2022年等比数列知识点总结与典型例题+答案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点等比数列学问点总结与典型例题1、等比数列的定义：a n1q q0n2,且nN*, q 称为公比an2、通项公式：ana qn1a 1qnA Bna 1q0,A B0,首项：1a ；公比： qq推广：a na qn mqn ma nqn ma na ma m3、等比中项：（1）假如a A b 成等比数列,那么A 叫做 a 与 b 的等差中项,即：A2ab 或 Aab留意： 同号的 两个数 才有 等比中项,并且它们的等比中项有两个 （2）数列an是等比数列an2a n1an14、等比数列的前n项和S 公式：（1）当q1时,S nna 1（2）当q1时,S na 11qna 1a q1q1q1a 1q1a 1qnAA BnA BnA'（A B A B 为常数）q5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n,都有an11qan 或a nn1q q 为常数,an0an为等比数列a（2）等比中项：a n2a n1 an1an1a n0a n为等比数列（3）通项公式：a nA BnA B0a n为等比数列6、等比数列的证明方法：依据定义：如a n1q q0n2,且nN*或a n1qanan为等比数列an7、等比数列的性质：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）对任何m n* N ,在等比数列 an名师总结优秀学问点n m；中,有ana q（3）如mn2snt m n s tN*,就ana ma sa ；特殊的,当mn2 k 时,得anamak2注：a 1anaa1a a n2等差和等比数列比较：定义等差数列n 1andmd0）等比数列,nk0）aan1qq0 an递推公anan1d；anamnana n1；anamqnm式通项公ana 1 n1dkana 1qn1（a1q0）式Aank2ank（n,kN*,nGankankankank0 （n ,kN*中项na1anna1q1 S n前n项和2Sna11qna1anqq2na1n n1 d重要Snpq1q1q2a ma namanapaqapaqqm ,n ,p,qN*,mnm ,n,p,qN*,mnp性质经典例题透析类型一：等比数列的通项公式名师归纳总结 例 1等比数列 an中,a 1a964, a3a 720, 求a . a 和 q 的二元方程组, 解出a 1思路点拨：由等比数列的通项公式, 通过已知条件可列出关于和 q ,可得a ；或留意到下标 1 937 ,可以利用性质可求出a 、a ,再求a . 第 2 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点总结升华：列方程（组）求解是等比数列的基本方法,同时利用性质可以削减运算量；解题过程中详细求解时,要设法降次消元,经常整体代入以达降次目的,故较多变形要 用除法（除式不为零） . 举一反三：【变式 1】a n 为等比数列, a1=3,a9=768,求 a6；【变式 2】an 为等比数列, an0,且 a1a89=16,求 a44a45a46 的值；【变式 3】已知等比数列 an,如a 1a2a 37,a a a 38,求a ；类型二：等比数列的前 n 项和公式 例 2设等比数列 a n 的前 n 项和为 Sn,如 S3+S6=2S9,求数列的公比 q. 举一反三：【变式 1】求等比数列1,1 1 ,3 9,的前 6 项和；【变式 2】已知： a n 为等比数列, a1a2a3=27,S3=13,求 S5. 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【变式 3】在等比数列 an中,a 1名师总结66优秀学问点1128,S n126,求 n 和 q ；an,a 2an类型三：等比数列的性质例 3. 等比数列 an中,如a 5a69, 求log3a 1log3a2.log3a 10. 举一反三：【变式 1】正项等比数列 a n 中,如 a1· a100=100; 就 lga 1+lga 2+ +lga 100=_. 【变式 2】在8 和27 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,就插入的三个数的乘积为3 2_；类型四：等比数列前 n 项和公式的性质例 4在等比数列 a n 中,已知 S n 48,S 2 n 60,求 S ；思路点拨： 等差数列中也有类似的题目,我们仍旧采纳等差数列的解决方法,即等比数列中前 k 项和,第 2 个 k 项和,第 3 个 k 项和, ,第 n 个 k 项和仍旧成等比数列；举一反三：【变式 1】等比数列 a n 中,公比 q=2, S4=1, 就 S8=_. 