2022年高考数学_数列通项公式求解方法总结.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 求数列通项公式的十种方法一、公式法n 例 1 已知数列 a n 满意 a n 1 2 a n 3 2,a 1 2,求数列 a n 的通项公式；解：a n 1 2 a n 3 2 n 两边除以 2 n 1,得 a n n 1 1 a n n 3,就 a n n 1 1 a n n 3,故数列 a n n 是以 2 2 2 2 2 2 2 a2 1 1 22 1 为首项,以 3 为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得 2 a2 n n 1 n 1 32,所以数列 a n 的通项公式为 a n 3 n 1 2 n；2 2评注：此题解题的关键是把递推关系式 a n 1 2 a n 3 2 n 转化为 a n n 1 1 a n n 3,说明数列 a n n 是 2 2 2 2等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出 a n n 1 n 1 3,进而求出数列 a n 的通项公式；2 2二、累加法例 2 已知数列 a n满意an1an2 n1,a 11,求数列 an的通项公式；,进而求出解：由an1an2n1得an1an2 n1就ana nan1an1an2La 3a2a2a 1a 12n112n21L22121 112n1n2L21n112n1 nn112n1n11n2所以数列 an的通项公式为an2 n ；评注：此题解题的关键是把递推关系式a n1an2n1转化为a n1a n2n1anan1an1an2La 3a2a2a 1a 1,即得数列 a n的通项公式；例 3 已知数列 a n满意an1an23n1,a 13,求数列 a n的通项公式；爱护原创权益· 净化网络环境名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：由an1a n23n1得an1an2n 31就a n a n a n 1 a n 1 a n 2 L a 3 a 2 a 2 a 1 a 1n 1 n 2 2 12 3 1 2 3 1 L 2 3 1 2 3 1 3n 1 n 2 2 123 3 L 3 3 n 1 3n 131 3 2 n 1 31 3n3 3 n 1 3n3 n 1n所以 a n 3 n 1.n n评注：此题解题的关键是把递推关系式 a n 1 a n 2 3 1 转化为 a n 1 a n 2 3 1,进而求出a n a n a n 1 a n 1 a n 2 L a 3 a 2 a 2 a 1 a 1,即得数列 a n 的通项公式；例4 已知数列 a n 满意 a n 1 3 a n 2 3 n1,a 1 3,求数列 a n 的通项公式；解：a n 1 3 a n 2 3 n1 两边除以 3 n 1,得 an n1 1 an n 2 1n 1,3 3 3 3就 a nn 11 a nn 2 1n 1,故3 3 3 3a nn a nn a n 1 a n 1 a nn 22 an n 22 an n3 3 L a 22 a1 1 a 13 3 a n 1 a n 1 3 3 3 3 3 3 2 1n 2 1n 1 2n 12 L 2 12 33 3 3 3 3 3 3 3 32 n 1 1n 1n 1n 1 n 12 L 12 13 3 3 3 3 3因此 a nn 2 n 1 3 1 1 3 n n 11 2 n 1 1n,3 3 1 3 3 2 2 3就 a n 2 n 3 n 1 3 n 1 .3 2 2评注：此题解题的关键是把递推关系式 a n 1 3 a n 2 3 n1 转化为 an n 11 an n 2 1n 1,进而求3 3 3 3出 a nn a nn 11 an n1 1 an n2 2 a nn 22 a nn 3 3 L a 22 a 11 a 1,即得数列 a nn 的通项公式, 最3 3 3 3 3 3 3 3 3 3爱护原创权益· 净化网络环境名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 后再求数列 a n的通项公式；三、累乘法例 5 已知数列 a n满意an12n15nan,a 13,求数列 an的通项公式；15n,进而求出解：由于an12n15nan,a 13,所以an0,就an12n15n,故a na na n1a n1La 3a 2a 1a na n2a 2a 12nn 1 1512n2n 152L222 1 5 211 1 5 3n 21 n n1L3 2 5n1n2L2 13n n132 n152n .n n1所以数列 an的通项公式为an32n152n.评注：此题解题的关键是把递推关系an12n15na 转化为an12nanan1an1La3a2a 1,即得数列 a n的通项公式；a nan2a2a 1例 6 （ 2004 年全国 I 第 15 题,原题是填空题）已知数列an满意a 11,ana 12a 23 a 3Ln1 an1n2,求 an的通项公式；解：由于ana 12a23 a3Ln1 an1n2所以a n1a 12a 23a 3Ln1a n1nan用式式得an1a nnan.就a n1n1 ann2故a nn1n1 n2a爱护原创权益· 净化网络环境名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以a na n1an1La 3a 2 n n1L4 3a2n.a2.anan2a 22由a na 12a23a 3Ln1 a n1n2,取n2得a2a 12 a2,就a2a ,又知a 11,就a 21,代入得a n1 3 4 5Lnn .