2022年高三复习学案：对数与对数函数.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 对数与对数函数一基础学问1对数 1对数的概念假如abNa0,a1 ,那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数 ,记blogaNa0 ,a12对数的性质：零与负数没有对数log a10logaa13对数的运算性质logaMNlogaMlogaNlogMlogaMlogaNa NM nloganlogaM其中 a>0,a 0,M>0,N>0 4对数换底公式：logaNlogmNN0 ,a0 且a,1m0 且m1 logma2对数函数一般形式：y=logax a>0 且 a 1过定点：（1,0）定义域： 0,+ 值域： 0,+ 图象：单调性：a> 1,在-,+ 上为增函数 a<1, 在-,+ 上为减函数值分布：当a,1且x1 时y>0 当0a,1且x1 时y<0 1 时y>0 ,1y<0 xa且0x1 时0a,1且03.记住常见对数函数的图形及相互关系二、题型剖析1对数式的化简和运算 题组指数式与对数式的互化将以下指数式改写成对数式；名师归纳总结 2416；331；5a20；1b.045第 1 页,共 16 页272- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 将以下对数式改写成指数式；log 51253；log132；lg a1. 6993题组运算：（1）log 2loga1；（ 2）log 18log 2 ；（3）lg1lg 25；24（4）2log 10log 0.25 ；（5）2log 253log 64 ；（6）log log 16 ；题组运算：lg5 2lg50lg22 lg22lg2lg5lg226lg21a2换底公式及应用:log1643例 2（ 1）已知log535m ,求log71.4（2）如log1227a,求证3a思维分析：用换底公式化成相关数质数为对数的底数与真数,再进行代换；3指对数互化3x4y6z例 3已知 x,y,z 为正数,满意 求证：111比较 3x、4y、 6z 的大小2yzx思维分析：把握指数式与对数式互化是解决问题的一个有效途径；4对数函数的图象名师归纳总结 例 4. 图中的曲线是对数函数ylogax的图象,已知a 的取值为2 、4 、32 、51 四个值,就相应 6于曲线C 、C 、C 、C 的 a 的值依次为【】y C1A2 、4 、32 、51 B 64 、32 、1 、62C25C2 、4 、3训练： 如 01 、6 a2 D 5 1,就函数y4 、3log a x2 、2 、15 65 的图象不经过【x 0 C3A第一象限B其次象限C第三象限D第四象限C4第 2 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如log a31,就 a 的取值范畴是 C31, D【】,03 ,14A 0,3 B3,44445对数函数的性质是实数集 R 上的奇函数,且当x0时,fxlog 2 x1例 4. 已知函数fx（其中a0且a1）求函数fx的解析式；画出函数fx的图像；当. fx1 时,写出 x 的范畴例 5. 已知函数fxlogaxba,0b0 且a1xb的单调性；x求fx的定义域；判定fx的奇偶性；争论f6.综合运用已知fx1logx3,gx2logx2,试比较fax与gx的大小1 ,已知fx loga1mx 1是奇函数（其中0 ax（1）求m 的值；名师归纳总结 （2）争论fx 的单调性；1 a2时,f x的值域为 ,1,求a 的值. 定义域区间为（3）当fx第 3 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3对于函数fx log1x22 ax3 ,解答下述问题：2（1）如函数的定义域为 R,求实数 a 的取值范畴；（2）如函数的值域为 R,求实数 a 的取值范畴；（3）如函数在 ,1 内有意义,求实数 a 的取值范畴；（4）如函数的定义域为 1, 3 , ,求实数 a 的值；（5）如函数的值域为 , 1,求实数 a 的值；（6）如函数在 1, 内为增函数,求实数 a 的取值范畴 . 4解答下述问题：（）设集合 A x | 2 log 1 2x 21 log 8 x 3 0 ,2如当xA时,函数fxlog2xlog2x的最大值为 2,2a4求实数 a 的值. （）如函数fx 4x1xa2x2数 a 的值. 42x1（）设关于x 的方程（1）如方程有实数解,求实数27 在区间 0,2上的最大值为 9,求实2b 0 b R）,b 的取值范畴；名师归纳总结 （2）当方程有实数解时,争论方程实根的个数,并求出方程的解. 第 4 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 高一数学对数与对数函数复习题名师归纳总结 - - - - - - -一、挑选题1如 3 a=2,就 log38-2log36 用 a 的代数式可表示为（）（A）a-2 （B）3a-1+a2 （C）5a-2 （D）3a-a2 2.2logaM-2N=log aM+log aN,就M 的值为（N）（A）1（B）4 （C）1 （D）4 或 1 43已知 x 2+y2=1,x>0,y>0,且 loga1+x=m,loga11n , 就 log a y 等于（x（D）1 m-n 2）（A）m+n （B）m-n （C）1 m+n 24.