2022年高三高考数学国步分项分类题及析答案一四.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载高三高考数学国步分项分类题及析答案一四3-3 导数的实际应用基础巩固强化1.文正三棱柱体积为 V,就其表面积最小时, 底面边长为 A. 3 V B.3 2V C.3 4V D23 V答案 C 解析 设正三棱柱底面边长为 a,高为 h,就体积 V4 a 3 2h,h4V 3a 2,表面积 S2 a 3 23ah2 a 3 24 3V a,由 S3a4 3V a 2 0,得 a3 4V,应选 C. 理在内接于半径为 R 的半圆的矩形中,周长最大的矩形的边长名师归纳总结 为 第 1 页,共 27 页2A. R 2和3 2RB. 5 5 R 和4 5 5 RC.4 5R 和7 5RD以上都不对答案 B 解析 设矩形垂直于半圆直径的边长为x,就另一边长为R 2x 2,就 l2x4R 2x 20xR,l24x R 2x 2,令 l0,解得 x5 5 R. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当 0x5 5 R 时,l优秀学习资料欢迎下载0. 0；当5 5 RxR 时,l所以当 x5 5 R 时,l 取最大值,即周长最大的矩形的边长为5 5 R,4 5 5 R. 2已知某生产厂家的年利润y单位：万元 与年产量 x单位：万件的函数关系式为 y1 3x 381x234,就使该生产厂家猎取最大年利润的年产量为 A13 万件 B11 万件C9 万件 D7 万件答案 C 解析 y1 3x 381x234,y x 281x>0令 y0 得 x9,令 y<0 得 x>9,令 y>0 得 0<x<9,函数在0,9上单调递增,在 9,上单调递减,当x9 时,函数取得最大值应选 C. 点评 利用导数求函数最值时, 令 y0 得到 x 的值,此 x 的值不肯定是极大 小值时,仍要判定 确定x 值左右两边的导数的符号才能3文做一个圆柱形锅炉, 容积为 V,两个底面的材料每单位面积的价格为 a 元,侧面的材料每单位面积的价格为时,锅炉的底面直径与高的比为 b 元,当造价最低名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - A. a b2 B.a b优秀学习资料欢迎下载C.b a2 D.b a答案 C 解析 如图,设圆柱的底面半径为R,高为 h,就 VR 2h. 设造价为 y,就 y2R 2a2Rhb2aR 22Rb·V R 22aR 22bVR,y4aR2bV R 2 . 令 y0 并将 VR 2h 代入解得,2R hb a. 理圆柱的表面积为 S,当圆柱体积最大时,圆柱的底面半径为 A.S 3C B. 3SC. 6S 6D3 · 6S答案 解析 设圆柱底面半径为r,高为 h,名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - S2r优秀学习资料2欢迎下载22rh,hS2r 2r,又 Vr2hrS2r3S6r2,令 V0,就 V22得 S6r2,h2r,r6S 6. 4某公司生产某种产品,固定成本为20000 元,每生产一单位产品,成本增加100 元,已知总收益R 与产量x 的关系是R400x1 2x 2,0x400,就总利润最大时,每年生产的产品是80000,x400. A100 B150 C200 D300 答案 D 解析 由题意,总成本为 C20000100x.所以总利润为 PR名师归纳总结 C2 300xx 220000,0x400, 第 4 页,共 27 页60000100x,x400,P300x,0x400,100,x400.令 P0,得 x300,易知当 x300时,总利润最大5文内接于半径为 R 的球并且体积最大的圆锥的高为ARB2RC.4 3RD.3 4R- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答案 C 优秀学习资料欢迎下载r解析 设圆锥的高为 h,底面半径为 r,就 R 2hR 2r2,22Rhh2,V1 3r2h 3h2Rhh 22 3Rh 2 3h 3,V4 3Rhh2,令 V0 得 h4 3R. 理要制做一个圆锥形的漏斗, 其母线长为 20cm,要使其体积最大,就高为 0,A.3 3 cm B.10 3 3 cm C.16 3 3cm D.20 3 3 cm 答案 D 解析 设圆锥的高为 x,就底面半径为20 2x 2,其体积为 V1 3x400x20x20,V1 3 4003x2,令 V0,解得 x20 3 3 . 