2022年高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - y22px名师总结2优秀知识点x22pyx22pyy2px抛l (pF )0x F (p0 )x (p0 )x (p0 )l y y O l y F y 物O O x 线O F l 定义范围对称性焦点平面内与一个定点F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。MMF=点 M到直线 l 的距离 x0,yRx0,yRxR y0xR y0关于 x 轴对称关于 y 轴对称(p ,0) 2(p ,0) 2(0,p ) 2(0,p ) 2焦点在对称轴上顶点xx 1ppO(0,0)AFyppe=1 离心率准线xpyp2222方程准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。顶点到准AFpy 1线的距离2焦点到准p线的距离焦半径AFx 1pAFy 1pA x 1,y 1)2222焦 点弦名师归纳总结 长(x 1x 2)p(x 1x 2)p(y 1y2)p(y 1y2)p第 1 页，共 22 页AB- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结o优秀知识点yA x y 1Fx B x 2,y 2焦点弦AB 的几条性质以 AB 为直径的圆必与准线 l 相切，则ABp y2pA x 1 ,y 1)若 AB 的倾斜角为，则AB2p若 AB 的倾斜角为B x 2,y2)sin2cos2切线x x2p2y y 2p 2x x 0y0)411AFBFAB2AFBFAFBFAFBFpy yp xx 0)y y 0p xx 0)x xp yy0)方程一直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，消 y 得：（1）当 k=0 时，直线 l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当 k 0 时， 0，直线 l 与抛物线相交，两个不同交点； =0， 直线 l 与抛物线相切，一个切点； 0，直线 l 与抛物线相离，无公共点。（3）若直线与抛物线只有一个公共点, 则直线与抛物线必相切吗 ?（不一定）名师归纳总结 二关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法x 1x2,x 1x 2，还可进一步求出第 2 页，共 22 页直线 l ：ykxb抛物线，( p0)联立方程法：ykxbk2x22(kbp)xb202 y2px设交点坐标为A (x 1y 1),B(x 2y2)，则有0 , 以及- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y 1y2y 2(kx 1bbkx 2bbkk(x 12x 2)名师总结2)优秀知识点，2 by 1kx 1)(kx 2)2x 1xkb (x 1x2 b在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如1.相交弦 AB的弦长1k2(x 1x 2)24x 1x 21k22aaAB1k2x 1x 2或AB11y1y211(y 1y2)24y 1y21kk2k2b. 中点M(x0y0), x0x 12x2，y 0y 12y2点差法：)，B(x 2y2)，代入抛物线方程，得设交点坐标为A (x 1y 12 y 12px 1y222 px 2将两式相减，可得( y 1 y 2 )( y 1 y 2 ) 2 p ( x 1 x 2 )y 1 y 2 2 px 1 x 2 y 1 y 2a. 在涉及斜率问题时，k AB 2 py 1 y 2b. 在 涉 及 中 点 轨 迹 问 题 时 ， 设 线 段 AB 的 中 点 为 M ( x 0y 0 )，y 1 y 2 2 p 2 p p，x 1 x 2 y 1 y 2 2 y 0 y 0即 k AB p，y 0同理，对于抛物线 x 2 2 py ( p 0 )，若直线 l 与抛物线相交于 A、B 两点，点 M ( x 0y 0 )是弦 AB 的中点，则有 k AB x 1 x 2 2 x 0 x 02 p 2 p p（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 名师总结优秀知识点第 4 页，共 22 页抛物线练习及答案1、已知点 P 在抛物线 y 2 = 4x 上，那么点P 到点 Q（2， 1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为。（1,1）42、已知点 P 是抛物线y22x 上的一个动点，则点P 到点（ 0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为。1723、直线yx3与抛物线y24x 交于A B 两点，过A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P Q ，则梯形 APQB 的面积为。 484、设 O 是坐标原点，F 是抛物线y22px p0)的焦点， A 是抛物线上的一点，FA 与 x 轴正向的夹角为 60 ，则 OA 为。5、抛物线y24x 的焦点为 F ，准线为 l ，经过 F 且斜率为3 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点 A ， AKl，垂足为 K ，则AKF的面积是。 