；1ann2转化为an1n1 n2,进而求出2所以, a n的通项公式为a nn .2a n1n评注： 此题解题的关键是把递推关系式anan1an1La3a 2,从而可得当n2 时,an的表达式,最终再求出数列an的通项公式；a nan2a2四、待定系数法例 7已知数列 a n满意an12an3n 5,a 16,求数列a n的通项公式；2a ,得解：设an1x5n12anxn 5 xn 512a n2x5n,等式两边消去将a n12a n3 5n代入式,得2a n3n 5n 3 5x5n12x5n,两边除以 5n ,得 35x2 ,就x1,代入式得an15n12a nn 5 n 1由 a 1 5 16 5 1 0 及式得 a n 5 n0,就 a n 1 5n 2,就数列 a n 5 n是以 a 1 5 11 为a n 5n n 1 n 1 n首项,以 2 为公比的等比数列,就 a n 5 2,故 a n 2 5；n n 1 n评注：此题解题的关键是把递推关系式 a n 1 2 a n 3 5 转化为 a n 1 5 2 a n 5 ,从而可知n n数列 a n 5 是等比数列,进而求出数列 a n 5 的通项公式,最终再求出数列 a n 的通项公式；例 8 已知数列 a n 满意 a n 1 3 a n 5 2 n4,a 1 1,求数列 a n 的通项公式；n 1 n解：设 a n 1 x 2 y 3 a n x 2 y 爱护原创权益· 净化网络环境名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 将a n13 an52n4代入式,得n n 1 n3 a n 5 2 4 x 2 y 3 a n x 2 y 整理得 5 2 2 n 4 y 3 x 2 n 3 y ；令5 2 x 3 x,就 x 5,代入式得4 y 3 y y 2n 1 na n 1 5 2 2 3 a n 5 2 2 1由 a 1 5 2 2 1 12 13 0 及式,n 1得 na 5 2 n 2 0,就 a n 1 5 2n 2 3,a n 5 2 2n 1故数列 a n 5 2 2 是以 a 1 5 2 2 1 12 13 为首项,以 3 为公比的等比数列,因此n n 1 n 1 na n 5 2 2 13 3,就 a n 13 3 5 2 2；n评注：此题解题的关键是把递推关系式 a n 1 3 a n 5 2 4 转化为n 1 n na n 1 5 2 2 3 a n 5 2 2,从而可知数列 a n 5 2 2 是等比数列,进而求出数列n a n 5 2 2 的通项公式,最终再求数列 a n 的通项公式；例 9 已知数列 a n 满意 a n 1 2 a n 3 n 24 n 5,a 1 1,求数列 a n 的通项公式；2 2解：设 a n 1 x n 1 y n 1 z 2 a n xn yn z 2将 a n 1 2 a n 3 n 4 n 5 代入式,得2 2 22 a n 3 n 4 n 5 x n 1 y n 1 z 2 a n xn yn z ,就2 22 a n 3 x n 2 x y 4 n x y z 5 2 a n 2 xn 2 yn 2 z2 2等式两边消去 2 a ,得 3 x n 2 x y 4 n x y z 5 2 xn 2 yn 2 z ,爱护原创权益· 净化网络环境名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3x2xx3解方程组2xy42y,就y10,代入式,得0n3n210n18是等xyz52zz18an13n2 110n1182an3n210n18由a 12 3 1101 18131320及式,得an3n210n18就a n13 n2 110 n1 182,故数列an3 n210n18为以a n3 n 210 n18ana 12 3 110 11813132为首项,以2 为公比的等比数列,因此an3 n210n1832n 21,就an2n43 n210n18；评注：此题解题的关键是把递推关系式a n12a n3n24n5转化为an13n2 110n1182an3n210n18,从而可知数列a的通项公式；比数列,进而求出数列an3 n210n18的通项公式,最终再求出数列五、对数变换法例 10 已知数列 an满意a n12 3n5 a ,a 17,求数列 a n的通项公式；解：由于an123na5 n,a 17,所以a n0,a n10；在an123n5 a 式两边取常用对数得lga n15lgannlg3lg 2y5lga nxny ,两边消去 5lga 并整理,设lga n1x n1y5lganxny11 将式代入 11式,得 5lgannlg 3lg 2x n1得 lg3x nxylg 25xn5y ,就lg3yx5x5y,故xlg3lg 24xlg 2ylg3164爱护原创权益· 净化网络环境名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 代入 11式,得lga n1lg3n1lg3lg 25lga nlg3nlg3lg 212 41644164由 lg a 1 lg3 1 lg3 lg 2 lg 7 lg3 1 lg3 lg 2 0 及12式,4 16 4 4 16 4得 lg a n lg3n lg3 lg 20,4 16 4lg a n 1 lg3 n 1 lg3 lg 2就 4 16 4 5,lg a n lg3 n lg3 lg 24 16 4所以数列 lg a n lg3n lg3 lg 2 是以 lg 7 lg3 lg3 lg 2为首项,以 5 为公比的等比数列,4 16 4 4 16 4就 lg a n lg3 n lg3 lg 2 lg 7 lg3 lg3 lg 2 5 n 1,因此4 16 4 4 16 4lg a n lg 7 lg 3 lg 3 lg 2 5 n 1 lg 3 n lg 3 lg 24 16 4 4 6 41 1 1 n 1 1lg 7 lg 3 4 lg 3 6 lg 2 5 n 1lg 3 4 lg 3 16 lg 