【变式 2】已知等比数列 a n 的前 n 项和为 Sn, 且 S10=10, S 20=40, 求：S30=？名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【变式 3】等比数列 a n名师总结优秀学问点54,的项都是正数,如Sn=80, S 2n=6560,前 n 项中最大的一项为求 n.【变式 4】等比数列 a n中,如 a1+a2=324, a3+a4=36, 就 a5+a6=_. 【变式 5】等比数列 a n中,如 a1+a2+a3=7,a 4+a5+a6=56, 求 a7+a8+a9的值；类型五：等差等比数列的综合应用例 5已知三个数成等比数列,如前两项不变,第三项减去32,就成等差数列 . 如再将此等差数列的其次项减去 4,就又成等比数列 . 求原先的三个数 . 思路点拨： 恰当地设元是顺当解方程组的前提 并将其设为整式形式 . . 考虑到有三个数,应尽量设较少的未知数,总结升华： 挑选适当的设法可使方程简洁易解；一般地,三数成等差数列,可设此三数为a-d, a, a+d；如三数成等比数列,可设此三数为 中采纳首项 a,公比 q 来解决问题反而简便；x ,x, xy；但仍要就问题而言,这里解法二 y名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点举一反三：【变式 1】一个等比数列有三项, 假如把其次项加上4,那么所得的三项就成为等差数列,假如再把这个等差数列的第三项加上 32,那么所得的三项又成为等比数列,求原先的等比数列. 【变式 2】已知三个数成等比数列,它们的积为27,它们的平方和为91,求这三个数；【变式 3】有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是 16,其次个数与第三个数的和为 12,求这四个数 . 类型六：等比数列的判定与证明例 6已知数列 a n 的前 n 项和 Sn满意： log 5S n+1=nn N+, 求出数列 a n 的通项公式,并判定 an 是何种数列？思路点拨： 由数列 a n 的前 n 项和 Sn可求数列的通项公式,通过通项公式判定举一反三：【变式 1】已知数列 Cn ,其中 Cn=2 n+3 n,且数列 Cn+1-pCn 为等比数列,求常数【答案】 p=2或 p=3；a n 类型 . p；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点【证明】 设数列 an 、bn 的公比分别为 p, q ,且 p q 【变式 3】判定正误：1a n 为等比数列 a7=a3a4；2 如 b 2=ac,就 a,b,c 为等比数列；3a n ,bn 均为等比数列,就 anbn 为等比数列；4a n 是公比为 q 的等比数列,就 a n 2、1 仍为等比数列；a n5 如 a,b,c 成等比,就 log ma,log mb,log mc 成等差 . 类型七： Sn与 an 的关系例 7已知正项数列 a n ,其前 n 项和 Sn满意10S na25a n6,且 a1,a3,a15成等比数列,n求数列 an 的通项 an. 总结升华： 等比数列中通项与求和公式间有很大的联系,它们是a na 1S n1n1,S n n2特殊留意首项与其他各项的关系. 2：举一反三：【变式】命题 1：如数列 a n 的前 n 项和 Sn=a n+ba 1 ,就数列 a n 是等比数列；命题如数列 a n 的前 n 项和 Sn=na-n,就数列 a n 既是等差数列,又是等比数列；上述两个命题中,名师归纳总结 真命题为个. 第 7 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点经典例题透析类型一：等比数列的通项公式得例 1等比数列 a n中,a 1a 964, a3a720, 求a 11. 1a 和 q ,可1a 和 q 的二元方程组,解出思路点拨： 由等比数列的通项公式,通过已知条件可列出关于a 11；或留意到下标 1937 ,可以利用性质可求出a 、a ,再求a 11. 解析：法一： 设此数列公比为q ,就a 1a 97a 1a q864201a 3aa q2a q62由2 得：a q21q420.3 a 10. 