4 36、已知抛物线C:y28x 的焦点为 F ，准线与 x 轴的交点为 K ，点 A 在 C 上且AK2AF ，则AFK 的面积为。 87、已知双曲线x2y21，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程45为。8、在平面直角坐标系xoy 中，有一定点A (2,1),若线段 OA的垂直平分线过抛物线y22px p0)则该抛物线的方程是。9、在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点 P(2，4)，则该抛物线的方程是。y28x10、抛物线yx 上的点到直线 24 x 3 y 8 0 距离的最小值是。43y 2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x 1,y1),B(x 2,y2)两点，则y12+y22 的最小11、已知抛物线值是。 32 12、若曲线2 y | x |1 与直线 y kx b 没有公共点，则k 、 b 分别应满足的条件是。 k =0,-1< b <1 13、已知抛物线y-x2+3 上存在关于直线x+y=0 对称的相异两点A 、B，则 |AB| 等于（）CA.3 B.4 C.32D.42- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 14、已知抛物线y22px p名师总结优秀知识点0)的焦点为 F ，点P x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P x 3，y 3)在抛物线上，且2 x 2x 1x ， 则有（） FP 1FP 2FP 3FP 12FP 22FP 322 FP 2FP 1FP 3FP 22FP 1·FP 315、已知点A x y 1),B x 2,y2)(x x 20)是抛物线y22px p0)上的两个动点 ,O 是坐标原点 ,向量 OA ,OB 满足 OAOBOAOB .设圆 C 的方程为x2y2(x 1x 2)x(y 1y2)y0。(1) 证明线段 AB 是圆 C 的直径 ; (2)当圆 C 的圆心到直线x-2y=0 的距离的最小值为2 5时，求 p 的值。x 1x2y 1y20，5解：(1)证明 1: OAOBOAOB,(OAOB)2(OAOB)2，OA22 OA OBOB2OA22 OA OB2 OB ，整理得 : OA OB0，设 M(x,y) 是以线段 AB 为直径的圆上的任意一点,则MA MB0，y 2)y0，即(xx 1)(xx2)(yy 1)(yy2)0，整理得 :x2y2(x 1x 2)x(y 1故线段 AB 是圆 C 的直径。证明 2: OAOBOAOB,(OAOB)2(OAOB)2，x0，OA22 OA OBOB2OA22 OA OB2 OB ，整理得 : OA OBx 1x 2y 1y 20 .(1)2)，设(x,y) 是以线段 AB 为直径的圆上则即yy2yy 11(xx xxx2xx 1去分母得 : (xx 1)(xx2)(yy 1)(yy2)0，点(x y 1),(x 1,y2),(x 2,y 1)(x 2,y2)满足上方程 ,展开并将 (1) 代入得 : x2y2(x 1x2)x(y 1y2)y0，故线段 AB 是圆 C 的直径。名师归纳总结 证明 3: OAOBOAOB,(OAOB)2(OAOB)2，第 5 页，共 22 页OA22 OA OBOB2OA22 OA OB2 OB ，整理得 : OA OB0，x 1x 2y 1y 20 (1)- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀知识点以线段 AB 为直径的圆的方程为(xx 12x2)2(yxy 12y2)2x 11(x 1x2)2(y 1y22 ) ，4展开并将 (1) 代入得 :2y2(x2)x(y 1y2)y0，故线段 AB 是圆 C 的直径 (2)解法 1:设圆 C 的圆心为 C(x,y), 则xx 12x 2px 2(p0)，x x 2222 y y 22，又因x 1x 2y 1y20，42 p ，yy 12y22 y 12px 1,y 2224p2x 1x 2y 1y ，y 1y 22 y y22，x 1x 20,y 1y20，y 1y 24p2xx 12x21(2 y 1y 22)1(y 12y2y y 2)y y 21 ( py22p2)，4p4p4p所以圆心的轨迹方程为y2px22 p ，设圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则d|x2y|1(y22p2)2y|y22py2p2|. |(yp )22 p|，p5p5p2 55pp25p当 y=p 时,d 有最小值,由题设得，555解法 2: 设圆 C 的圆心为 C(x,y), 则名师归纳总结 xxx 12x 2,y 2222px 2(p0)，x x222 y y22，又因x 1x2y 12y220，x 1x2y 1y ，第 6 页，共 22 页yy 12y22 y 12px 14p2y 1y22 y y 2，x 1x 20,y 1y20，y 1y242 p ，p2)，4p2(x 1x21(2y y 2)y y 21 ( py12 y 1y 22)y 12y224p4p4p- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点2，因为 x-2y+2=0 与y2px22 p 无公所以圆心的轨迹方程为y2px22 p ，,则m设直线 x-2y+m=0 到直线 x-2y=0 的距离为2 5 5共点 , 所以当 x-2y-2=0 与y2pxp22 p 仅有一个公共点时p,该点到直线x-2y=0 的距离最小值为2 5524(2p22 )0，p0x2y20(2)2 ypx22 p(3)222p0，4将(2)代入 (3)得y22pyp2.