2022年高考数学真题分类汇编数列.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载高考真题分类汇编：数列一、挑选题名师归纳总结 1（ 2022 重庆）在等差数列an中,a21 ,a45就an的前 5 项和S = 第 1 页,共 18 页A7 B. 15 C. 20 D. 25 2（2022 浙江）设S 是公差为dd0 的无穷等差数列an的前 n 项和,就以下命题错误的是 A 如 d<0,就数列S n有最大项B如数列S n有最大项,就d<0 C如数列S n是递增数列,就对任意nN*,均有S n0D如对任意nN*,均有S n0,就数列Sn是递增数列3（ 2022 全国）已知an为等比数列,a4a72,5a68,就a 1a10= A 7 B 5 C5D742022 上海 设an1sinn,S na 1a 2an在S 1,S 2,S 100中,正数的个数是n25 A25 B. 50 C. 75 D. 100 5 （ 2022四 川 ） 设 函 数 是fx2xcosx,an公 差 为8的 等 差 数 列 ,fa 1fa2fa 55,就fa 32a 1 a 5= A0 B12C12D132168166（2022湖北）定义在,0 ,0上的函数fx,假如对于任意给定的等比数列an,fa n仍是等比数列, 就称fx为“ 保等比数列函数”,现有定义在0,0 ,上的如下函数：fx x2;fx2x;fx|x;|fxln|x.|就其中是 “保等比数列函数” 的fx 的序号为 ABCD7（2022 安徽）公比为3 2 等比数列an的各项都是正数, 且a3a1116,就log2a 16- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A 4 B 5 优秀学习资料欢迎下载D 7 C 6 8（ 2022 全国）已知等差数列an的前 n 项和为Sn,a5,5S 515,就数列11的前a na n100 项和为 99C99 100D101 100A100B101101二、填空题名师归纳总结 9（ 2022 浙江）设公比为q q >0 的等比数列an的前 n 项和为 Sn如S23 a22 ,第 2 页,共 18 页S 43a 42,就q_.10（2022 四川）记 x 为不超过实数x 的最大整数,例如,2,2.15,13.01；设a 为正整数,数列xnax n 满意 x 1 a , x n 1 x n2 的前 3 项依次为 5,3,2；nN*,现有以下命题：当 a=5 时,数列nx对数列xn都存在正整数k,当nk时总有xnxk;当n1时,xna;1对某个正整数k,如xk1xk,就xna.其中的真命题有_（写出全部真命题的编号）11 2022 全国 数列an满意an11 nan2n,1就an的前 60 项和为 _122022 辽宁 已知等比数列an为递增数列, 且2 a 5a 10,2 a nan25 a n1,就数列an的通项公式an_.13.（2022 江西）设数列an,bn都是等差数列,如a 1b 17,a3b 321,就a5b 5_.14（理科）（2022 重庆）lim nn21n_.5 n15.（理科）（2022 上海）有一列正方体,棱长组成以1 为首项、1 为公比的等比数列,体 2积分别记为V 1,V 2,Vn,就lim n V 1V 2V n_ .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 16. 2022 福建 数列an优秀学习资料欢迎下载S n,就S 2022_的通项公式anncosn 2,1前 n 项和为三、解答题17.（2022 湖北）已知等差数列 a n 前三项的和为3,前三项的积为 8I 求等差数列 a n 的通项公式； 如 a 2 , a 3 , a 1 成等比数列,求数列 | a n | 的前 n 项和18已知数列 a n 的前 n 项和 S n 1 n 2kn k N *, 且 S n 的最大值为 821确定常数 k 求 a n；2求数列 92 2n a n 的前 n 项和 T n .19 2022 四川 已知数列 a n 的前n项和为 S n , 且 a 2 a n S 2 S n 对一切正整数 n 都成立I 求 a 1, a 2 的值；II设 1a 0 , 数列 lg 10 a 1 的前 n 项和为 T ,当 n 为何值时, n T 最大？并求出 T 的最大值a n202022 陕西设 a n 的公比不为 1 的等比数列,其前 n 项和为 S n , 且 a 5 , a 3 , a 4 成等差数列,1求数列 a n 的公比：2证明：对任意 k N , S k 2 , S k , S k 1 成等差数列21.