2022年高中理科数学公式大全.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高中数学公式大全（最新整理版）§01. 集合与简易规律1. 元素与集合的关系xAxC A ,xC AxA .2. 德摩根公式C UABC AC B CUABC AC B . 3. 包含关系ABAABBABC BC AAC BC ABR4. 容斥原理名师归纳总结 card AB,cardAcardBcard AB . n 1 个；非空子集有 2n 1第 1 页,共 28 页 5集合a a2,a n的子集个数共有2n个；真子集有 22n 2 个. 个；非空的真子集有6. 二次函数的解析式的三种形式1 一般式f x ax2bxc a0; 2 顶点式f x a xh 2k a0; 3 零点式f x a xx 1xx 2a0. 7.解连不等式Nf x M 常有以下转化形式Nf x Mf x Mf x N0|f x M2N|M2Nf N0Mf x 1NM1N. f x 8. 方程fx 0在k 1k2上有且只有一个实根, 与fk1fk20不等价 , 前者是后者的一个必要而不是充分条件. 特殊地 , 方程ax2bxc0 a0有且只有一个实根在k 1k2内 , 等价于fk1fk20, 或f1k0且k1bk12k2, 或fk20且2ak 1k 2 bk 2 . 2 2 a9. 闭区间上的二次函数的最值二次函数fxax2bxca0 在闭区间p,q上的最值只能在xb处及区2a间的两端点处取得,详细如下：1 当 a>0 时,如xbp,q,就f x minfb,f x maxmaxfp,f q ；2 a2axbp,q,f x maxmaxf ,f q ,2af x minminf p,f q . 2 当 a<0 时,如xbp ,q,就f x minminf p,f q ,2a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - xbp,学习必备,欢迎下载f x maxmaxf p,f q ,q就2af x min min f p , f q . 10. 一元二次方程的实根分布依据：如 f m f n 0,就方程 f x 0 在区间 m n 内至少有一个实根 . 设 f x x 2 px q,就2p 4 q 0（1）方 程 f x 0 在 区 间 m , 内 有 根 的 充要 条 件 为 f m 0 或 p；m2f m 0f n 0（2）方程 f x 0 在区间 m n 内有根的充要条件为 f m f n 0 或 p 24 q 0 或pm n2f m 0 f n 0或；f n 0 f m 02p 4 q 0（3）方程 f x 0 在区间 , n 内有根的充要条件为 f m 0 或 p . m211. 定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据1 在给定区间 , 的子区间 L （形如 , 不同）上含参数的二次不等式 f x t , 0 t 为参数 恒成立的充要条件是 f x t , min 0 x L . 2 在给定区间 , 的子区间上含参数的二次不等式 f , 0 t 为参数 恒成立的充要条件是 f x t , man 0 x L . a 03 f x ax 4bx 2c 0 恒成立的充要条件是 b 0 或 a2 0. b 4 ac 0c 012. 真值表名师归纳总结 13.非或且原结论反设词1）个第 2 页,共 28 页真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假常见结论的否定形式反设词原结论是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有 n 个至多有（n小于不小于至多有 n 个至少有（n1）个对全部 x ,成立存在某 x ,不成立p 或 qp 且q- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 对任何 x ,不成立学习必备欢迎下载p 且 qp 或q存在某 x ,成立 14. 四种命题的相互关系原命题：与逆命题互逆,与否命题互否,与逆否命题互为逆否；逆命题：与原命题互逆,与逆否命题互否,与否命题互为逆否；否命题：与原命题互否,与逆命题互为逆否,与逆否命题互逆；逆否命题：与逆命题互否,与否命题互逆,与原命题互为逆否；15.充要条件. （1）充分条件：如pq ,就 p 是 q 充分条件 . （2）必要条件：如qp ,就 p 是 q 必要条件 . （3）充要条件：如pq ,且 qp ,就 p 是 q 充要条件 . 注：假如甲是乙的充分条件,就乙是甲的必要条件；反之亦然§ 02. 函数16. 函数的单调性1 设 x 1 x 2 a , b , x 1 x 2 那么 x 1 x 2 f x f x 0 f x 1 f x 2 0 f x 在 a , b 上是增函数；x 1 x 2 x 1 x 2 f x 1 f x 2 0 f x 1 f x 2 0 f x 在 a , b 上是减函数 . x 1 x 22 设函数 y f x 在某个区间内可导,假如 f x 0,就 f x 为增函数；假如f x 0,就 f x 为减函数 . 