当 0x20 3 3时,V0；当20 3 3x20 时,V所以当 x20 3 3 时, V 取最大值62022 ·保定模拟 定义域为 R 的函数 fx满意 f11,且 fx名师归纳总结 的导函数 f x>1 2,就满意 2fx<x1 的 x 的集合为 第 5 页,共 27 页A x|1<x<1 B x|x<1 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - C x|x<1 或 x>1 优秀学习资料欢迎下载D x|x>1 答案 B 解析 令 gx2fxx1,f x>1 2,gx2f x1>0,gx为单调增函数,f11,g12f1110,当x<1 时,gx<0,即 2fx<x1,应选 B. 7文用长为 18m 的钢条围成一个长方体外形的框架,要求长方体的长与宽之比为 答案 3m 3,该长方体的最大体积是 _解析 设长方体的宽为 x,就长为 2x,高为9 23x 0<x<2,故体积为 V2x 2923x 6x 39x 2,V18x 218x,令 V0 得,x0 或 1,0<x<2,x1. 该长方体的长、宽、高各为 大体积 Vmax3m 3. 2m、1m、1.5m 时,体积最大,最理用总长为 14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架,假如所制作容器的底面的一边比另一边长 容器的高为 _答案 1.2m 0.5m,那么容器的容积最大时,名师归纳总结 解析 设容器的短边长为xm,第 6 页,共 27 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载就另一边长为 x0.5m,高为14.84x4 x0.53.22x. 4由 3.22x>0 和 x>0,得 0<x<1.6,设容器的容积为 ym 3,就有 yxx0.53.22x0<x<1.6,整理得 y2x 32.2x 21.6x,y 6x 24.4x1.6,令 y0,有 6x 24.4x1.60,即 15x 211x40,解得 x11,x24 15不合题意,舍去 ,高3.221.2,容积 V1× 1.5× 1.21.8. 8文2022 ·北京模拟 如函数 fxlnx1 2ax 22x 存在单调递减区间,就实数 a 的取值范畴是 _答案 1, 分析 函数 fx存在单调减区间,就是不等式 f x<0 有实数解,考虑到函数的定义域为 0,所以此题就是求 f x<0 在0,上有实数解时 a 的取值范畴名师归纳总结 f 解析 解法1：f x1 xax 21ax 22x,由题意知第 7 页,共 27 页xx<0 有实数解,x>0,ax 22x1>0 有实数解当 a0 时,显- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载然满意；当 a<0 时,只要 44a>0,1<a<0,综上知 a>1. 解法 2：f x1 xax21ax 22xx,由题意可知 f x<0 在0,内有实数解即 1ax 22x<0 在0,内有实数解即 a> 1 x 22 x在0,内有实数解x0,时,1 x 22 x1 x1 211,a>1. 理20222022·黄冈市期末 对于三次函数yax 3bx2cxda 0,给出定义：设 f x是函数 yfx的导数, f x是 f x的导数,如方程 f x0 有实数解 x0,就称点 x0,fx0为函数 yfx的“ 拐点” 某同学经过探究发觉： 任何一个三次函数都有“ 拐点” ；任何一个三次函数都有对称中心,且“ 拐点” 就是对称中心如 fx1 3x 31 2x 23x5 12,请你依据这一发觉,求：1函数 fx1 3x 31 2x23x5 12的对称中心为 _；2 运算f1 2022 f2 2022 f3 2022f2022 f2022 2022 _. 名师归纳总结 答案 11 2,122022 第 8 页,共 27 页解析 1f xx 2x3,f x2x1,由 2x10 得 x1 2,f1 21 3× 1 231 2× 1 223×1 2 5 121,由拐点的定义知 fx的拐- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 点即对称中心为 1 2,1优秀学习资料欢迎下载2fk 2022f1k k 2022k2022f 2022f 2022 2k1,2, ,1007,f 2022f 1 2022 f2022 2022f 2022f2022 2022f 20222f2022 2022 f1006 2022f1008 2022f1007 20222× 100612022. 9有一个容积 V 肯定的有铝合金盖的圆柱形铁桶,已知单位面积铝合金的价格是铁的3 倍,问如何设计使总造价最小？分析 桶的总造价要依据铁与铝合金的用量来定,由于二者单位面积的价格不同,在保持铁桶容积不变的前提下, 使总造价最小问题转化为 V 肯定求总造价 y 的最小值,选取恰当变量 圆柱高 h 或底半径 r来表示 y 即变为函数极值问题解析 设圆柱体高为 h,底面半径为 r,又设单位面积铁的造价为 m,桶总造价为 y,就 y3mr 2m r 22rh由于 Vr 2h,得 hV r 2,所以 y4mr 22mV r r>0所以, y8mr2mV r 2 . 