由1 得：a q4264 , a q48 .4 3 ÷ 4 得：1qq4205,2822 q45 q220, 解得q22或q212当q22时,a 12,a 11a 110 q64；当2 q1时,a 132,a 11a 1q101. 2法二： a 1a 9a3a764, 又a3a720, a 、a 为方程x220x640的两实数根,a 316或a34a 74a716a 3a 11a72, a 11a 721或a 1164. a 3总结升华：列方程（组）求解是等比数列的基本方法,同时利用性质可以削减运算量；解题过程中详细求解时,要设法降次消元,经常整体代入以达降次目的,故较多变形要用除法（除式不为零） . 举一反三：【变式 1】an 为等比数列, a1=3,a9=768,求 a6；【答案】 ± 96 法一： 设公比为 q,就 768=a1q 8,q 8=256, q=± 2, a6=± 96；q=± 2, a6=± 96；法二： a5 2=a1a9 a5=± 48【变式 2】an 为等比数列, an0,且 a1a89=16,求 a44a45a46的值；【答案】 64；名师归纳总结 a a 89a216,又 an0, a45=4 第 8 页,共 16 页45- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a a a 46a364；名师总结优秀学问点45【变式 3】已知等比数列an,如a 1a2a37,a a a38,求a ；q. 【答案】a n2n1或an23n；法一： a a32 a ,a a a 3a38,a222从而a 1a 345,解之得a 11,a 34或a 14,a31a a 3当a 11时,q2；当a 14时,q1；2故an2n1或an23n；法二 ：由等比数列的定义知a 2a q ,a 3a q2代入已知得a 1a qa q287a 1a q a q2a 11qq27,a 11q2 q7, 13 a q 138a q 122将a 12代入（ 1）得2q25q20,q解得q2或q12由（ 2）得a 11或a 14,以下同方法一；1q2q2类型二：等比数列的前n 项和公式例 2设等比数列 an的前 n 项和为 Sn,如 S3+S6=2S9,求数列的公比解析： 如 q=1,就有 S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1. 名师归纳总结 因 a1 0,得 S3+S6 2S9,明显 q=1 与题设冲突,故q 1. ,第 9 页,共 16 页由S 3S 62S 得,a 11q3a 11q62 a 11q91q1q1q整理得 q32q6-q3-1=0 ,由 q 0,得 2q6-q3-1=0 ,从而 2q3+1q3-1=0 ,因 q 3 1,故q31,所以q3 4；22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点举一反三：【变式 1】求等比数列1 1 1, ,3 9,的前 6 项和；【答案】364 243；1163646a 11,q1,n3S 611163311232433【变式 2】已知： a n 为等比数列, a1a2a3=27, S3=13,求 S5. 【答案】121 或121；n1,就 a1=1 或 a1=9 ,求 n 和 q ；93 a 227a23,13a 113 qq3 或q1q3S 515 3121 或S 5911121. 35131191128,S n1263【变式 3】在等比数列 an中,a 1a n66,a2a【答案】q1或 2,n6；2a 2an1a 1a ,a an128解方程组a a na n128,得a 164或a 12a 166a n2a n64将a 164 代入2S na 1a q,得q1,a n1q2由a na qn1,解得n6；将a 12代入S na 1a q,得q2,a n641q由a na qn1,解得n6；q1或 2,n6；2类型三：等比数列的性质名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 3. 等比数列 a n中,如a 5a69名师总结a 1优秀学问点.log3a 10. , 求log3log3a2解析： an是等比数列,a 1a 103a 2a9a3a 8a 2a4a7a5a 695a 655 log 910log3a1log3a2loga 10log a 1a 3a 10log a举一反三：【变式 1】正项等比数列an中,如 a1· a100=100; 就 lga1+lga2+ +lga100=_. 