17. 假如函数 f x 和 g x 都是减函数 , 就在公共定义域内 , 和函数 f x g x 也是减函数 ; 假如函数 y f u 和 u g x 在其对应的定义域上都是减函数 , 就复合函数y f g x 是增函数 . 18奇偶函数的图象特点奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称 ; 反过来,假如一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数；假如一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数名师归纳总结 19. 如函数yfx 是偶函数,就fxafxa；如函数yfxa是偶第 3 页,共 28 页函数,就fxafxa. 的对称轴20. 对于函数yf xxR,fxafbx 恒成立 , 就函数fx 是函数xa2b; 两个函数yfxa 与yfbx的图象关于直线xa2b对称 . 21. 如fxfxxaa, 就函数yff x 的图象关于点 a , 0 对称 ; 2 x 为周期为 2 a 的周期函数 . 如fxf, 就函数y22多项式函数P x a xnan1xn1a 的奇偶性多项式函数P x 是奇函数P x 的偶次项 即奇数项 的系数全为零 . 多项式函数P x 是偶函数P x 的奇次项 即偶数项 的系数全为零 . 23. 函数yf x 的图象的对称性1 函数yf x 的图象关于直线xa 对称fax faxf 2ax fx. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 函数yb学习必备a2欢迎下载f amxf bmx f x 的图象关于直线xb对称f amx f mx . 24. 两个函数图象的对称性b的图1 函数yf x 与函数yfx 的图象关于直线x0 即 y 轴 对称 . 2 函数yf mxa 与函数yf bmx 的图象关于直线xab对称 . 2m3 函数yf1 xyfx和的图象关于直线y=x 对称 . 25. 如将函数yfx的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数yfxa象；如将曲线fx,y0的图象右移 a、上移 b 个单位,得到曲线fxa,yb0的图象 . 26互为反函数的两个函数的关系名师归纳总结 fabf1b a. b , 并 不 是第 4 页,共 28 页27. 如 函 数yfkxb 存 在 反 函 数 , 就 其 反 函 数 为y1f1xkyf1kxb , 而函数yf1kxb 是y1fxb 的反函数 . g x g y ,k28. 几个常见的函数方程 1正比例函数f x cx,f xyf x f ,f1c . 2 指数函数f x x a ,f xyf x f y ,f1a0. 3 对数函数f log ax ,f xyf x f ,f a 1 a0,a1. 4 幂函数f x x ,f xyf x f y ,f'1. 5 余弦函数f cosx , 正弦函数g x sinx ,f xy f x f yf01,lim x 0g x 1. | 2 a ,就x29. 几个函数方程的周期商定 a>0 （1）fxfxa,就fx的周期 T=a；（2）fxfxa 0,或fxaf1fx 0 ,x或f xa 1 0, f x 或1f x f2 f xa,f x 0,1 , 就f x 的周期 T=2a；23fx1f1afx0,就fx的周期 T=3a；x4fx 1x21fx 1x 1fx2且f a 1f x 1f x21,0|x 1x 2ffx2fx的周期 T=4a；5f x f x a f x2 a f x3 f x4 f x f x a f x2 a f x3 a f x4 a , 就fx的周期 T=5a；6fxafxfxa,就f x 的周期 T=6a. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载30. 分数指数幂1mn1m（a0,m nN ,且n1）. ana2am1（a0,m nN ,且n1） . nma n31根式的性质（1） n a na . na na ；（2）当 n 为奇数时,当 n 为偶数时,nn aa a00. |a|a a32有理指数幂的运算性质1 arasarsa0, , r sQ. 上述有理指数幂的运算性2 arsarsa0, , r sQ . 3 abrr ra ba0,b0,rQ . 注： 如 a 0,p 是一个无理数,就ap表示一个确定的实数质,对于无理数指数幂都适用. 33. 指数式与对数式的互化式logaNbabN a0,a1,N0.34. 对数的换底公式log aNlogmN aa0, 且a01,m0, 且m1,N0. n1,N0. logma推论logambnnlogba, 且a1,m n0, 且m1,m35对数的四就运算法就如 a0, a 1,M0,N0,就1 log aMNlogaMlogaN ; , 记,且b24ac. 如fx的定义域为2 logMa Nn MlogaMlogaN; 3 loganlogaM nR . 36. 设函数fxlogmax2bxc a0R , 就a0,且0 ; 如fx的值域为 R , 就a00 . 