假如方程lg2x+lg5+lg7lgx+lg5 ·lg7=0 的两根是 、 ,就 ·的值是（）（A）lg5·lg7（B）lg35（C）35 （D）1355.已知 log7log 3log2x=0,那么 x1等于（）2（A）1（B）213（C）212（D）31336函数 y=lg（12x1）的图像关于（）（A）x 轴对称（B）y 轴对称（C）原点对称（D）直线y=x 对称7函数 y=log 2x-1 3x 2 的定义域是（）（A）（2 ,1）（1,+）（B）（1 ,1）3 2（C）（2 ,+）（D）（1 ,+3 28函数 y=log 1x 2-6x+17的值域是（）（1,+）2（A）R （B）8,+ （C）（-,-3）9函数 y=log 12x 2-3x+1的递减区间为（）（D）3,+ 1 2（A）（1,+2（B）（-,3 4（C）（1 ,+ 2）（D）（-,）10函数 y=1 2x +1+2,x<0的反函数为（）第 5 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - （A）y=-log1x21x2 （B）log1x21x2 2 2（C）y=-log 1 x 2 1 2 x 5 （D）y=-log 1 x 2 1 2 x 52 2 2 211.如 logm9<log n9<0,那么 m,n 满意的条件是（）（A）m>n>1 （B）n>m>1 （C）0<n<m<1 （D）0<m<n<1 12.loga 2 1,就 a 的取值范畴是（）3（A）（0,2 ）（1,+）（B）（2 ,+）3 3（C）（2 1,）（D）（0,2 ）（2 ,+）3 3 313如 1<x<b,a=log bx,c=logax,就 a,b,c的关系是（）（A）a<b<c （B）a<c<b （C）c<b<a （D）c<a<b 14.以下函数中,在（ 0,2）上为增函数的是（）（A）y=log 1 x+1（B）y=log2 x21（C）y=log 2 1（D）y=log 1 x 2-4x+5 2 x 215.以下函数中,同时满意： 有反函数, 是奇函数,定义域和值域相同的函数是（）x x（A）y= e e（B）y=lg 1 x（C）y=-x3 （D）y= x2 1 x16.已知函数 y=log a2-ax在0,1上是 x 的减函数,就 a 的取值范畴是（）（A）（0,1）（B）（1,2）（C）（0,2）（D）2,+ x 117已知 gx=log a x 1 a>0 且 a 1在（-1,0）上有 gx>0,就 fx=a是（）（A）在（-,0）上的增函数（B）在（-,0）上的减函数函数（C）在（ -,-1）上的增函数（D）在（ -,-1）上的减18如 0<a<1,b>1,就 M=ab,N=log ba,p=b a的大小是（）（A）M<N<P （B）N<M<P （C）P<M<N （D）P<N<M 19“ 等式 log3x2=2 成立” 是“ 等式 log3x=1 成立” 的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件名师归纳总结 20已知函数 fx=lgx,0<a<b,且 fa>fb ,就（）第 6 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （A）ab>1 （B）ab<1 （C）ab=1 （D）a-1b-1>0 为二、填空题1如 loga2=m,loga3=n,a 2m+n= ；2函数 y=log x-13-x的定义域是；3lg25+lg2lg50+lg22= ；4.函数 fx=lgx21x是（奇、偶）函数；5 已知函数fx=log 0.5 -x2+4x+5, 就 f3 与 f （4）的大小关系；6函数 y=log1x2-5x+17的值域为；27函数 y=lgax+1的定义域为（ -,1）,就 a= ；8.如 函 数 y=lgx 2+k+2x+ 5 的 定 义 域 为 R, 就 k 的 取 值 范 围4是；x9函数 fx= 10x 的反函数是；1 1010已知函数 fx= 1 x,又定义在（ -1,1）上的奇函数 gx,当 x>02时有 gx=f-1（x）,就当 x<0 时,gx= ；三、解答题1如 fx=1+log x3,gx=2log 2 x ,试比较 fx与 gx的大小；x x2已知函数 fx= 10x 10x；10 10（1）判定 fx 的单调性；（2）求 f-1x；3已知 x 满意不等式 2log2x）2-7log2x+30,求函数 fx=log 2xlog2x的24最大值和最小值；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4已知函数 fx2-3=lgxx26, 21fx 的定义域；2判定 fx 的奇偶性；3求 fx 的反函数 ; 4如 fx =lgx, 求3 的值；5设 0<x<1,a>0 且 a 1,比较loga 1x 与loga1x的大小；6已知函数 fx=log 3mx228xn的定义域为 R,值域为 0,2,求 m,nx1的值；7已知 x>0,y 0,且 x+2y= 2 1 ,求 g=log 1 8xy+4y2+1的最小值；28求函数y4x|x2的定义域lg|x9已知函数yloga2ax在0,1上是减函数,求实数a 