（2022 广东）设数列 a n 的前 n 项和为 S ,满意 2 S n a n 1 2 n 1 1 n N *, 且 a 1 , a 2 5 , a 3成等差数列名师归纳总结 1求a 的值；是等比数列,且a 1b 1,2第 3 页,共 18 页2求数列an的通项公式；3证明：对一切正整数n ,有1113a 1a 2an222.（2022 天津）已知a n是等差数列,其前 n 项和为S n,b na4b 427,S 4b 410.2an10 bnnNI 求数列an与 b n的通项公式；II 记T nanb 1a n1 b 2a n2b 3a 1 b n;证明；T n12- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料an欢迎下载满意：an1a nb n,nN*. 23.（2022 江苏）已知各项为正数的两个数列和b na n 2b n 2（1）设b n11b n,nN*,求证：数列b n2是等差数列；是过两ana n（2）设b n12b n,nN*,且a n是等比数列,求a 和1b 的值 . a n24.（2022 重庆）设数列an的前 n 项和S 满意S n1a2S na 1,其中a20.（ 1）求证：an是首项为 1 的等比数列；（ 2）如a 21,求证：S nna 1a n,并给出等号成立的充要条件. 225.（理科）（2022 全国）函数fxx22x3；定义数列an如下：x 12,xn1点 P（ 4,5）Qn xn,fxn的直线 PQn与 x 轴交点的横坐标；an,（ 1）证明：2xnxn1;3（ 2）求数列xn的通项公式 . 26（理科）（2022 湖南）已知数列an的各项均为正数,记An a 1a2B na2a 3an1,Cn a 3a 4an2,n1 2,a nI 如a 1,1a25 ,且对任意nN*,三个数A n ,B n ,C n 组成等差数列,求数列的通项公式；名师归纳总结 II 证明：数列an是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是：对任意nN*,三个数第 4 页,共 18 页A n,Bn,Cn组成公比为 q 的等比数列- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载参考答案一、挑选题1（ 2022 重庆）在等差数列an中,a21 ,a45就an的前 5 项和S = A7 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】 B 【 解 析 】 因 为a21 ,a45,所 以a 1a5a2a46,所 以 数 列 的 前5 项 和的前 n 项和,就以下命题错S 55a 12a 55 a 22a45615,选 B22（2022 浙江）设S 是公差为dd0 的无穷等差数列an误的是 0A 如 d<0,就数列S n有最大项B如数列S n有最大项,就d<0 C如数列S n是递增数列,就对任意nN*,均有S nD如对任意nN*,均有S n0,就数列Sn是递增数列【答案】 C 【解析】选项C 明显是错的,举出反例：1,0,1,2, 3, 满意数列S n是递增 数列,但是S n0不成立应选C；a72,5a68,就a 1a10= 3（ 2022 全国）已知an为等比数列,a4A 7 B 5 C5D7【答案】 D 名师归纳总结 【 解 析 】 因 为an为 等 比 数 列 , 所 以a5a6,a 4a 78 ,又a4a72,所 以第 5 页,共 18 页a44,a72或a 42 ,a 74.如a4,4a 72解a 18 ,a 10,1a 1a 107;如a42,a74 ,解得a 108,a1,1仍有a 1a 107 ,综上选 D- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 42022 上海 设a n1sinn,优秀学习资料欢迎下载S 1,S 2,S 100中,正数的个数是S na 1a 2a n在n25 B. 50 C. 75 D. 100 A 25 【答案】 D 【解析】当 1 n 24 时,a n 0 , 当 26 n 49 时,a n 0 , 但其肯定值要小于 1 n 24时相应的值,当 51 n 74 时 , a n 0 , 当 76 n 99 时,a n 0 , 但其肯定值要小于51 n 74 时相应的值,当 1 n 100 时,均有 S n 0；5 （ 2022 四 川 ） 设 函 数 是 f x 2 x c o s , a n 公 差 为 的 等 差 数 列 ,82f a 1 f a 2 f a 5 5 , 就 f a 3 a 1 a 5 = 1 2 1 2 13 2A0 BCD16 8 16【答案】 D 【解析】f a 1 f a 2 f a 