1）方程f x 0在区间m ,内有根的充要条件为fm 0或pm；2f m 0f m f n 0或f n 400或f m （2）方程fx0在区间 m n 内有根的充要条件为p2qaf n 0或f n 00；mpn2af m p24 q0（3）方程f x 0在区间 , n 内有根的充要条件为f m0或pm . 11. 定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据21 在给定区间,的子区间 L （形如,不同）上含参数的二次不等式L. f x t , 0 t 为参数 恒成立的充要条件是f x t , min0x2 在给定区间,的子区间上含参数的二次不等式f x t , 0 t 为参数 恒成立的充要条件是f x t , man0xL. 0或a0ac0. a3fxax4bx2c0恒成立的充要条件是b02 b4c012. 真值表非或且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假 13. 常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词1）个是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有 n 个至多有 （n小于不小于至多有 n 个至少有 （n1）个对全部 x ,存在某 x ,成立不成立p 或 qp 且q对任何 x ,存在某 x ,p 或qp 且 q不成立成立14. 四种命题的相互关系名师归纳总结 原命题互逆逆命题第 2 页,共 39 页如就如就- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 互互学习必备欢迎下载互为为互. 否否逆逆否否否命题逆否命题如非就非互逆如非就非15.充要条件pq ,就 p 是 q 充分条件 . （ 1）充分条件：如（2）必要条件：如qp,就p是q必要条件 . （3）充要条件：如pq ,且 qp ,就 p 是 q 充要条件 . 注：假如甲是乙的充分条件,就乙是甲的必要条件；反之亦然16. 函数的单调性1 设x 1x 2a ,b,x 1x2那么x00fx在a,b上是增函数；fx0,就fxx 1x 2f x 1f x 20fx 1fx2x 1x 2x 1x 2f x 1f x 20fx 1fx20fx在a,b上是减函数 . x 1x 22 设函数yf x 在某个区间内可导, 假如f,就fx为增函数； 假如为减函数 . 数y17. 假如函数fx和gx都是减函数 , 就在公共定义域内, 和函数fxggx 也是减函数 ; 假如函fu和ugx 在其对应的定义域上都是减函数, 就复合函数yfx是增函数 . 18奇偶函数的图象特点奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 称,那么这个函数是奇函数；假如一个函数的图象关于y 轴对称 ; 反过来,假如一个函数的图象关于原点对 y 轴对称,那么这个函数是偶函数f19. 如 函 数yf x 是 偶 函 数 , 就fxafxa； 如 函 数yfxa是 偶 函 数 , 就xafxa. 的 对 称 轴 是 函 数20. 对 于 函 数yfxxR,fxa fbx恒 成 立 , 就 函 数fxxfxa, 就函a2b; 两个函数yfxa与yfbx 的图象关于直线xa2b对称 . y21. 如fxfxa, 就函数yfx的图象关于点a 2,0 对称 ; 如fx数f x 为周期为2的周期函数 . 22多项式函数P x a xna n1xn1a 的奇偶性多项式函数P x 是奇函数P x 的偶次项 即奇数项 的系数全为零 . 多项式函数P x 是偶函数P x 的奇次项 即偶数项 的系数全为零 . 23. 函数yf x 的图象的对称性1 函数yf x 的图象关于直线xa 对称f axf axf2axf x . 2 函数yf x 的图象关于直线xa2b对称f amx f bmxf abmx f mx . 24. 两个函数图象的对称性名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 39 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 函数yf x 与函数yf学习必备欢迎下载0 即 y 轴 对称 . x 的图象关于直线xfx2 函数yf mxa与函数yf bmx 的图象关于直线xyab m对称 . b的图象；如将曲线23 函数yfx和yf1 x的图象关于直线y=x 对称 . 25. 如将函数yfx的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数b0fxa,y 0的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到曲线fxa,y的图象 . 26互为反函数的两个函数的关系fa bf1ba. 1kxb, 而27. 如函数yfkxb存在反函数 , 就其反函数为y1f1x b , 并不是yfk函数yf1kxb是y1fxb的反函数 . fx的 周 期k28. 几个常见的函数方程 1正比例函数f x cx ,f xy f x f ,f1c . 2 指数函数f x x a ,f xy f x f y ,f1a0. 3 对数函数f x log ax ,f xy f x f ,f a 1 a0,a1. 4 幂函数f x x,f xyf x f ,f'1. 5 余弦函数f x cosx , 正弦函数g x sinx ,f xyf x f y g x g y ,f0 1,lim g x 1 . x 0 x29. 