2022年考研必备数学公式大全.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载·平方关系：sin2 +cos2 =1 tan2 +1=sec2 cot2 +1=csc2 ·积的关系：sin =tan *cos cos =cot *sin tan =sin *sec cot =cos *csc sec =tan *csc csc =sec *cot ·倒数关系：tan ·cot =1 sin ·csc =1 cos ·sec =1 直角三角形 ABC 中, 角 A 的正弦值就等于角 A 的对边比斜边 , 余弦等于角 A 的邻边比斜边正切等于对边比邻边 , ·三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数：cos + =cos ·-sin ·sin cos - =cos ·cos +sin ·sin sin ± =sin ·cos ± cos ·sin tan + =tan +tan /1-tan ·tan tan - =tan-tan /1+tan ·tan ·三角和的三角函数：sin + + =sin ·cos ·cos +cos ·sin ·cos +cos ·sin ·cos ·sin sin cos + + =cos ·cos ·-cos ·cos sin ·-sin ·cos ·-sin ·sin ·cos tan + + =tan +tan +tan tan ·tan /1 tan -tan ·tan -tan ·tan ·帮助角公式：Asin +Bcos =A2+B21/2sin,其中sint=B/A2+B21/2 cost=A/A2+B21/2 tant=B/A Asin +Bcos =A2+B21/2cos-t,tant=A/B ·倍角公式：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - sin2 =2sin ·cos =2/tan +cot 学习必备欢迎下载cos2 =cos2-sin2 =2cos2 -1=1- 2sin2 tan2 =2tan /1-tan2 ·三倍角公式：sin3 =3sin -4sin3 cos 3 =4cos3 -3cos ·半角公式：sin /2= ± 1-cos /2 cos /2= ± 1+cos /2 tan /2= ± 1-cos /1+cos =sin /1+cos =1-cos /sin ·降幂公式sin2 =1-cos2 /2=versin2 /2 cos2 =1+cos2 /2=covers2 /2 tan2 =1-cos2 /1+cos2 ·万能公式：sin =2tan /2/1+tan2 /2 cos =1-tan2 /2/1+tan2 /2 tan =2tan /2/1-tan2 /2 ·积化和差公式：sin ·cos =1/2sin + +sin cos ·sin =1/2sin-sin - cos ·cos =1/2cos + +cos sin ·sin =-1/2cos + -cos - ·和差化积公式：sin +sin =2sin + /2cos- /2 sin -sin =2cos + /2sin- /2 cos +cos =2cos + /2cos- /2 cos -cos =-2sin + /2sin- /2 ·推导公式tan +cot =2/sin2 tan -cot =-2cot2 1+cos2 =2cos2 1-cos2 =2sin2 1+sin =sin /2+cos /22 ·其他：名师归纳总结 sin +sin +2 /n+sin +2 *2/n+sin +2 *3/n+ +sin +2 *n第 2 页,共 18 页cos +cos +2 /n+cos +2 *2/n+cos +2 *3/n+ +cos +2 *n-1/n=0 以及- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - sin2 +sin2-2 /3+sin2 +2 /3=3/2 学习必备欢迎下载tanAtanBtanA+B+tanA+tanB-tanA+B=0 三角函数的角度换算 编辑本段 公式一：设 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2k ） sin cos （2k ） cos tan （2k ） tan cot （2k ） cot 公式二：设 为任意角, + 的三角函数值与 的三角函数值之间的关系：sin （） sin cos （） cos tan （） tan cot （） cot 公式三：任意角 与 - 的三角函数值之间的关系：sin （ ） sin cos （ ） cos tan （ ） tan cot （） cot 公式四：利用公式二和公式三可以得到 - 与 的三角函数值之间的关系：sin （） sin cos （） cos tan （） tan cot （） cot 公式五：利用公式一和公式三可以得到 2 - 与 的三角函数值之间的关系：sin （2 ） sin cos （2 ） cos tan （2 ） tan cot （2 ） cot 公式六： /2 ± 及 3 /2 ± 与 的三角函数值之间的关系：sin （ /2 ） cos cos （ /2） sin tan （ /2 ） cot cot （ /2） tan 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载sin （ /2 ） cos cos （ /2） sin tan （ /2 ） cot cot （ /2） tan sin （3 /2） cos cos （3 /2）sin tan （3 /2） cot cot （3 /2 ） tan sin （3 /2） cos cos （3 /2） sin tan （3 /2）cot cot （3 /2 ）tan 以上 k Z 部分高等内容编辑本段 ·高等代数中三角函数的指数表示 由泰勒级数易得 ：sinx=eix-e-ix/2i cosx=eix+e-ix/2 tanx=eix-e-ix/ieix+ie-ix 泰勒绽开有无穷级数,ez=expz 1z/1！ z2/2 ！z3/3 ！ z4/4 ！ zn/n ！ 此时三角函数定义域已推广至整个复数集；·三角函数作为微分方程的解：对于微分方程组 y=-y''y=y'''' ,有通解 Q,可证明Q=Asinx+Bcosx ,因此也可以从今动身定义三角函数；补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数特别三角函数值a 0 30 45 60 90 sina 0 1/2 2/2 3/2 1 cosa 1 3/2 2/2 1/2 0 tana 0 3/3 1 3 None cota None 3 1 3/3 0 双曲函数,其拥有许多与三角函数的类似的性质,二者相映成趣；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载导数公式： tgx 2 secxarcsinx11x21x2 ctgx csc 2xarccosx1sec x sec xtgx1csc x cscxctgxarctgx1 axaxlnax2logaxx1aarcctgx1ln1x2基本积分表：tgxdxlncosxCxdxdxx2 secxdxtgxCCCcos2ctgxdxlnsinxCctgxdxxcsc2xdxsec xdxlnsec xtgxCsin2cscxdxlncscxctgxCsecxtgxdxsecxCdx1arctgxCcscxctgxdxcscxCaxdxaxC2 ax2aaadx1lnxaCln2 xa22 axax2a2shxdxchxCdx1lnaxCchxdxshxC2 ax22 aaxxdxa2lnxdx2arcsinxC22 axaIn2sinnxdx2n cosnn1In2C00a2a2lnxx2a2x2a2dxxx222x2a2dxxx2a2a2lnxx2a2C22a2x2dxxa2x2a2arcsinxC22a三角函数的有理式积分：sinx12u2,cosx1u2,utgx,dx2duu1u221u2一些初等函数：两个重要极限：名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 双曲正弦:shxx eex学习必备lim x 0sinx欢迎下载1x2双曲余弦:chxx exlim x 11xe2 . 7182818284 59045 .e2x双曲正切:thxshxexexchxexexarshxlnxx21）archxlnxx21 arthx1ln1x21x三角函数公式：· 诱导公式：名师归纳总结 · 和差角公式：sincos函数sin cos tg ctg cos2第 6 页,共 18 页角 A -sin cos -tg -ctg 90°-cos sin ctg tg 90°+cos -sin -ctg -tg 180°-sin -cos -tg -ctg 180°+-sin -cos tg ctg 270°-cos -sin ctg tg 270°+-cos sin -ctg -tg 360°-sin cos -tg -ctg 360°+sin cos tg ctg · 