解法 3: 设圆 C 的圆心为 C(x,y), 则xx 12x 2yy 12y2圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则d|x 12x 2(y 1y 2) |2 y y22，又因x 1x2y 1y20，x 1x2y 1y ，52 y 12px 1,y 222px 2(p0)，x x24p2y 1y22 y y 22，x 1x 20,y 1y20，y 1y242 p ，4p2d|1(2 y 1y 22)(y 1y 2) |y 12y222y y24 ( p y 1y 2)8p2|4p5p4 5p(y 1y 22 2 )42 p，4 5p2 5，p2. 当y 1y22p 时,d 有最小值p,由题设得5552px p0),且 C1、C2的公共弦 AB 过椭圆 C116、已知椭圆C1:2 xy21,抛物线 C2:(ym )243的右焦点 . 名师归纳总结 (1)当 AB x 轴时 ,求 m 、 p 的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB 上；第 7 页，共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - (2)是否存在 m 、 p 的值，使抛物线名师总结优秀知识点m 、 p 的C2的焦点恰在直线AB 上？若存在， 求出符合条件的值；若不存在，请说明理由. 解：（1）当 AB x 轴时，点 A 、B 关于 x 轴对称，所以m0，直线 AB 的方程为 x=1 ，从而点 A名师归纳总结 的坐标为（ 1，3 ）或（ 1，23 ）. 因为点 A 在抛物线上，所以 292p，即p9. 此时 C2的焦x 48点坐标为（9 ，0），该焦点不在直线 16AB 上. （2）解法一当 C2的焦点在 AB 时，由（）知直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为yk(x)1. yk(x)1由x2y21消去 y 得(34k2)x28k2x4k2120. y 43设 A、B 的坐标分别为（x 1,y1） , （x 2,y2）, A 则 x 1,x2 是方程的两根，x1x238 k22. O 4k因为 AB 既是过 C1 的右焦点的弦，又是过C2 的焦点的弦，所以AB(21x 1)(21x2)41(x 1x2)，且B 222AB(x 1p)(x2p)x 1x 2p . 22从而x 1x2p41(x 1x2). 2所以x 1x246p，即38k2246p. 34k3解得k2,6即k6. 因为 C2 的焦点F(2,m )在直线yk(x1 )上，所以m1k. 33即m6或m6. 33当m6时，直线 AB 的方程为y6 x)1；3当m6时，直线 AB 的方程为y6 x)1. 3解法二当 C2 的焦点在 AB 时，由（）知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为yk(x)1. 由(ym )2)18x消去 y 得( kxkm )28x. 33yk(x因为 C2 的焦点F(2,m )在直线yk(x1 )上，3所以mk(2)1，即m1k.代入有(kx2k)28x. 3333第 8 页，共 22 页即k2x24(k2)2x4 k20. 39设 A、B 的坐标分别为（x 1,y1） , （x 2,y2）, - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 名师总结优秀知识点第 9 页，共 22 页则 x 1,x2 是方程的两根，x1x24(k222). 3kyk(x)1由x2y21消去 y 得(34k2)x28k2x4k2120. 43由于 x 1,x2 也是方程的两根，所以x1x238 k22. 4k从而4(k222)38k22. 解得k26,即k6. 3k4 k因为 C2 的焦点F(2,m )在直线yk(x1 )上，所以m1k. 33即m6或m6. 33当m6时，直线 AB 的方程为y6 x)1；3当m6时，直线 AB 的方程为y6 x)1. 3解法三设 A、B 的坐标分别为（x 1,y1）, （ x2,y2）, 因为 AB 既过 C1 的右焦点F( ,10 )，又是过 C2 的焦点F(2,m )，3所以AB(x1p)(x2p)x 1x2p(21x 1)(21x 2). 2222即x 1x22(4p)16. 39由（）知x 1x2，于是直线AB 的斜率ky 2y 1m03m， x 2x 1213且直线 AB 的方程是y3 m (x)1, 所以y1y23 m (x 1x22 )2m. 3又因为3 x2 14y2 112，所以3 (x1x2)(4y 1y2)y2y 10. 3 x2 24y2 212x2x 1将、代入得m22，即m6或m6. 333当m6时，直线 AB 的方程为y6 x)1；3当m6时，直线 AB 的方程为y6 x)1. 317、如图，倾斜角为a 的直线经过抛物线y28x的焦点 F，且与抛物线交于A 、B 两点。- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1）求抛物线的焦点F 的坐标及准线名师总结优秀知识点l 的方程；（2）若 a 为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交 x 轴于点 P，证明 |FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。