2022年高一下圆的方程及直线与圆的位置关系复习练习.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载高一下圆的方程及直线与圆的位置关系复习练习第 45 课 圆的方程【考点指津】把握圆的标准方程、一般方程及参数方程,圆,直线与圆,圆与圆的位置关系的判定方法【学问在线】能依据条件,求出圆的方程,把握点与1（2001 全国高考）过点 A（1, 1）、B（ 1,1）且圆心在直线 x y20 上的圆的方程是（）A （ x3）2（ y1）2 4 B（ x3）2（ y1）24 C（x1）2（ y1）2 4 D（ x1）2（ y1）24 2（2002 全国春季高考） 圆 2x 22y 2 1 与直线 xsin y10（ R, 2k ,kZ）的位置关系是（）A 相交 B相切 C相离 D不确定3x 2y 24kx 2yk0 所表示的曲线是圆的充要条件是（）A 1 4k1 Bk14或 k>1 Ck14或 k1 DkR 4如两直线 y x2a 和 y2xa1 的交点为 P,P 在圆 x 2y 24 的内部,就 a 的取值范畴是5（2000 上海春季高考）集合 A（x,y）|x 2y 2=4,B（x,y）|（x3）2（ y4）2=r 2,其中 r0,如 A B 中有且仅有一个元素,就 r 的值是【讲练平台】例 1 一圆经过 A（4,2）,B（ 1,3）两点,且在两坐标轴上的四个截距和为2,求此圆方程分析 在用待定系数法求圆的方程时,如已知条件与圆心、半径有关,就设圆的标准方程如已知条件与圆心、半径的关系不大,就设圆的一般方程此题设圆的一般方程较简名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载解 设所求圆方程为 x 2y 2Dx EyF=0,圆过 A 、B4D 2EF20 = 0 D3E F10 0 在圆方程中令 y=0 ,得 x 2 DxF=0,设圆在 x 轴上截距为 x 1、 x2 就 x 1x 2 D 令 x = 0 得 y 2EyF=0,设圆在 y 轴上截距为 y 1、 y2,就 y1y 2= E 由题意 D（ E） 2 解得 D 2,E 0,F 12,所求圆的方程为 x 2y 22x120例 2 已知圆和直线 x6y100 相切于（ 4, 1）,且经过点（ 9,6）求圆的方程解设所求圆方程为（xa）2yb2=r2b+1a4 6 由题意（4a）2（ 1b）2r2解得（9a）2（ 6b）2r 2 a 3,b 5,r 2 37 圆方程为（ x3）2y5 2=37点评 相切问题有两特点,一方面是过切点的半径与切线垂直,另一方面切点在圆上,应善于将几何性质转化为数量关系例 3 已知 C：（x 1）2y22=25,直线 l：（ 2m1）x（ m1）y7m40mR（1）求证：不论m 取什么实数时,直线l 与圆恒交于两点；l 的方程（2）求直线 l 被圆 C 截得的线段的最短长度以及这时直线分析 （1）要证明对于任意实数m,直线 l 与圆恒交于两点, 可以利用联立方程组,名师归纳总结 证方程有两组不同的实数解,或利用圆心到直线的距离小于半径,但这些方法运算量都第 2 页,共 18 页比较大,假如能说明直线l 恒过圆内肯定点,直线l 明显与圆 C 有两个不同的交点因- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载此,可以从定点的角度摸索问题,而直线 l 的方程恰好含有一个参数 m,所以 l 为定点线,即 l 必过一个定点,就只需证明这个定点在已知圆内即可（2）由平面几何学问可知,在过圆内肯定点的全部弦中,与定点和圆心的连线垂直的弦为最短解（1）将 l 的方程整理为（xy4） m（2xy7） 0由于对于任意实数m,方程都成立,所以xxyy40 ,x3 ,270 .y1 .所以对于任意实数m,直线 l 恒过定点 P（3,1）,又圆心 C（1,2）,r5,而PC5 5,即 PC r,所以 P 点在圆内,即证（ 2）l 被圆截得弦最短时,lPC由于 kpc21 311 2,所以 k l2,所以 l 的方程为 2xy50 为所求,此时,最短的弦长为 2 255 4 5 例 4 某市气象台测得今年第三号台风中心在其正东 300km 处,以 40km/h 的速度向西偏北 30° 方向移动,据测定,距台风中心250km 的圆形区域内部都将受到台风影响,请你推算该市受台风影响的起始时间与连续时间（精确到分钟）分析需建立坐标系, 由题设：台风中心到达以该市为圆心,y 250km 为半径的圆形区域时,该市将受影响因此,建解立圆的方程求解A 为原点,正东方向为x 轴的正方D H C 以该市所在位置A O B