【答案】 100；lga 1+lga 2+lga 3+ +lga 100=lga1·a2·a3· ·a100 _；而 a1·a100=a2·a99=a3·a98= =a50·a51a100 50=50lga 1·a100=50× lg100=100 ；原式 =lga1·【变式 2】在8 3和27 2之间插入三个数,使这五个数成等比数列,就插入的三个数的乘积为【答案】 216；法一： 设这个等比数列为a n,其公比为 q ,k 项和,a 18,a527a q484 q ,q481,q29323164a 2a 3a4a q a q23 a q3 a 1q6839363216；34法二： 设这个等比数列为a n,公比为 q ,就a 18,a527,32加入的三项分别为a ,a ,a ,由题意a ,a ,a 也成等比数列,2 a 382736,故a 36,32a 2a 3a42 a 3a 3a3216；3类型四：等比数列前n 项和公式的性质例 4在等比数列 an中,已知S n48,S 2n60,求S 3n；思路点拨： 等差数列中也有类似的题目,我们仍旧采纳等差数列的解决方法,即等比数列中前第 2 个 k 项和,第 3 个 k 项和, ,第 解析：n 个 k 项和仍旧成等比数列；法一： 令 b1=Sn=48, b 2=S2n-S n=60-48=12 ,b3=S3n-S 2n 观看 b1=a1+a2+ +an, b2=an+1+an+2+ +a2n=q na 1+a2+ +an ,b3=a2n+1+a2n+2+ +a3n=q2na 1+a2+ +an 3,易知 b1,b 2,b 3 成等比数列,b 32 b 22 12b 148S3n=b3+S2n=3+60=63. 名师归纳总结 法二： S 2n2S ,q1,第 11 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由已知得a 11qn48名师总结优秀学问点1qa 11q2n601q÷ 得1qn5,即qn1 4S ,S 3nS 2n也成等比数列,4代入得1a 164,163；qS 3na 11q3 n6411q43法三： an为等比数列,S ,S 2nS 2nS n2S nS 3nS 2n,6063；S 3nS 2nS nS n2S 2n602 4848举一反三：【变式 1】等比数列 an中,公比 q=2, S4=1, 就 S8=_. 【答案】 17；名师归纳总结 S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q 4+a2q 4+a3q4+a4q4=S4+q 4a 1+a2+a3+a4=S 4+q 4S4=S41+q4=1 × 1+24=17 第 12 页,共 16 页【变式 2】已知等比数列an的前 n 项和为 Sn, 且 S10=10, S20=40,求： S30=？【答案】 130；法一： S10,S20-S 10,S30-S 20构成等比数列,S 20-S 102=S10·S30-S 20 即 302=10S 30-40, S30=130. 法二： 2S10 S20,q1, S 10a 11q 1010,S 20a 11q2040, 1q1q1q101 , 4q103, 1a 1q51q20S 30a 1 1q305 133130. 1q【变式 3】等比数列 an的项都是正数,如Sn=80, S2n=6560,前 n 项中最大的一项为54,求 n.【答案】 S n80,q1 否就Sn1 S 2nS 2n65602S na 11qn=80 .1 1qS 2na 11q2n=6560.2,1q2 ÷ 1 得： 1+qn=82, q n=81.3 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 该数列各项为正数,由3 知 q>1 名师总结优秀学问点an 为递增数列,an 为最大项 54. an=a1q n-1=54, a1q n=54q, 81a1=54q.4 a 1 54q 2 q 代入 1 得2 q 1 81 801 q ,81 3 3q=3, n=4. 【变式 4】等比数列 a n 中,如 a1+a2=324, a 3+a4=36, 就 a5+a6=_. 【答案】 4；令 b1=a1+a2=a11+q ,b2=a3+a4=a1q 21+q,b 3=a5+a6=a1q 41+q, 易知： b1, b 2, b 3 成等比数列,b3= b 2 2= 36 2=4,即 a5+a6=4. b 1 324【变式 5】等比数列 a n 中,如 a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求 a7+a8+a9的值；【答案】 448；a n是等比数列,a4+a5+a6=a1+a2+a3q 3,q 3=8, a7+a8+a9=a 4+a5+a6q 3=56× 8=448. 