（1）解：设抛物线的标准方程为y22px，则2 p8，从而p4 .因此焦点F(p, 0)的坐标为（ 2，20）. 又准线方程的一般式为xp。从而所求准线l 的方程为x2。2答（ 21）图（2）解法一：如图（21）图作 AC l，BDl，垂足为 C、D，则由抛物线的定义知|FA|=|FC|,|FB|=|BD|. 记 A、B 的横坐标分别为x xx z，则 |FA| |AC|x xp|FA|cosapp|FA|cosa4解得222|FA|14a，cos类似地有|FB|4|FB|cosa，解得|FB|14a。cos记直线 m 与 AB 的交点为 E，则名师归纳总结 |FE|FA|AE|FA|FA|2|FB|1(|FA|FB|)a1444cosa，)。第 10 页，共 22 页221cosa1cosasin2a所以|FP|FE|4a。故|FP|FP|cos2a4cos2a)·42sin2a( 18。cosasin2sin2sin2a解法二：设A (xAyA)，B(xByB)，直线 AB 的斜率为kAtana，则直线方程为yk(x2xBk(k222 )。将此式代入y28x,得k2x24 (k22)x4 k20，故xk记直线 m 与 AB 的交点为E(xEyE)，则- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀知识点x E x A2 x B 2 ( kk 22 2 )，y E k ( x E )2k 4，故直线 m 的方程为 yk 4 1k x 2 kk 22 4. 2 2令 y=0,得 P 的横坐标 x P 2 k2 4 4 故 | FP | x P 2 4 ( k2 )1 42。k k sin a2从而 | FP | | FP | cos 2 asin 42 a ( 1 cos 2 a )·4sin 2 sin2 a a 8 为定值。218、已知正三角形 OAB的三个顶点都在抛物线 y 2 x 上，其中 O为坐标原点， 设圆 C 是 OAB 的内接圆（点 C 为圆心）（1）求圆 C 的方程；名师归纳总结 （2）设圆 M 的方程为(x47cos)2(y7cos)21，过圆 M 上任意一点 P 分别作圆 C 的第 11 页，共 22 页两条切线 PE，PF，切点为 E，F，求 CE CF的最大值和最小值（1）解法一：设A，B两点坐标分别为2 y 1，y 1，y2 2，y 2，由题设知222 y 122 y 2y 1222 y 22 y 12 y 22(y 1y2)22222解得2 y 1y212，所以A (6 2 3)，B(6，2 3)或A (6，2 3)，B(6 2 3)2设圆心 C 的坐标为 (r， ，则r264，所以圆 C 的方程为(x4)2y2163解法二：设 A，B两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y2)，由题设知2 x 12 y 1x22 y 又因为2 y 12x ，y22x ，可得2 x 12x 12 x 22x 即22(x 1x 2)(x 1x 22)0由x 10，x20，可知x 1x ，故 A，B两点关于 x 轴对称，所以圆心 C 在 x 轴上 设 C 点的坐标为 ( 0) r， ，则 A点坐标为3r，32r，于是有3r223r，222解得r4，所以圆 C 的方程为(x4)2y216（2）解：设ECF2 a ，则CE CF|CE| |CF| cos216cos 232cos216在 RtPCE中，cos|x|4|，由圆的几何性质得PCPC|PC|MC|1718 ， |PC|MC| 1716，所以1 28cos2，由此可得8CE CF16则 CE CF 的最大值为16，最小值为39919、若 A、B 是抛物线 y2=4x 上的不同两点，弦AB （不平行于y 轴）的垂直平分线与x 轴相交于- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀知识点点 P，则称弦 AB 是点 P 的一条 “ 相关弦 ” .已知当 x>2 时，点 P（ x,0）存在无穷多条“ 相关弦 ” .给定x0>2. （1）证明：点 P（x 0,0）的所有 “相关弦 ”的中点的横坐标相同；（2）试问： 点 P（x0,0）的“相关弦 ”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值 （用 x0表示）：若不存在，请说明理由 . 解: （1）设 AB 为点 P（x 0,0）的任意一条 “相关弦 ”，且点 A、B 的坐标分别是（x 1,y1）、（x2,y2）（x1 x2）,则 y 21=4x 1, y 22=4x 2,两式相减得（ y1+y 2）（ y1-y 2）=4（x 1-x 2）.因为 x1 x2,所以 y1+y 2 0.设直线 AB 的斜率是 k，弦 AB 的中点是 M（x m, y m）,则 k= y 1 y 2 4 2. x 1 x 2 y 1 y 2 y m从而 AB 的垂直平分线 l 的方程为 y y m y m( x x m ).2又点 P（x 0,0）在直线 l 上，所以 y m y m ( x 0 x m ).2而 y m 0, 于是 x m x 0 2. 故点 P（x0,0）的所有 “ 相关弦 ”的中点的横坐标都是 x 0-2. 2(2)由(1) 知，弦 AB 所在直线的方程是 y y m k x x m )，代入 y 4 x 中，2 2 2整理得 k x 2 ( k y m kx m ) 2 x ( y m kx m ) 0.（·）2则 x 1、x 2 是方程（ ·）的两个实根，且 x 1 x 2 ( y m kx2 m ) .k设点 P 的“ 相关弦 ” AB的弦长为 l，则l