x向建立直角坐标系,开头时台风中心在B（300,0）处,台风中心沿倾斜角为150° 方向直线移动,其轨迹方程为 y33（x300）x300 x2y22 250 内,设射线与圆交于C、D,该市受台风影响时,台风中心在圆就 CA AD 250,所以台风中心到达C 点时,开头影响该市,中心移名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载至 D 点时,影响终止, 作 AH CD 于 H,就 AH AB · sin30° 150,HB 150 3 ,CH =HD = |AC| 2|AH| 2=200, BC 150 3 200,就该市受台风影响的起始时间 t1150 40 320015h ,即约 90 分钟后台风影响该市,台风影响的连续时间 t2200+200 4010（h）,即台风对该市的影响连续时间为 10 小时【知能集成】1圆的标准方程和一般方程都含有三个参数,因此,要具备三个独立已知条件才能确定一个圆 在用待定系数法求圆的方程时,如条件与圆心有关,就一般用标准形式较易；如已知条件与圆心、半径关系不大,就用一般式便利2直线与圆的位置关系有三种：相交、相切和相离从几何角度看,圆心到直线的距离分别小于、等于和大于半径； 从代数角度看, 其对应的方程组分别为：两解、一解和无解3判定两圆的位置关系,通常从圆心距d 与两圆半径R、r（R r）的关系入手：如 d Rr,就两圆外离； 如 d=Rr,就两圆外切； 如 RrdRr,就两圆相交；如 d=Rr,就两圆内切；如【训练反馈】d< Rr,就两圆内含名师归纳总结 - - - - - - -1 圆 x2y22x4y30 上到直线 xy10 的距离为2 的点有（）A1 个B2 个C3 个D4 个2 方程 x 11y12 所表示的曲线是 A一个圆B两个圆C半个圆D两个半圆3 设直线 2xy3 0 与 y 轴的交点为P,点 P 把圆（ x1）2y225 的直径分为两段,就其长度之比为（）A3或3B4或4C7 5或 5D7 6或 64一束光线从点A（ 1,1）动身经x 轴反射到圆C：（x2）2（ y3）21 的最第 4 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 短路程是优秀学习资料欢迎下载5已知三角形三边所在直线的方程为 y0,x 2,xy42 0,就这个三角形内切圆的方程为6（1）圆 C：x 2 y 2 DxEy F0 的外部有一点 P（x 0,y0）,求由点 P向圆引切线的长度（ 2）在直线2xy30 上求一点P,使由 P 向圆 x2y 24x0 引得的切线长长度为最小7已知三角形三边所在直线的方程为 角形外接圆的方程xy2 0,x3y40,x y4 = 0 求三8已知圆 C 与圆 x2y22x0 相外切,并和直线 L：x3 y0 相切于点（3,3 ）,求圆的方程9曲线 x 2 y 2x6y30 上两点 P、Q 满意：（ 1）关于直线 kxy40 对称,（2）OPOQ,求直线 PQ 的方程10已知圆 x 2y 26x4y100,直线 L1： y=kx , L2：3x2y40,x 在什么范围内取值时,圆与 L 1 交于两点？又设 L 1 与 L 2 交于 P,L 1 与圆的相交弦中点为 Q,当 k 于上述范畴内变化时,求证：OP· OQ为定值第 46 课 直线与圆的方程【考点指津】能运用圆的有关性质解决直线与圆的综合问题,把握圆的切线及其求法,圆系及其应用【学问在线】名师归纳总结 1圆x2y21上的点到直线3 x4y250的距离的最小值是（）就A6 B4 C5 D 1 被圆所截弦的中点,2已知圆x22y1 216的一条直径通过直线x2 y30该直径所在的直线方程为（）Dx2y40第 5 页,共 18 页A2 xy50Bx2y0C2 xy30- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3曲线y14x2|x|2优秀学习资料欢迎下载与直线ykx24有两个交点时, 实数 k 的取值范畴是（）PB是 圆A 5,3B5,C1,3D0,51241212344如实数x,y满意x2y22x4y0,就x2 的最大值为5 （ 2002 ·北 京 高 考 ） 已 知 P 是 直 线3x4y80上 的 动 点 ,PA,x2y22x2y10的两条切线, A,B 是切点, C 是圆心,那么四边形PACB 面积的最小值为【讲练平台】例 1 （1）求过点 M（2,4）向圆x12y3 21所引切线方程；（ 2）过点 M（2,4）向圆引两条切线,切点为 切点弦）P、Q,求 P、Q 所在直线方程（简称分析（1）用点斜式设直线方程时,要分斜率存在、不存在两种情形争论；（2）点 M 、圆心 C,切点 P、Q 四点共圆,直线 