类型五：等差等比数列的综合应用例 5 已知三个数成等比数列,如前两项不变,第三项减去32,就成等差数列. 如再将此等差数列的第二项减去 4,就又成等比数列. 求原先的三个数. 思路点拨： 恰当地设元是顺当解方程组的前提 整式形式 . 解析：法一： 设成等差数列的三数为 a-d, a,a+d. . 考虑到有三个数,应尽量设较少的未知数,并将其设为名师归纳总结 就 a-d, a, a+d+32成等比数列, a-d, a-4, a+d成等比数列 . 2-32 成等比数列第 13 页,共 16 页a2adadda32. 1 a4 2ad.22-32 成等差数列, a, aq-4, aq2 由2 得 a= d 16 .3 8 由1 得 32a=d 2+32d .4 3 代4 消 a,解得d8或 d=8. 3当d8时,a26；当 d=8 时,a=10 39原先三个数为 2 , 26 , 338 或 2,10,50. 9 9 9法二： 设原先三个数为 a, aq, aq 2,就 a, aq,aq2aqa2aq232. 1 2aq4aaq232.由2 得aq24,代入 1 解得 q=5 或 q=13 当 q=5 时 a=2；当 q=13 时a2. 9- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结优秀学问点a-d, a, a+d ；原先三个数为2,10,50 或2 ,926 , 9338 . 9总结升华： 挑选适当的设法可使方程简洁易解；一般地,三数成等差数列,可设此三数为如三数成等比数列,可设此三数为x ,x, xy；但仍要就问题而言,这里解法二中采纳首项 ya,公比 q 来解决问题反而简便；举一反三：【变式 1】一个等比数列有三项,假如把其次项加上4,那么所得的三项就成为等差数列,假如再把这个等差数列的第三项加上 32,那么所得的三项又成为等比数列,求原先的等比数列 . 【答案】 为 2,6,18 或2 , 10 50 ,；9 9 9设所求的等比数列为 a,aq,aq 2；就 2aq+4=a+aq 2,且 aq+4 2=aaq 2+32 ；解得 a=2,q=3 或 a 2,q=-5 ；9故所求的等比数列为 2,6,18 或2 , 10 50 , . 9 9 9【变式 2】已知三个数成等比数列,它们的积为 27,它们的平方和为 91,求这三个数；【答案】 1、3、9 或 1、3、 9 或 9、3、1 或 9、3、 1设这三个数分别为 a a aq,qa a aq 27 a 3q由已知得a 22 2 2 a 2 12 q 21 912 a a q 91 qq得 9 q 482 q 29 0,所以 q 29 或 q 2 1,9即 q 3 或 q 13故所求三个数为：1、3、9 或 1、3、 9 或 9、3、1 或 9、3、 1；【变式 3】有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是 16,其次个数与第三个数的和为 12,求这四个数 . 【答案】 0,4,8,16 或 15,9,3,1；设四个数分别是 x,y,12-y,16-x 2 y x 12 y . 12 12 y y 16 x . 2 由1 得 x=3y-12 ,代入 2 得 144-24y+y 2=y16-3y+12 144-24y+y 2=-3y 2+28y, 4y 2-52y+144=0, y 2-13y+36=0, y=4 或 9, x=0 或 15,四个数为 0,4,8, 16 或 15,9,3,1. 类型六：等比数列的判定与证明名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点例 6 已知数列 an 的前 n 项和 Sn满意： log5Sn+1=nn N+, 求出数列 an 的通项公式,并判定 an 是 何种数列？思路点拨： 由数列 an 的前 n 项和 Sn 可求数列的通项公式,通过通项公式判定an 类型 . 解析： log 5S n+1=n, Sn+1=5 n, Sn=5 n-1 nN+, a1=S1=5 1-1=4, n-1 -1=5n-5n-1=5 n-15-1=4 × 5 n-1当 n2 时, an=Sn-Sn-1=5 n-1-5而 n=1 时, 4× 5 n-1=4× 5 1-1=4=a1, n-1nN+时, an=4× 5由上述通项公式,可知a n 为首项为 4,公比为 5 的等比数列 . 举一反三：