对于a0的情形 , 需要单独检验 . 37. 对数换底不等式及其推广名师归纳总结 ,如a0,b0,x0,x1, 就函数ylogaxbx第 5 页,共 28 页a 1当 ab 时, 在0,1和1 a,上ylogaxbx 为增函数 . a2 当 ab 时, 在 0 , 1a和1 a, 上yl o g axbx 为减函数 . 推论 :设nm1,p0,a0,且a1,就（1） logmpnp logmn .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）logamloganloga2m2学习必备欢迎下载n.§ 03. 数 列y38. 平均增长率的问题p ,就对于时间x 的总产值y ,有假如原先产值的基础数为N,平均增长率为N1px. s na 1a239. 数列的同项公式与前n 项的和的关系a . a ns 1,s nn,n12 数列 a n的前 n 项的和为s n140. 等差数列的通项公式ana 1n1 ddna 1d nN*；其前 n 项和公式为s nn a 12a nna 1n n1d2d n 22a 11d n . ；2N*41. 等比数列的通项公式a na q 1n1a 1qnnq其前 n 项的和公式为s na 11qn ,q1qand a 1b q0的通项公式为1qna q1或s na 1a q q q1. 1na q142. 等比差数列a n:an1bn1 , d q1d q1；a nbqndn b q1q1其前 n 项和公式为s nnbn n1 ,q1qn q1. bd1qnd1qq1143.分期付款 按揭贷款 每次仍款xab 1bn 元贷款 a 元, n 次仍清 ,每期利率为 b . 1b n1§04. 三角函数 44常见三角不等式名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）如x0,2,就 sinx学习必备x . 欢迎下载xtan2 如xx0,2,就 1. sinxcosx2. 3 |sin| cosx| 145. 同角三角函数的基本关系式sin2cos21 , tan=sin, tancot1. cos46. 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变,符号看象限）n名师归纳总结 sinn 1 sin,n 为偶数 第 7 页,共 28 页n1s ,n 为奇数 2 12cocosn 1ncos,n 为偶数 2 1n1n 为奇数 22sin47. 和角与差角公式sinsincoscossin; coscoscossinsin; tantantan. 11taanntansinsinsin2sin2 平方正弦公式 ; coscoscos2sin2. asinbcos=a2b 2 sin 辅 助 角所 在 象 限 由 点 , 的 象 限 决定, tanb . a48. 二倍角公式sin 2sincos. cos2cos2sin22cos2112sin2. tan 212tan2. tan49. 三倍角公式sin 33sin4sin34sinsin3sin3. cos34cos33cos4coscos3cos3.tan 33tantan3tantan3 tan3. 13tan250. 三角函数的周期公式函数ysinx,xR及函数ycosx,xRA, ,为常数, 且 A 0, 0 的周期T2；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 函数ytanx,xk学习必备欢迎下载为常数,且A 0, 0 的周期2,kZ A, ,T . 51. 正弦定理a b c2 R . sin A sin B sin C52. 余弦定理2 2 2a b c 2 bc cos A ; 2 2 2b c a 2 ca cos B ; 2 2 2c a b 2 ab cos C . 53. 面积定理（1）S 1 ah a 1 bh b 1 ch （c h a、h b、h c 分别表示 a、b、c 边上的高） . 2 2 2（2）S 1ab sin C 1bc sin A 1ca sin B . 2 2 23 S OAB 1| OA | | OB | 2 OA OB 2. 254. 三角形内角和定理在 ABC中,有 A B C C A B C A B2 C 2 2 A B . 2 2 255. 简洁的三角方程的通解sin x a x k 1 arcsin a k Z ,| a | 1 . co x a x 2 k arccos a k Z ,| a | 1 . tan x a x k arctan a k Z a R . 特殊地 , 有sinsinkkk 1kkZ. coscos2Z . tantankkZ . 56. 最简洁的三角不等式及其解集sinxa a| 1x2karcsina,2karcsina,kZ . sinxa|a| 1x2karcsina,2karcsina,kZ . cosxa|a| 1x2karccos ,2karccos ,kZ . cosxa a| 1x2karccos ,2k2arccos ,kZ . tanxa aR xkarctan , a k2,kZ . tanxa aRxk2,karctana kZ . §05. 