得公共弦方程PQ 为两圆公共弦,两圆方程相减即名师归纳总结 - - - - - - -解（ 1）设过点 M（2,4）向圆所引的切线为y4kx2 （倾斜角2）即kxy2k40,d|k32k4|,1k24切线为24x7y200,当21k27时,仍有切线x2过点 M 得切线为24x7y200及x2（2）设 P（x,y）为切点,圆心C,13 ,就|CP2 |PM|2|CM2即1x22y4221 2432即x2y24x8y290又p x ,y 为圆上的点,x12y321即x2y22x6y90得2 x14y380即x7y190说明： 也可以作以M 点为圆心,| MP 为半径的圆, 它的方程是：x22y4249,又x12y3 21,整理得x7y190,就是所求的切点弦方程例 2 已知两圆C1:x2y22x10y240,C2:x2y22x2y80,第 6 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载（1）求两圆公共弦的长；（2）求以公共弦为直径的圆的方程分析（1）先求出公共弦所在直线方程,再利用半径、圆心到直线距离、弦长之半构成的直角三角形求解；（ 2）求出圆心、半径；也可用经过两圆交点的圆系方程求解解（1）两圆方程相减得 x 2 y 4 0,此即公共弦所在直线方程,又圆 C 2的圆心 C 2 ,1 1 到公共弦的距离 d | 1 2 4| 5,且 d 2 L 2r 2 2 l 为公共弦长） ,5 2L 2 r 2 2d 22 5,即公共弦长为 2 5（ 2）方法一：连心线 C 1C 2 的方程为 2 x y 3 0,它与公共弦的交点（2,1）即为所求圆的圆心,又所求圆半径为 L5,圆方程为 x 2 2 y 1 2 52方法二：由于所求圆经过两圆交点,设圆方程为2 2 2 2 x y 2 x 10 y 24 x y 2 x 2 y 8 0即 1 x 2 1 y 2 2 2 x 2 10 y 8 24 0 其圆心为 1 , 5 1 1圆心在公共弦 x 2y 4 0 上,1 10 2 4 0,解得：3,代入并整1 1理得所求圆方程为 x 2y 2 4 x 2 y 0例 3 （1997· 全国高考）设圆满意：截 y 轴所得弦长为 2；被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 31,在满意条件的全部圆中,求圆心到直线 l : x 2 y 0 的距离最小的圆的方程名师归纳总结 分析要求圆的方程,只需利用条件求出圆心坐标和半径,然后便可写出第 7 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载圆的方程的标准式满意条件的圆有很多多个,其圆心的集合可看作动点的轨迹,如能求出这轨迹的方程,便可利用点到直线的距离公式,通过求条件最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标,进而又可确定圆的半径解 方法一：设圆的圆心为 P a , b ,半径为 r ,就点 P 到 x 轴, y 轴的距离分别为 | b |, | a |由题设知圆 P 截 x 轴所得劣弧所对的圆心角为 90 o,知圆 P 截 x 轴所得的弦长为 2 ,故 r 22b 2又点 P a , b 到直线 x 2 y 0 的距离为 d | a 2 b |,所以52 2 2 2 2 2 2 2 2 25 d a 2 b a 4 b 4 ab a 4 b 2 a b 2 b a 1,当且仅当 a b 时上式等号成立,此时 5 d 21,从而 d 取得最小值由此有2 b 2 aa b21,解得 ab 1 1 或 ab 11由于 r 22b 2所以 r 2于是,所求圆的方程为 x 1 2 y 1 2,2 或 x 1 2 y 1 22方法二：同解法 1,得 d | a 2 b |,所以 a 2 b 5 d , a 24 b 24 5 bd 5 d 25将 a 22 b 21 代入式, 整理得 2 b 24 5 bd 5 d 21 0 把它看做关于 b 的二次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即 8 5 d 21,得 5 d 21可见 5d 有最 2小值 1,从而 d 有最小值 5 将其代入式得52 2 2 2 22 b 4 b 2 ,0 b 1r 2 b 2 , a r 1 ,1 所以 a 1由 | a 2 b | 1 知 a, b 同号于是所求圆的方程是 x 1 2 y 1 2 ,2 或 x 1 2 y 1 2 22方法三： 同解法 1,由 a 21 2 b 2,得 ba 21,令 a tan , b 2 sec,代入 p1 22名师归纳总结 点到直线x2y0的距离公式d|a2b|1sin2s令55co第 8 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - tsin2,sintcos2优秀学习资料欢迎下载sin2,其中,即12tcossin1tt2,cos11t2因 为s i n 1221,所 以1t2,2t21.