几个函数方程的周期 商定 a>0 （1）fxfxa,就fx的周期 T=a；（2）fxfxa0,或fxaf1fx0,x或f x a1 0, f x 或1f x f2 f xa ,f x 0,1 , 就fx 的周期 T=2a；23fx1f1a fx0,就fx的周期 T=3a；x4fx 1x 2fx 1x 1fx2且f a 1 f x 1f x21,0|x 1x2|2 , 就1ffx 2T=4a；5f x f x a f x2 a f x3 f x4 f x f x a f x2 a f x3 a f x4 a , 就f x 的周期 T=5a；6fxafxfxa ,就fx的周期 T=6a. 30. 分数指数幂名师归纳总结 1amn1（a0,m nN ,且n1）. 第 4 页,共 39 页nm a2am1（a0,m nN ,且n1）. nman31根式的性质- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1） n ana . 学习必备欢迎下载（2）当 n 为奇数时,nana；00. 当 n 为偶数时,nan|a aaa a32有理指数幂的运算性质1 arasarsa0, , r sQ. 2 arsarsa0, , r sQ . r3 abr a bra0,b0,rQ . 注： 如 a0,p 是一个无理数,就 数指数幂都适用 . 33. 指数式与对数式的互化式ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质,对于无理logaNbabN a0,a1,N0.34. 对数的换底公式logaNlogmN aa0, 且a01,m0, 且m1 ,N0. n1,N0. logamba, 且a1,m n0, 且m1 ,推论loga mbnnlogm35对数的四就运算法就如 a0,a 1,M0,N0,就名师归纳总结 ,1 log aMNlogaMlogaN ; a. 0,且2 logMlog aMlogaN; a Nn M3 loganlogaM nR . 36. 设函数fx logmax2bxc a0, 记b24ac. 如fx的定义域为 R , 就第 5 页,共 39 页0; 如fx的值域为 R , 就a0,且0 . 对于a0的情形 , 需要单独检验 . 37.对数换底不等式及其推广如a0,b0,x0,x1, 就函数ylogaxbxa 1当 ab时 , 在0,1和1 a,上ylogaxbx 为增函数 . a2 当 ab时, 在0,1和1 a,上ylogaxbx 为减函数 . ax推论 :设nm1,p0,a0,且a1,就（1） logm pnplogmn .（2）logamlog anloga2m2n.38.平均增长率的问题假如原先产值的基础数为N,平均增长率为p ,就对于时间x 的总产值 y ,有yN1p39. 数列的同项公式与前n 项的和的关系a ns 1,s nnn12 数列 a n的前 n 项的和为s na 1a2a . s n1,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载40. 等差数列的通项公式a na 1n1 ddna 1d nN*；其前 n 项和公式为s nn a 1anna 1n n1dd n 22212；d n . a 12N*41. 等比数列的通项公式ana qn1a 1qnnq其前 n 项的和公式为s na 11qn ,q1qand a 1b q0的通项公式为1qna q11. 或s na 1a q q q1na q1a n142. 等比差数列an:bn1 , d q1d q1；anbqndb qn1q1其前 n 项和公式为s nnbn n1 ,q1qn q1. bd1qnd1qq1143.分期付款 按揭贷款 每次仍款xab1bn元 贷款 a 元, n 次仍清 ,每期利率为 b . 1bn144常见三角不等式（1）如x0,2,就 sinxxxtanx . 2. 2 如xx0,2,就 1sincosx3 | sin| cosx| 1. 45. 同角三角函数的基本关系式名师归纳总结 sin22 cos1, tan=sin, tancot1. 第 6 页,共 39 页cos46. 正弦、余弦的诱导公式- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载nsinn 1 sin,n 为偶数 nb .n1s ,n 为奇数 2 12con 为偶数 cosn 12cos,n 为奇数 n12 12sin,47. 和角与差角公式sinsincoscossin; coscoscossinsin; tantantan. 1tantan , a b 的象限打算 , tansinsinsin2sin2 平方正弦公式 ; coscos2 cossin2. asinbcos=a2b2 sin 帮助角所在象限由点a48. 二倍角公式sin 2sincos. cos 2cos2sin22cos2112sin2. tan 212 tan2. tan49. 三倍角公式sin 33sin4sin34sinsin3sin3. cos34cos33cos4coscos3cos3tan 33tantan3tantan3 tan3. 1 3tan250. 三角函数的周期公式名师归纳总结 期T函数ysinx,x R 及函数ycosx,xRA, ,为常数,且A 0, 0 的周2；函数ytanx,xk2,kZ A, ,为常数, 且 A 0, 0 的周期 T. 51. 正弦定理abBcC2R. sin A sin52. 余弦定理sina22 b2 cc22bccosA ; b2a22cacosB ; c2a2b22abcos C . 53. 面积定理（1）S1ah a1bh b1ch （h a、h b、h c分别表示 a、 b、c 边上的高） . 222（2）S1absinC1bcsinA1casinB . 222第 7 页,共 39 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3 S OAB 1| OA254. 三角形内角和定理| |OB|2学习必备欢迎下载OA OB2. 在 ABC中,有ABCCAB. C2A2B2 C22AB . 255.