的取值范畴10已知fxlogax1a ,求使 fx>1 的 x 的值的集合名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 对数与对数函数参考答案一、挑选题题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 号答A B D D C C A C A D 案题11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 号答C A D D C B C B B B 案二、填空题112 2.x1x3且 x2 由3x0解得 1<x<3且 x2；x10x1132 4奇xR 且fxlgx21xlgx211xlgx21xfx ,fx 为奇函数；5f3<f4 设 y=log 0.5u,u=-x 2+4x+5, 由-x 2+4x+5>0 解 得-1<x<5；又u=-x 2+4x+5=-x-2 2+9, 当 x -1,2时,y=log0.5-x 2+4x+5单调递减；当x 2,5时,y=log 0.5-x 2+4x+5单调递减, f3<f4 1 u6.-, 3 x 2-6x+17=x-3 2+8 8 ,又 y=log 2 单调递减,y 37.-1 名师归纳总结 8.-52k525 >0 恒成立,就 4y=lgx 2+k+2x+ 5 的定义域为 R, x 2+k+2x+4（k+2）2-5<0,即 k 2+4k-1<0,由此解得 -5 -2<k< 5 -2 9.y=lg1xx0x1反 函 数 为y=lgy=110xx, 就10 x=1yy0 ,0y,1又xlg1yy,101xx0x1第 9 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 10.-log 1 -x 2已知 fx= 1 x,就 f-1x=log 1 x, 当 x>0 时,gx=log 1 x, 当 x<0 时,-x>0, 2 2 2g-x =log 1 -x, 又gx是奇函数,gx=-log 1 -xx<0 2 2三、解答题1f x-gx=log x3x-logx4=logx 3x .当 0<x<1 时,fx>gx; 当 x= 4 时,4 3fx=gx; 当 1<x< 4 时,fx<gx; 当 x> 4 时,fx>gx ；3 32（1）fx=102x1,x1R . 设x 1,x2,1<0,10 2x1<10 2x2102x1 2 x 1102 10x 212 102x 1102x 2,且 x1<x2,fx1-fx 2=102x 112 10x 21 102x 11 102x2fx为增函数；2 x（2）由 y= 102 x 1 得 10 2x= 1 y.10 1 1 y10 2x>0, -1<y<1,又 x= 1lg 1 y. f 1 x 1lg 1 x x 1,1 ；2 1 y 2 1 x3由 2 （ log 2x ）2-7log 2x+3 0 解 得 1 log2x 3 ； 2fx=log 22 xlog 24 xlog 2 x 1 log2x-2=log 2x-3 2 2-1 ,当 log2x=4 3 时,fx2取得最小值 -1 ；当 log2x=3 时,fx取得最大值 2；42 24（1）fx 2-3=lg x2 3 3 ,fx=lg x 3 ,又由 2 x0 得 x 2-3>3, fx x 3 3 x 3 x 6的定义域为（ 3,+）；（2）fx 的定义域不关于原点对称,fx 为非奇非偶函数；名师归纳总结 （3）由 y=lgx x3,得 x=3 10y1 ,x>3,解得 y>0, f-1x=3 10x1 x0第 10 页,共 16 页310y110x13 33 33,解得3=6；4f3 =lglg3,3 33 35loga 1x loga 1x lg1ax - lg- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - lg1ax1lg1x20x,1就lg1x2,；lglgalog a 1 x log a 1 x 0 , 即 log a 1 x log a 1 x 22 mx 8 x n6由 y=log 3 mx2 8 x n,得 3 y= x 21,即（ 3 y-m）x 2-8x+3 y-n=0.x 1x R , 64-43 y-m3 y-n 0,即 3 2y-m+n·3 y+mn-16 0；由 0 y 2,得 1 3 y 9,由根与系数的关系得 m n 1 9,解得 m=n=5；mn 16 1 97由已知 x= 1 -2y>0, 0 y 1 ,由 g=log 2 41 8xy+4y 2+1=log 1 -12y 2+4y+1=log 1 -12y-1 2+ 4 , 当 y= 1 ,g 的最小2 2 2 6 3 6值为 log 1 3 2 424 x 0 2 x 2|x|x02x0,|x|x1x18解：x20x1或122函数的定义域是0,121 29解： a是对数的底数a>0 且 a 1函数 u2ax 是减函数函数yloga2ax是减函数x2a>1log au是增函数 函数的定义域是2ax0a定义域是,2a函数在区间 0, 1上有意义是减函数名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 0,1,2a21a2a1<a<210解： fx>1 