因 此要用td5,当| t|1时取等号5当t1时,sincos2,sin41,取3；4当t1时,sincos2,sin41,取4；解出a,1b,1r2,或a1,b,1r2因此所求圆的方程为x12y122,或x12y1 22点评该题给出的三个条件新奇脱俗,但思路却是基本的,方法也是基础的,好这些条件, 必需综合而敏捷地运用平面几何、化,充分表达了“ 才能立意” 高考命题方向【知能集成】解析几何、 代数等学问,将所给条件转1在直线与圆的位置关系中,直线与圆相切时求切线,相交时求弦长是两个重点内容求切线的方法比较多,一般来说, 假如已知切点的坐标求圆的切线,就直接利用公式比较简洁, 其他情形就利用圆心到直线距离等于圆半径的性质来求解比较简洁；而运算弦长时,通常用半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形求解较简洁当然,弦长公式1k2|x 1x 2|也是不行忽视的一种方法2解与两相交圆的公共弦、两相交圆的交点的问题时,要留意利用圆系方程的有关性质求解,从而防止复杂的运算【训练反馈】名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1假如M2,m,N,41 ,P,53优秀学习资料欢迎下载m 的值是（）3,Q63,四点共圆,就名师归纳总结 - - - - - - -A 1 B3 C5 D 7 2如圆x32y52r2上有且只有两个点到直线4x3y2的距离等于1,就半径r 的取值范畴是（）A （4,6）B,46 C46,D4,6 3假如实数x,y满意等式x12y23,那么y 的最大值是（x）1 A 2B3C3D3324已知圆x2y2R2,就被此圆内一点A a,b（a,b不同时为0）平分的弦所在的直线方程为5已知直线x2y30交圆x2y2x6yF0于点P,Q, O 为坐标原点,且OPOQ,就 F 的值为6由点A ,3 3 发出的光线l 射到 x 轴上,被x 轴反射,如反射光线所在直线与圆x2y24x4y70相切,求光线l 所在直线的方程7 已知 圆上的 点A 2 ,3关 于直 线x2y0的 对称 点仍 在这 个圆 上, 且与 直线xy10相交的弦长为22,求圆的方程8已知圆C的方程是x2y124,圆 C 的圆心坐标为（2, 1）,如圆 C 与圆 C交于A,B两点,且| AB|22,求圆 C 的方程9圆M:2x22y28x8y10,直线l:xy90,过 l 上一点 A 作 ABC ,使 AB边过圆心 M ,点B,C在圆 M 上,且BAC4,求：第 10 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）点 A 横坐标a4优秀学习资料欢迎下载时的直线 AC 的方程；（2）点 A 横坐标 a 的取值范畴单元练习七 （直线与圆）（总分 100 分,测试时间 100 分钟）一、挑选题：本大题共 12 个小题,在每道题给出的四个选项中,只有一个是符合题目 要求的名师归纳总结 - - - - - - -1直线 L 沿 y 轴正方向平移m 个单位（ m0,m1）,再沿 x 轴负方向平移m1 个单位得直线 L,如 L 与 L重合,就直线L 的斜率为（）A1mBm 1C1mDm1mmmm2两条直线3 x2ym0和m21 x3y23m0的位置关系是（）A平行B相交C重合D与 m 有关3已知两直线a 1xb 1y10和a2xb2y10的交点是P ,23,就过两点Q 1 a1,b 1、Q 2a2,b 2的直线方程是（）A3x2y0B2x3y50C2x3 y10D3x2y104曲线C:fx,y0关于直线xy20对称的曲线C的方程为（）Afy2 ,x0Bfx,2y 0Cfy,2y 0Dfy2 ,x2 05把直线y3x绕原点逆时针方向旋转,使它与圆x2y223x2y30相切,3就直线转动的最小正角是（）A3B2C2D5366倾斜角为60o,且过原点的直线被圆xa2yb2r2r0 截得的弦长恰等于圆的半径,就a、b、r满意的条件是（）A3r|3ab|b3aB3r2|3ab|b3aC3 r|3ab|b3aD3r2|3ab|b3a7设点（x0, y0）在圆x2y2r2的外部,就直线x0xy0yr2与圆的位置关系是 （）A相交B相切C 相离D不确定8给出以下四个命题,其中是真命题的为（）角肯定是直线yxtanb的倾斜角；第 