令 y0,得 rV 4 3,此时, h V 24 V 4 13. 该函数在 0, 内连续可导,且只有一个使函数的导数为零名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载rV 41 3时,y 有最小值,的点,问题中总造价的最小值明显存在,当即 h r4 时,总造价最小10文已知球的直径为 正四棱柱的高为多少？d,求当其内接正四棱柱体积最大时,解析 如右图所示,设正四棱柱的底面边长为 x,高为 h,由于 x 2x 2h 2d 2,x21 2d 2h2球内接正四棱柱的体积为Vx 2·h1 2d 2hh 3,0<h<d. V1 2d 23h 20,h3 d. 3在0,d上,函数变化情形如下表：名师归纳总结 h 0,3 3 d3 3 d 3 3 d,d第 10 页,共 27 页V0V 极大- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载值由上表知体积最大时,球内接正四棱柱的高为3 3 d. 理 如右图所示,扇形AOB 中,半径 OA1,AOB 2,在 OA 的延长线上有一动点 C,过点 C 作 CD 与 AB 相切于点 E,且与过点 B 所作的 OB 的垂线交于点 D,问当点 C 在什么位置时,直角梯形 OCDB 的面积最小分析 要求直角梯形 OCDB 的面积的最小值, 需先求出梯形面 积,可设 OCx,进而用 x 表示 BD,然后利用导数的方法求最小值如上图所示,过 D 作 DFOA 于 F,可知 解析 OECDFC,所以 OCCD,设 OCxx1,在 RtCDF 中, CD2CF 2DF2,即 x2xBD 21,所以 BDxx21,所以梯形的面积为名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载S1 2BDOC ·OB1 22xx 21,S1 22x x21 令 S0,解得 x12 3,x2 2 3舍去 当 x2 3时,S0；当 1x2 3时, S0. 所以当 x2 3 3时,S取最小值即当 OC2 3 3时,直角梯形 OCDB 的面积最小 . 才能拓展提升11.已知非零向量a、b 满意： |a|2|b|,如函数 fx1 3x 31 2|a|x2a·bx 在 R 上有极值,设向量 为 a、b 的夹角为 ,就 cos 的取值范畴A. 1 2,1 B. 1 2,1C. 1,1 2 D. 1,1 2答案 D 解析 函数fx在 R 上有极值,f xx 2|a|xa·b0 有两不等实根, |a| 24|a| ·|b|cos4|b| 28|b| 2cos>0,cos<1 2,选 D. 名师归纳总结 点评 如 fx为三次函数, fx在 R 上有极值,就 f x0 应第 12 页,共 27 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 有二不等实根,当优秀学习资料欢迎下载fx有极值,这一fx有两相等实根时,不能保证点要特殊留意,如 fx1 3x 3,f xx 20 有实根 x0,但 fx在 R上单调增,无极值即导数为 0 是函数有极值的必要不充分条件12如图,过函数yxsinxcosx 图象上点 x,y的切线的斜率为 k,如 kgx,就函数 kgx的图象大致为 答案 A 解析 ysinxxcosxsinxxcosx,kgxxcosx,易知其图象为 A. 个13函数 fx2x 31 2x 2x1 的图象与 x 轴交点个数为 _答案 1 解析 f x6x 2x13x12x1,当x<1 2时,f x>0,当1 2<x<1 3时, f x<0,当 x>1 3时,f x>0,fx在,1 2上单调递增,在 1 2,1 3上单调递减,在 1 3,上单调递增,名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载当x1 2时,fx取到极大值 11 8,当 x1 3时,fx取到微小值 43 54,故 fx的图象与 x 轴只有一个交点14将边长为 1m 的正三角形薄铁皮,沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记s 梯形的周长 梯形的面积2,就 s 的最小值是_答案 解析 32 3 3设 DEx,就梯形的周长为： 3x,名师归纳总结 梯形的面积为：1 2x1 · 3 2 1x4 1x 3 2,第 14 页,共 27 页s3x24 3 3·x 26x91x 2,x0,1,3 4 1x2x 设 hx26x9,hx6x 220x61x 2 2 . 1x 2令 hx0,得： x1 3或 x3舍,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载hx最小值 h 1 38,s 最小值 4 3 3× 832 3 . 