5 2 a 1 cos a 1 2 a 2 cos a 2 2 a 5 cos a 5 5 ,即 2 a 1 a 2 a 5 cos a 1 cos a 2 cos a 5 5 , 而 a n 是公差为 的等差数8列,代入 2 a 1 a 2 a 5 cos a 1 cos a 2 cos a 5 5 , 即 10 a 3 cos a 3 4cos a 3 cos a 3 cos a 3 cos a 3 5 , 2 cos 2 cos 1 cos a 38 8 4 4 8不是 的倍数,10 a 3 5 , a 3 . f a 3 2a 1 a 5 2 0 2 2 2 2 4 2 413,应选 D166（2022湖北）定义在 , 0 ,0 上的函数 f x , 假如对于任意给定的等比数列 a n , f a n 仍是等比数列, 就称 f x 为“ 保等比数列函数”,现有定义在 0, 0 , 上的如下函数： f x x 2 ; f x 2 x; f x | x ;| f x ln | x .|就其中是 “保等比数列函数” 的 f x 的序号为 A B C D【答案】 C 名师归纳总结 【解析】等比数列性质,2 ananan2na2 a n1,fa nf2an22 a na22a212f2an1;第 6 页,共 18 页nnfanfan22an22an222an1fan1;- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - fanfan2|anan2|.优秀学习资料2欢迎下载|a n1|2fan1;fanfan2ln|a n|ln|a n2|aln|an1| 2f2an1.选 C 16,就log2a 16a3a113 2 等比数列7（2022 安徽）公比为n的各项都是正数, 且A 4 B 5 C 6 D 7 【答案】 B 【解析】a3a 1116a216na 74a 16a 7q932log2a 165.11的前78（ 2022 全国）已知等差数列a的前 n 项和为Sn,a5,5S 515,就数列a na n100 项和为 99C99 100D101 100A100B101101【答案】 A 【 解1析】 由a 515 ,S 515 ,得a 11,d1 ,1所以a n1n1 n,所以11111,又111100 101,选 A a na nn n1nn11111a 1a 2a 100a 1011223100101101二、填空题名师归纳总结 9（ 2022 浙江）设公比为q q >0 的等比数列an的前 n 项和为 Sn如S23 a22 ,第 7 页,共 18 页S 43a 42,就q_.【答案】3 2【解析】将S 23 a2,2S 43a 42两个式子全部转化成用a ,q表示的式子即a 1a 1 q3 a 1 q2q33 a 1 q32,两式作差得：a 1q2a 1q33a 1qq21 ,a 1a 1 qa 1 q2a 1即：2 q2q3,0解之得：q3或q1（舍去）2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载2,2.15,13.01；设10（2022 四川）记 x 为不超过实数x 的最大整数,例如,a 为正整数,数列xnax n 满意 x 1 a , x n 1 x n2 的前 3 项依次为 5,3,2；n;N*,现有以下命题：当 a=5 时,数列nx对数列xn都存在正整数k,当nk时总有xnxk当n1时,xna;1对某个正整数k,如xk1xk,就xna.其中的真命题有_（写出全部真命题的编号）【答案】【解析】当a5时,x 1a5nx 255n,3x 335 3,2故正确；同样验证可522得正确,错误. 满意a11 na2n,1就an的前 60 项和为 _11 2022 全国 数列an【答案】 1830 名师归纳总结 【解析】由an11 nan2n1得,1 n2 n1 2n,1第 8 页,共 18 页an21 na n12n11 n1n1an2n12n1an即a n2an1n2n1 2n,1也有an3an11 n2 n1,2n,3两式相加得anan1an2a n32 1 n4n4,设 k 为整数,就a 4k1a4k2a4k3a4k42 1 4k144 k1 416k10于是S 6014a 4k14k2a4k3a4k414 16k1018305 a n1,就数列anK0K0122022 辽宁 已知等比数列an为递增数列, 且2 a 5a 10,2 a nan2的通项公式an_.【答案】2n【解析】a2a10,a 1q42a1q9,a1q ,anqn,5- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 a na n25 a n1 ,2a n12 q优秀学习资料1欢迎下载解得q2 或q1（舍去）,2nan 25 a nq ,2q25 q ,13.