即log ax1a 1当 a>1 时x1a0xaa11x1aax2解为 x>2a1 当 0<a<1 时x1a0xaa1x1aax21a1<2a1 解为 a1<x<2a1 当 a>1 时, x|x>2a 1 当 0<a<1 时, x|a 1<x<2a1 均能使 fx>1 成立名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解析版：【例 1】已知 f x log a 1 mx 是奇函数（其中 a ,0 a 1 ,x 1（1）求 m 的值；（2）争论 f x 的单调性；（3）求 f x 的反函数 f 1 x ；（4）当 f x 定义域区间为 1 a 2 时,f x 的值域为 ,1 ,求 a 的值. 2 2解析（1）f x f x log a 1 mx log a 1 mx log a 1 m2 x 0x 1 x 1 1 x对定义域内的任意 x恒成立,2 21 m2 x1 m 21 x 20 m 1,1 x当 m 1 时 f x 0 x 1 不是奇函数,m 1,（2）f x log a x 1, 定义域为 , 1 ,1 ,x 1求导得 f x 2 2log a e,x 1当 a 1 时,f x 0 , f x 在 , 1 与 ,1 上都是减函数；当 0 a 1 时,f x 0 , f x 在 , 1 与 ,1 上都是增函数；（另解）设 g x x 1,任取 x 1 x 2 1 或 x 2 x 1 1,x 1g x 2 g x 1 x 2 1 x 1 1 2 x 2 x 1 0,x 2 1 x 1 1 x 1 1 x 2 1 g x 2 g x 1 ,结论同上；y（3）y log a x 1a y x 1 a y1 x a y1 x ay 1,x 1 x 1 a 1xa y1 0 , y 0 , f 1 x ax 1 x 0 , a 0 且 a 1 a 1（4）1 x a 2 , a 3 , f x 在 ,1 a 2 上为减函数,命题等价于 f a 2 1,即 log a a 11 a 24 a 1 0,a 3解得 a 2 3 . 评析例 1 的各个小题概括了指数、对数函数的各种常见的基本问题,娴熟把握这些基本问题的解答程序及方法是很重要的才能训练,要认真总结体会 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 2】对于函数fx log1x22ax3,解答下述问题：2“（1）如函数的定义域为R,求实数 a 的取值范畴；（2）如函数的值域为R,求实数 a 的取值范畴；（3）如函数在,1内有意义,求实数a 的取值范畴；（4）如函数的定义域为1, 3 ,求实数 a 的值；（5）如函数的值域为,1,求实数 a 的值；（6）如函数在1,内为增函数,求实数a 的取值范畴 . 解答记ugxx22ax3xa 23a2,（1）u0对xR恒成立,umin3a203a3,a 的取值范畴是3,3；（2）这是一个较难懂得的问题；从“logax的值域为R” ,这点摸索,log1u的值域2为 R” 等价于“ug x 能取遍0,的一切值” ,或懂得为“ugx的值域包含了区间0,”3,a2,0,x0a分ugx 的值域为命题等价于umin3a20a3 或a3,a 的取值范畴是33,；x,1内有意义” 与定义域的概念是不同的,（3）应留意“ 在命题等价于“ug0 对x,1恒成立” ,应按gx 的对称轴类,a1或 0a12120a1或a31a3,4ag1 a2a 的取值范畴是2 ,3；（4）由定义域的概念知,命题等价于名师归纳总结 - - - - - - -不等式x22ax30的解集为x|x1 或x3 ,x 1,1x 23是方程x22ax30的两根,x 1x22aa,2即 a 的值为 2；x 1x 23（5）由对数函数性质易知：g x 的值域为2 ,由此同学很简单得gx2,但这是不正确的 .由于“gx2” 与“gx的值域为2 ,” 并不等价,后者要求g x能取遍2,的一切值（而且不能多取）. gx的值域是3a2,第 14 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 命题等价于gxmin3a22a1；即 a 的值为± 1；（6）命题等价于：gx 在1, 为减函数x0a1,gx 0 对x1,恒成立g10即a1,得 a 的取值范畴是2,1. a2评析学习函数学问及解决函数问题, 第一是要特别精确懂得与把握函 数中的每个概念, 很多函数的概念都有很深刻的内涵,解决问题时要认真 揣摩各种概念之间的联系与不同,才能作出精确的解答,并要在学习中不 断积存体会 . 【例 3】解答下述问题：12x21log8x30 ,（）设集合Ax|2log2名师归纳总结 - - - - - - -如当xA时,函数fx log2xlog2x的最大值为 2,2a4求实数 a 的值. 解析Ax|2log22x7log2x30x|1log2x3 x|2x82而fxlog2xalog2x2log2xa2 log2x2a,2令log 2xt,2x8 ,1t3,2fx gtt2a2t2a,其对称轴ta22,1,适合；当ta227,即a3时 gtmaxg 3 2a42当ta227,即a3时,gtmaxg12a13,适合；4226综上,a1或13. 6（）如函数fx 4x1a2x27在区间 0,2上的最大值为 9,求实22数 a 的值. 解析fx 122xa2x27,22