简洁的三角方程的通解sinxaxk 1 arcsin ka kZ,|a| 1cosxax2karccos a kZ,|a| 1. tanxaxkarctan a kZ aR . 特殊地 , 有ksin sin k 1 k Z . co s cos 2 k k Z . tan tan k k Z . 56. 最简洁的三角不等式及其解集sin x a a | 1 x 2 k arcsin a ,2 k arcsin a , k Z . sin x a | a | 1 x 2 k arcsin a ,2 k arcsin a , k Z . cos x a | a | 1 x 2 k arccos ,2 k arccos , k Z . cos x a | a | 1 x 2 k arccos ,2 k 2 arccos , k Z . tan x a a R x k arctan , a k , k Z . 2tan x a a R x k , k arctan a , k Z . 257. 实数与向量的积的运算律设 、 为实数,那么1 结合律： a= a; 2 第一安排律： + a= a+ a;3 其次安排律： a+b= a+ b. 58. 向量的数量积的运算律：1 a · b= b ·a （交换律） ; a· b= a · （b）; 2 （a）· b= （a· b）=3 （a+b）·c= a· c +b ·c.59. 平面对量基本定理假如 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数 1、 2,使得 a= 1e1+ 2e2不共线的向量 e1、e2叫做表示这一平面内全部向量的一组 基底 60向量平行的坐标表示设 a=x 1,y 1, b=x 2,y 2,且 b0,就 abb0x y 2x y 10.53. a 与 b 的数量积 或内积 a·b=| a| b|cos 61. a· b 的几何意义数量积 a·b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积62. 平面对量的坐标运算名师归纳总结 1 设 a=x y 1, b=x 2,y2,就 a+b=x 1x 2,y 1y 2. y 1. 第 8 页,共 39 页2 设 a=x y 1, b=x 2,y2,就 a-b=x 1x 2,y 1y 2. 3 设 Ax 1,y 1,B x2,y 2, 就ABOBOAx 2x y 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4 设 a= , ,R ,就a=x,学习必备欢迎下载y . 5 设 a=x 1,y 1, b=x 2,y2,就 a· b=x x 2y y2. 63. 两向量的夹角 公式cos2 x 1x x 1 2y y 1 22 y 2 a=x 1,y 1, b=x 2,y2. 2 y 12 x 264. 平面两点间的距离公式dA B=|AB|AB AB2Ax 1,y 1, B x 2,y2. x 2x 12y 2y 165. 向量的平行与垂直设 a=x 1,y 1, b=x 2,y 2,且 b0,就0. A| bb= a x y2x y 10. aba0a·b=0x x2y y 266. 线段的定比分公式G设P x y 1,P 2x2,y 2,P x y 是线段P P 的分点 ,是实数,且PP 1PP ,就 2xx 1x 2OPOP 1OP 21yy 1y211OPtOP 11t OP （t11） . 67. 三角形的重心坐标公式 ABC 三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为Ax ,y 、1 1Bx ,y 22 、Cx ,y , 就 ABC 的 重 心 的 坐 标 是 3 3x 1 x 2 x 3 y 1,368. 点的平移公式y2y3 . 3x'xhxx''hOP'OP' PP . y'ykyyk注: 图形 F 上的任意一点Px ,y 在平移后图形' F 上的对应点为' P x',y',且' PP 的坐标为 , h k . 69. “ 按向量平移” 的几个结论名师归纳总结 y（ 1）点P x y 按向量 a= , 平移后得到点P x 'h yk . 2 函 数yf x 的 图 象 C 按 向 量a= , 平 移 后 得 到 图 象' C , 就' C 的 函 数 解 析 式 为f xhk . y3 图象' C 按向量a= , 平移后得到图象C , 如 C 的解析式yf x , 就' C 的函数解析式为f xhk . 4 曲线 C :f , 0按向量 a= , h k 平移后得到图象' C , 就' C 的方程为f xh yk0. 5 向量 m= , x y 按向量 a= , h k 平移后得到的向量仍旧为m= , x y . 70.三角形五“ 心” 向量形式的充要条件设 O 为ABC所在平面上一点,角A B C 所对边长分别为a b c ,就（1） O为ABC的外心OA2OB2OC2. （2） O为ABC 的重心OAOBOC0. （3） O为ABC 的垂心OA OBOB OCOC OA . 第 9 页,共 39 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （4） O为ABC 的内心aOA学习必备欢迎下载bOBcOC0. （5） O为 ABC的 A的旁心 aOA bOB cOC . 71. 常用不等式：（1）a b R a 2b 22 ab 当且仅当 ab 时取“=” 号 （2）a b R a bab 当且仅当 ab 时取“=” 号 2（3）a 3b 3c 33 abc a 0, b 0, c 0.（4）柯西不等式a2b2c2d2acbd2 , , , , a b c dR .0,假如 a 与ax2bxc 同号,（5）ababab.72. 极值定理已知x,y都是正数,就有（1）如积 xy是定值 p ,就当xy时和xy有最小值2p；（2）如和xy是定值 s ,就当xy时积 xy有最大值1 s . 4推广 已知x,yR,就有xy 2