11 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载点 a , b 关于直线 y 1 的对称点的坐标是 a , 2 b ；与坐标轴距离相等的点的轨迹方程是 x y 0；直线 Ax By 0 与圆 x 2y 2Ax By 0 相切A （1）、（2）B（3）、（4）C（1）、（3）D（2）、（4）2 29直线 y=2xm 和圆 x y 1 交于 A、B 两点,以 ox 轴为始边, OA 、OB 为终边的角为、,就 sin 为（）4 4A关于 m 的一次函数 BC关于 m 的二次函数 D5 510以点 A 0,3 、B ,0 3、C 15, 24 为顶点的三角形与圆 x 2y 2R 2 R 0 没有公共7 7点,就圆半径 R 的取值范畴是（）A 0 , 3 10 3 89 , B 3 10 , 3 89 C ,0 2 2 ,3 D 2 2 , 3 10 7 10 7 3 32 211过圆 x y 4 外一点 M 4 , 1 引圆的两条切线, 就经过两切点的直线方程为 A 4 x y 4 0 B4 x y 4 0 C4 x y 4 0 D4 x y 4 02 2 61 2 2 112已知圆 x y x 2 y,圆 x sin y 1 ,其中 0 90,就两16 16圆的位置关系为（）A相交 B外切 C内切 D相交或外切二、填空题：本大题共 4 小题,把答案填在题中横线上13如点 P a , b 与点 Q b ,1 a 1 关于直线 l 对称,就直线 l 的方程是y 314如 A x , y | ,2 x , y R ,B x , y | 4 x ay 16 , x , y R ,如 A B=x 1,就实数 a 值为15 设 P x , y 是圆 x 2y 28 x 6 y 16 0 上一点,就 y 的最大值是x2 2 2 216已知两圆 x y 10 x 10 y 0 和 x y 6 x 2 y 40 0,就它们的公共弦长为三、解答题：本大题共 6 小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知 O 为坐标原点,点 如 OPA 为锐角,求点A 的坐标为（ 4,2）,P 为线段 OA 垂直平分线上的一点,P 的横坐标 x 的取值范畴名师归纳总结 - - - - - - -18已知过点A（1,1）且斜率为 mm>0 的直线与 x,y 轴分别交于P、Q,过 P、Q 作直线2xy0的垂直平分线,垂足为R、S,求四边形PRSQ 的面积的最小值19某承包户承包了两块鱼塘,一块预备放养鲫鱼,另一块预备放养鲢鱼,现知放养这第 12 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载两种鱼苗时都需要鱼料A、B、C,每千克鱼苗所需饲料量如下表：鱼料 A 鱼料 B 鱼料 C 鲫鱼（每千克）15 克5 克8 克鲢鱼（每千克）8 克5 克18 克假如这两种鱼长到成鱼时,鲫鱼和鲢鱼分别是当时放养鱼苗重量的30 倍与 50 倍,目前这位承包P O C y x 户只有鱼饲料A、B、C 分别为 120 克、 50 克、R 144 克,问如何放养这两种鱼苗,才能使得成鱼的重量最重Q 20如图,圆C 通过不同的三点P（ K, O）、Q（2,0）、R（0,1）,已知圆 C 在点 P 的切线斜率为1,试求圆 C 的方程21已知与曲线C:x2y22x2y10相切的直线l 交 x 轴, y 轴于 A、B 两点, O为原点,且 |OA|=a ,|OB|=b（a>2,b>2）（ 1）求证：曲线C 与直线 l 相切的条件是（a2）（b2）=2；（ 2）求线段 AB 中点的轨迹方程；（ 3）求 AOB 面积的最小值22设数列 a n 的前 n 项和 s =nann1b n=1 、2 , a、b 是常数且 b 0（ 1）证明 a n 是等差数列；sn（ 2）证明以（a ,1）为坐标的点 P n=1、2 都落在同一条直线上,并写 n出此直线方程；（ 3）设 a=1,b=1 ,C 是以（ r,r）为圆心, r 为半径的圆（ r>0）,求使得点 2P 、P 、P 都落在圆 C 外时, r 的取值范畴第 45 课圆的方程【学问在线】名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1C 2 C 3D 优秀学习资料欢迎下载41 5a1 5 3 或 7 【训练反馈】1C 2 D 3A 44 5x3 2+y1 2=1. 6（1）切点、圆心及点 P 三点连线 可 构 一 个 RT , 其 中 切 线 是 一 条 直 角 边 , 利 用 勾 股 定 理 可 得 切 线 长 x 0 2+y 0 2+Dx