和差化积公式：sincossinsinsin2sin2coscoscossinsintgtgtg1sinsin2cos2sin21tgtgcoscoscos2cos22ctgctgctgctgctgsincoscos2sin22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载· 倍角公式：sin22sincos12sin22 cossin2sin33sin4sin 3cos 222 cos1ctg2ctg21cos 343 cos33cos2 ctg3 tgtgtg3tg22 tg13 tg21tg2· 半角公式：sin21cossincos21coscossin22tg21cos1cosctg21cos11cossin1cos1cossin1cos· 正弦定理：aAbBcC2R· 余弦定理：c2a2b22abcosCsinsinsin· 反三角函数性质：arcsinx2arccosxarctgx2arcctgxuvn高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式：1 nkuvnnCkunkvkunkvk1 n2vnnnk0unvnun1 vnn1u2 .k .中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：fbfafba柯西中值定理：fb fafFb FaF当F xx 时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理；曲率：名师归纳总结 弧微分公式：dss1:y2dx,其中ytg化量；s：MM弧长；第 7 页,共 18 页平均曲率：K.从M点到M点,切线斜率的倾角变M点的曲率：Klim s 0sd 1yy23.ds直线：K0 ;1 a.半径为a 的圆：K- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载定积分的近似运算：bx x bnay 0y 1ynyn1y n1y n24 y 1y 3y n1矩形法：fbabx na1y0y 1梯形法：f2abfbay 0yn2 y 2y 4抛物线法：3 na定积分应用相关公式：功：W F s水压力：F p A引力：F k m 1 m2 2, k 为引力系数rb函数的平均值：y 1f x dxb a ab均方根：1 f 2 t dtb a a空间解析几何和向量代数：名师归纳总结 空间2 点的距离：dM1M2x2x12y2y 12z 2z 12第 8 页,共 18 页向量在轴上的投影：PrjuABABcos,是AB 与u轴的夹角；Prjua 1a2Prja1Prja2ababcosax bxayb yaz bz,是一个数量,两向量之间的夹角：cosax2ax bxaayb ybxaz bzy2bz2ay222b为锐角时,zijkcabaxayaz,cabsin.例：线速度：vwr.b xbyb zaxayaz向量的混合积：abcabcbxbybzabccos,cxcycz代表平行六面体的体积；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载平面的方程：1、点法式：A xx 0Byy0Czz 00,其中n2A ,B ,C,M0x0,y0,z 0mt2、一般方程：AxByCzD03、截距世方程：xyz c1Ax 0By0Cz 0Dab平面外任意一点到该平面的距离：dA2B2C空间直线的方程：xx0yy0zz 0t,其中sm ,n,p ;参数方程：xx0yy0ntmnpzz0pt二次曲面：1、椭球面：x2y2z21q 同号）a2b2c22、抛物面：x22 py2z（,p,2q3、双曲面：y2z21单叶双曲面：x2a2b2c2双叶双曲面：x2y2z2（马鞍面）1a2b2c2多元函数微分法及应用全微分：dzzdxzdyduudxyu ydyyudzxyxz全微分的近似运算：zdzfxx ,y xfx,y多元复合函数的求导法：uzvzfu t,v tdzzdtutvtvzfux ,y,v x ,y zzuzxuxvx当uu x ,y ,vv x ,y 时,vdxvdyduudxudydvxyxy隐函数的求导公式：名师归纳总结 隐函数Fx ,y0,dydxFx y2,ddxyxF xyF xdy第 9 页,共 18 页F2FyFydx隐函数Fx ,y ,z 0,zxF xFy,zyF zF z- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 隐函数方程组：Fx,y ,u ,v 0学习必备F, G欢迎下载F uF vJFFu Gv GGx ,y,u ,v 0G uGv u,vuvu1F,Gv1F,GxJx ,vxJu ,x u1F,Gv1F,GyJy,v yJu ,y 