（2022 江西）设数列an,bn都是等差数列,如a 1b 17,a3b 321,就a5b 5_.【答案】 35 【解析】设数列an,b n的公差分别为d,b,就由a3b 321 ,得a 1db 172bd21 ,即2 bd21714 ,所以bd7 ,所以a5b 5a 1b 14 b4735；14（理科）（2022 重庆）lim nn21nn _.5 n【答案】2 5n25 nn【解析】lim n2 n1nlim nn25 n5 nnn25nlim nn255nnlim n1511512n 5n515.（理科）（2022 上海）有一列正方体,棱长组成以1 为首项、 2 1 为公比的等比数列,体积分别记为 V 1 , V 2 , , V n , , 就n lim V 1 V 2 V n _ .【答案】8 .7【解析】由题意可知,该列正方体的体积构成以 1 为首项,1 为公比的等比数列,8V 1 V 2 V n 11 81 1n 87 18 1n , lim n V 1 V 2 V n 87 .816. 2022 福建 数列 a n 的通项公式 an n cosn ,1 前 n 项和为 S n , 就 S 2022 _2【答案】 3018名师归纳总结 【解析】由于函数y6cos2x的周期是 4,所以数列an的每相邻四项之和是一个常数6,第 9 页,共 18 页所以S 202220223018 .4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载三、解答题17.（2022 湖北）已知等差数列an前三项的和为3,前三项的积为8I 求等差数列an的通项公式； 如a2,a3,a 1成等比数列,求数列|an|的前 n 项和解： I 设等差数列an的公差为d 就a2a 1d,a3a 12d,由题意得3 a 13 d,32d8.解得a 12 ,或a 14 ,a 1a 1da 1d,3d3 .所以由等差数列通项公式可得名师归纳总结 an23 n1 3 n5 ,或an43 n1 3 n7.2,故k,4第 10 页,共 18 页故an3n5 ,或an3n7 . 当an3n5时,a2,a 3,a 1分别为 -1,-4,2,不成等比数列；当an3n7时,a2,a3,a 1分别为 -1,2,-4,成等比数列,满意条件故an3 n73 n,7,7n,1 ,23 nn3 .记数列|an|的前 n 项和为S n.当n1时,S 1|a 1|;4当n2时,S 2|1|a2|5 ;当n3时,S nS 2|a3|a 4|an|5337 347 3 n7 5n2223n7 3n211n10.当n2时,满意此式,22综上,Sn32 n,4 11n10 ,n,1n1 .2218已知数列an的前 n 项和S n1n2kn kN*,且S n的最大值为821确定常数k 求a n；2求数列92 an的前 n 项和T n.kn取最大值, 即81k2k21k2n解：1当nk时,Sn1n2N*222从而a nS nS n19nn2,又a 1S 17,所以an9n2221n1 由于b n92ann1,T nb 1b 2b n123n2nn 222 2n 222n1所以T n2 T nT n211122n142122n14nn22n 2nnn2119 2022 四川 已知数列a n的前 n 项和为S n,且a2 anS 2S n对一切正整数n 都成立I 求a1, a2的值；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - II设1a0,数列lg10 a 1优秀学习资料欢迎下载T 的最大值的前 n 项和为T ,当n 为何值时, n T 最大？并求出a n名师归纳总结 解：取n1得a 2a 1s 2s 12 a 1a 2,取n2,得a22a 12 a2,第 11 页,共 18 页2又-,得a2a2a 1a21如a20 ,由知如1a0,如a2,0易知a2a 11由得：a 12,1a 22;2a 112,a 222;2当a 10时,由 1 知,a 12,1a222;当n2时,有22a ns 2s n,22 a n1S 2S n1所以,a n2a n1n2 就a na 12 n1212n1令b nlg10 a 1a n,就nb1lg2n11lg1002n 21所以,数列b n是以1lg2为公差,且单调递减的等差数列2就b 1b 2b 3b 7lg10lg10当n8时,bnb 81lg1001lg10821282所以,n7对,T 取得最大值,且T 的最大值为T 77 b 12b 7721lg2 .2202022 陕西设an的公比不为 1 的等比数列,其前 n 项和为S n,且a5,a3,a4