平面对量57. 实数与向量的积的运算律设 、 为实数,那么1 结合律： a= a; 2 第一安排律： + a= a+ a; 3 其次安排律： a+b= a+ b. 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 58. 向量的数量积的运算律：学习必备欢迎下载1 a ·b= b · a （交换律） ; a·b= a · （b）; 2 （a）·b= （a·b） =3 （a+b）·c= a·c +b ·c. 59. 平面对量基本定理 假如 e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且 只有一对实数 1、 2,使得 a= 1e1+ 2e2e1、e2叫做表示这一平面内全部向量的一组基底不共线的向量 60向量平行的坐标表示设 a=x y 1,b=x 2,y2,且 b0,就 abb0x y2x y 10. 53. a 与 b 的数量积 或内积 |b|cos 的乘积a·b=| a|b|cos 61. a·b 的几何意义数量积 a·b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影62. 平面对量的坐标运算1 设 a=x y 1,b=x2,y2,就 a+b=x 1x 2,y 1y 2. y 1. 2 设 a=x y 1,b=x2,y2,就 a-b=x 1x 2,y 1y 2. 3设 Ax 1,y 1,Bx 2,y2, 就ABOBOAx 2x y 24 设 a= , x y,R ,就a= x ,y . y y2. 5 设 a=x y 1,b=x2,y2,就 a·b=x x 263. 两向量的夹角公式cos2 x 1x x 2y y 22 y 2 a=x y 1,b=x 2,y2. 2 y 12 x 264. 平面两点间的距离公式dA B=|AB|AB AB2Ax y 1 1,Bx2,y2. x 2x 12y 2y 165. 向量的平行与垂直设 a=x y 1,b=x 2,y2,且 b0,就0. A|bb= a x y2x y 10. aba0a·b=0x x2y y266. 线段的定比分公式名师归纳总结 标是设P x 1,y 1,P x 2,y2,P x y 是线段PP 的分点 , 1 2是实数,且PP 1PP ,就 2第 9 页,共 28 页xx 1x 2OPOP 1OP 21yy 1y 211OPtOP 11t OP （t11）. 67. 三角形的重心坐标公式 ABC三个顶点的坐标分别为Ax ,y 、1 1Bx ,y 22 、Cx ,y 33 , 就 ABC的重心的坐x 1 x 2 x 3G ,368. 点的平移公式y 1y2y 3. 3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x'xhxx' 'h学习必备欢迎下载OP'OP' PP . y'ykyyk注: 图形 F 上的任意一点Px ,y 在平移后图形' F 上的对应点为P'' x y',且PP 的 '坐标为 , h k . 69. “ 按向量平移” 的几个结论（1）点 P x y 按向量 a= , h k 平移后得到点 P ' x h y k . ' '2 函数 y f x 的图象 C 按向量 a= , 平移后得到图象 C , 就 C 的函数解析式为 y f x h k . ' '3 图象 C 按向量 a= , h k 平移后得到图象 C , 如 C 的解析式 y f x , 就 C 的函数解析式为 y f x h k . 4 曲 线 C : f x y , 0 按 向 量 a= , 平 移 后 得 到 图 象 C , 就 'C 的 方 程 为 'f x h y k 0 . 5 向量 m= , x y 按向量 a= , h k 平移后得到的向量仍旧为 m= , x y . 70. 三角形五“ 心” 向量形式的充要条件设 O 为 ABC 所在平面上一点,角 A B C 所对边长分别为 a b c ,就2 2 2（1） O 为 ABC 的外心 OA OB OC . （2） O 为 ABC 的重心 OA OB OC 0 . （3） O 为 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA . （4） O 为 ABC 的内心 aOA bOB cOC 0 . （5） O 为 ABC 的 A的旁心 aOA bOB cOC . § 06. 不 等 式71. 常用不等式：（1）a bbRc3a2b22 ab 当且仅当 ab 时取“=” 号 （2）a bR=” 号 abab 当且仅当ab 时取“2（3）3 a33 abc a0,b0,c0.（4）柯西不等式名师归纳总结 a2b2c2d2acbd2 , , , , a b c dR .；0, 如 果 a 与第 10 页,共 28 页（5）ababab.72. 极值定理已知x,y都是正数,就有（1）如积 xy 是定值 p ,就当xy时和xy有最小值2p（2）如和xy是定值 s,就当xy时积 xy 有最大值1 s . 44 ac推广 已知x,yR,就有xy2xy22xy