15文甲乙两地相距 400km,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 100km/h,已知该汽车每小时的运输成本 P元关于速度vkm/h的函数关系是 P19200v 1 41 160v 315v. 1求全程运输成本 Q元关于速度 v 的函数关系式；2为使全程运输成本最少,汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值解析 1汽车从甲地到乙地需用400 v h,故全程运输成本为 Q400Pvv 485v 326000 20<v10022Qv 165v,令 Q0 得,v80,当v80km/h 时,全程运输成本取得最小值, 最小值为2000 3 元理2022 ·江苏请你设计一个包装盒如下列图,ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起, 使得 A,B,C,D 四个点重合于图中的点 P,正好形成一个正四棱柱外形的包装盒,一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设E、F 在 AB 上,是被切去的 AEFBxcm名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载1如广告商要求包装盒的侧面积Scm 2最大,试问 x 应取何值？2某厂商要求包装盒容积Vcm 3最大,试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解析 设包装盒的高为 hcm,底面边长为 acm,由已知得602xa2x,h2230x,0<x<30. 1S4ah8x30x8x15 21800,所以当 x15 时,S 取得最大值2Va 2h2 2x 330x 2,V6 2x20x由 V0 得 x0舍或 x20. 当 x0,20时, V>0；当 x20,30时,V<0. 所以当 x20 时,V 取得极大值,也是最大值此时h a1 2.即包装盒的高与底面边长的比值为 2. 116文 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载用一块钢锭浇铸一个厚度匀称, 且全面积为 2m2的正四棱锥形有 盖容器 如右图 设容器的高为 hm,盖子边长为 am. 1求 a 关于 h 的函数解析式；2设容器的容积为 Vm 3,就当 h 为何值时,V 最大？求出 V 的最 大值 容器的厚度忽视不计 解析 1如右图,作 PO平面ABCD,O 为垂足,作 OEBC于 E,连结 PE,就 PEBC,正四棱锥的全面积为名师归纳总结 24×1 2× a×h 2a 22a 2. 第 17 页,共 27 页所以 a12h>01h2V1 3a2h1 3·h2h>0,1hV1 3·1h2 h 2h1h 23 1h 2 2. 1h 2 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载所以当 0<h<1 时,V>0.所以 Vh在0,1上为增函数当 h>1 时,V<0,所以 Vh在1,上为减函数故 h1 为函数 Vh的唯独极大值点也是最大值点,Vmax1 6. 答：当高 h1m 时,容积取最大值1 6m 3. 理如图,有一矩形钢板ABCD 缺损了一角 如下列图 ,边缘线OM 上每一点到点 D 的距离都等于它到边 AB 的距离工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形,如 AB1m,AD0.5m,问如何画切割线 EF 可使剩余部分五边形ABCEF 的面积最大？解析 由题知,边缘线 OM 是以点 D 为焦点,直线 AB 为准线的抛物线的一部分名师归纳总结 以 O 点为原点,AD 所在直线为 y 轴建立直角坐标系, 就 D0,1 4,第 18 页,共 27 页M1 2,1 4所以边缘线 OM 所在抛物线的方程为yx20x1 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 要使如图的五边形优秀学习资料欢迎下载EF 所在直线与抛ABCEF 面积最大,就必有物线相切,设切点为Pt,t2就直线 EF 的方程为 y2txtt2,即 y2txt 2,由此可求得点 E,F 的坐标分别为 E 14t8t 2,1 4,F0,t 2所以 SDEFSt1 2·14t8t 2·1 4t 2 1 64·16t 48tt 21,t0,1 2所以 St1 64·48t 48tt 2 2112t 21 4t 21 3 4t 21 t6 3t6 364t 216t 2,明显函数 St在0,6 上是减函数,在 3 6,1 2上是增函数所3以当 t6时, SDEF 取得最小值,相应地,五边形 ABCEF 的面积最大名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载此时点 