微分法在几何上的应用：空间曲线xt在点Mx0,y0,z 0 处的切线方程：xtx 0yy0zz0y,y0,z 0zz 00yt0t0t0zt在点M处的法平面方程：t0xx0t0yy0t0zz 00如空间曲线方程为：Fx ,y,z0,就切向量TFyFz,FzF x,FxFGx ,y,z0GyGzGzGxGxGyFzx0曲面Fx ,y,z0上一点Mx 0,y0,z0,就：1、过此点的法向量：nFxx0,y0,z 0,Fyx0,y0,z 0,Fzx0,y 0,z02、过此点的切平面方程：Fxx 0,y0,z0xx0Fyx 0,y0,z0yy03、过此点的法线方程：Fxx,x0,z 0Fyy,y0z0Fzz,z0z 0x 0y0x0y 0,x0y0,方向导数与梯度：函数zfx ,y 在一点p x ,y 沿任一方向l的方向导数为：fjf xcosjf ysinl其中为x 轴到方向l的转角；函数zfx ,y 在一点p x ,y 的梯度：grad fx,y fifxysin,为l方向上的它与方向导数的关系是：flgradfx ,ye,其中ecosi单位向量；f是grad fx,y 在l上的投影；l多元函数的极值及其求法：名师归纳总结 设fxx 0,y0fyx0,y00,令：fxxx0,y 0A,fxyx0,y0B,fyyx0,y0C第 10 页,共 18 页0 时,A0,x 0,y 0 为极大值ACB2就：A0,x 0,y 0 为微小值ACB20 时,无极值ACB20 时,不确定- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载重积分及其应用：fx ,ydxdyfrcos,rsinrdrdz2dxdyMyDyx,ydx2x ,ydDD曲面zfx ,y 的面积AD1z2xy平面薄片的重心：xMxDxx,yd,yMx ,y dMx ,ydDx ,ydD平面薄片的转动惯量：对于x轴Ixy2,对于y轴IyD0,0a ,a0 的引力：FD,Fy,Fz,其中：平面薄片（位于xoy 平面）对z 轴上质点MFxFxfx,yxd3,Fyfx ,yyd3,FzfaDx2x,y xd3y2aDx2y2a22Dx222y2a22柱面坐标和球面坐标：xrcoszdFr,z rdrddz ,sindrdvdv柱面坐标：yrsin,fx ,y,zdxdydzzzddrr2sindrdd其中：Fr,zfrcos,rsin,z xrsincos球面坐标：yrsinsin,dvrdrsinzrcos2r,fx,y,zdxdydzFr,r2sindrdddFr,r2重心：x1xdv,y1ydv,0100Mxzdv,其中MMM转动惯量：Ixy2z2dv,Iyx2z2dv,Izx2y2曲线积分：名师归纳总结 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：dtt,t,就：yxtt第 11 页,共 18 页设fx,y在L上连续,L的参数方程为：xytfx,ydsft,t2t2t特别情形：L- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 其次类曲线积分（对坐学习必备欢迎下载标的曲线积分）：设L的参数方程为yx t ,就： t t tQ t,ttdtyP x ,y dxQ x , dyP t,L两类曲线积分之间的关 系：Pdx Qdy P cos Q cos ds,其中 和 分别为L LL 上积分起止点处切向量 的方向角；格林公式： Q P dxdy Pdx Qdy 格林公式： Q P dxdy Pdx QdyD x y L D x y L当 P y , Q x,即：Q P 2 时,得到 D 的面积：A dxdy 1 xdy ydxx y D 2 L·平面上曲线积分与路径 无关的条件：1、G 是一个单连通区域；2、P x , y ,Q x , y 在 G 内具有一阶连续偏导数,且 QP；留意奇点,如 ,0 0 ,应x y减去对此奇点的积分,留意方向相反！·二元函数的全微分求积：在 QP 时,Pdx Qdy 才是二元函数 u x , y 的全微分,其中：x y x , y u x , y P x , y dx Q x , y dy,通常设 x 0 y 0 0； x 0 , y 0 曲面积分：对面积的曲面积分：fx ,y ,z dsfx ,y,z x ,y12 z xx ,y 2 z yx ,y dxdydsDxy对坐标的曲面积分：Px ,y ,z dydzQx ,y,z dzdxR x ,y ,z dxdy,其中：R x ,y ,z dxdyR x ,y,z x ,y dxdy,取曲面的上侧时取正号；DxyP x ,y ,z dydzP xy ,z ,y,z dydz,取曲面的前侧时取正号；DyzQ