E、F 的坐标分别为 E 3 3,1 4,F0, 1 12此时沿直线 EF 划线可使五边形 ABCEF 的面积最大1函数 fx的定义域为 R,导函数 f 数 fx A无极大值点、有四个微小值点 B有三个极大值点、两个微小值点 C有两个极大值点、两个微小值点 D有四个极大值点、无微小值点 答案 C x的图象如下列图,就函解析 设 f x与 x 轴的 4 个交点,从左至右依次为x1、x2、x3、x4,当 x<x1 时,f x>0,fx为增函数,当 x1<x<x2时,f x<0,fx为减函数,就 xx1 为极大值点,名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载同理, xx3 为极大值点, xx2,xx4为微小值点2函数 fxe xcosx 的图象在点 0,f0处的切线的倾斜角的余弦值为 B.5 5A55C. 2 2C D1 答案 解析 f xe xcosxe xsinx,f 01. 设 fx在点0,f0处切线的倾斜角为0, , 4,cos2 . 2,就 tan1,3设函数 fxsin 3 x 33cos2 x 2tan,其中 0,5 12,就导数 f 1的取值范畴为 A2,2 B 2,3 C 3,2 D 2,2 答案 D 解析 f xsin·x 2 3cos·x,f 1sin3cos2sin 3 . 0,5 12, 3 3,3 4 . sin 3 2 2,1 ,f 1 2,2,应选 D. 4某工厂要围建一个面积为128m 2 的矩形堆料场,一边可以用名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载原有的墙壁,其他三边要砌新的墙壁,要使砌墙所用的材料最省,堆料场的长、宽应分别为 _答案 16m 8m 解析 设场地宽为 xm,就长为128 x m,因此新墙总长度为y2x128 x x0,y2128 x 2 ,令 y0,x>0,x8. 由于当 0x8 时,y0；当 x8 时,y0,所以当 x8 时,y 取最小值,此时宽为8m,长为 16m. 即当堆料场的长为 16m,宽为 8m 时,可使砌墙所用材料最省52022 ·陕西文 设 fxlnx,gxfxf x1求 gx的单调区间和最小值；2争论 gx与 g1 x的大小关系；3求 a 的取值范畴,使得gagx<1 a对任意 x>0 成立解析 fxlnx,f x1 x,gxlnx1 x. x1gxx 2 ,令 gx0 得 x1,当 x0,1时,g x<0,0,1是 gx的单调减区间；当 x1,时,gx>0.1,是 gx的单调增区间,因此当 x1 时 gx取微小值,且 x1 是唯独极值点,从而是最名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载小值点所以 gx最小值为 g11. 2g1 xlnxx令 hxgxg1 x2lnxx1 x,10,所以 hx在0,就 hxx12,x2当 x1 时,h10,即 gxg1 x,当 x0,11,时 hx<0,h单调递减,当 x0,1时,hx>h10,即 gx>g1 x,当 x1,时,hx<h10,即 gx<g1 x,综上知,当 x0,1时,gx>g1 x；当 x1 时,gxg1 x；当 x1,时,gx<g1 x3由1可知 gx最小值为 1,所以 gagx<1 a对任意 x>0 成立等价于 ga1<1 a,即 lna<1,解得 0<a<e. 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载所以 a 的取值范畴是 0,e6学习曲线是 1936 年美国康乃尔高校T.P.Wright博士在飞机制造过程中,通过对大量有关资料、案例的观看、分析、争论,首次发 现 并 提 出 来 的 已 知 某 类 学 习 任 务 的 学 习 曲 线 为 ： ft 3 4a·2t·100%其中 ft为该任务的程度, t 为学习时间 ,且这类学习任务中的某项任务满意 f260%. 1求 ft的表达式,运算 f0并说明 f0的含义；2已知 2 x>xln2 对任意 x>0 恒成立,现定义f t t为该类学习任务在t 时刻的学习效率指数,争论说明,当学习时间t1,2时,学习效率正确,当学习效率正确时,求学习效率指数相应的取值范畴名师归纳总结 解析 1ft3 4a·2t·100%t 为学习时间 ,且 f260%,第 24 页,共 27 页就3 4a·2 2·100%60%,解得 a4. ft3 4a·2t·100%3 4 12 t ·100%t0,f03 4 12 0 ·100%37.5%,f0表示某项学习任务在开头学习时已把握的程度为37.5%. 2令学习效率指数f t ty,就 yf t t3 4t 12 t 3t>0,4 tt 2 t- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载现争论函数