2 41 1 1 n 1 1lg7 3 4 3 16 2 5 n 1lg3 4 3 16 2 1 1 1 n 1 1lg7 3 4 3 16 2 5 n 1lg3 4 3 16 2 5 n 1 n 5 n 1 1 5 n 1 1lg7 5 n 13 4 3 16 2 4 5 n 4 n 1 5 n 1 1lg7 5 n 13 16 2 4 5 n 4 n 1 5 n 1 1就 na 7 5 n 13 16 2 4；n 5评注：此题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 a n 1 2 3 a 转化为lg a n 1 lg3 n 1 lg3 lg 2 5lg a n lg3 n lg3 lg 2 ,从而可知数列4 16 4 4 16 4lg3 lg3 lg 2 lg3 lg3 lg 2lg a n n 是等比数列, 进而求出数列 lg a n n 的通项公式, 最4 16 4 4 16 4后再求出数列 a n 的通项公式；六、迭代法例 11 已知数列 an满意a n1a n3 a nn12n,a 15,求数列 an的通项公式；解：由于a n13 a nn12n,所以3 a nn2 n13 a nn1 2n23 n2 n112爱护原创权益· 净化网络环境名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - a 3 n 22 n1n2 n2n1a n 3n2 2n3 3 2n1n2 nn2n133 3 na n 32n1n2 n3n2 1La 1 3n12 3 L Ln2 n1n2 1 2L Ln3 n2n1na n1a n 3n12n两边取n n1a 1 3n1n. 22n n1又a 15,所以数列 an的通项公式为an53n1n . 22；评注：此题仍可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式；即先将等式常 用 对 数 得lgan13n12nlgan, 即lgan13n12, 再 由 累 乘 法 可 推 知lga nlga nlga n1lga n1Llga 3lga 2lga 1lg53n1n. 2n n1,从而an53 n1n. 2n n1；22lga nlga n2lga 2lga 1七、数学归纳法例 12 已知数列 a n满意an1an2n8n132,a 18,求数列 a n的通项公式；2 1 2n9解：由an1an2n8n132及a 18,得2 1 2n9a2a 1281 1132882242 1 1 2992525a 3a222821232248 3482 1 225254949a4a328313324884802 3 1 249498181由此可推测a n2nn1221,往下用数学归纳法证明这个结论；21（1）当n1时,a 1212 118,所以等式成立；22 1 19爱护原创权益· 净化网络环境名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）假设当 nk时等式成立,即a k2kk2 11,就当nk1时,22 1ak1a k2k8k1321*N 都成立；2 1 2k2k1 218k12 k2 12k2 1 2k2 32k2 112 k2 38 k12 k2 1 2k2 32k2 1 2 k2 32k2 38 k2k1 2 2 k3 22k2 1 2 k2 32k122k2 1 2 k2 32k2 312 k2 32k2 1 112k2 1 1由此可知,当nk1时等式也成立；依据（ 1）,（ 2）可知,等式对任何n评注：此题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 最终再用数学归纳法加以证明；八、换元法n 项,进而猜出数列的通项公式,例 13 已知数列 a n满意a n11 1 4 a n16124 a n,a 11,求数列 a n的通项公式；解：令b n124 a ,就a n1 242 b n1124 a n得故a n11 242 b n11,代入a n11 1 4 16a n12 b n1111412 b n1b n24162410即2 4 b n1b n3211 24a n由于b n124 a n0,故b n爱护原创权益· 净化网络环境名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 就2 b n1b n3,即b n11b n3,22可化为b n131 b n3,得形的2所以 b n3是以b 13124 a 13124 132为首项,以1 为公比的等比数列,因此 2b n31 n2 211 n 22,就b n1 n 223,即124 a n1 2n23,a n2 1 3 4n 12n1；3评注：此题解题的关键是通过将124 a 的换元为b ,使得所给递推关系式转化b n11b n322式,从而可知数列bn3为等比数列,进而求出数列nb3的通项公式,最终再求出数列a n通项公式；九、不动点法例 14已知数列 an满意a n121 an24,a 14,求数列 a n的通项公式；4 an1解：令x21 x24,得4x220x240,就x 12,x 23是函数f x 21 x24的两个不4 x14x1动点；由于a n1221 an24221 an244an124an113a n2613a n2；所以数列a n2是a n1321 an24321 an2434an19a n279a n3a n34 an113 为 公 比 的 等 比 数 列 , 故 9an2213n1, 就以a 12422为 首 项 , 以a 1343an39a n1113；f x 21 x24的不动点,即方程x21 x24的两个根2 13 9n评注：此题解题的关键是先求出函数4x14x1x 12,x 23,进而可推出an1213an2,从而可知数列a n2为等比数列,再求出数an139an3a n3列a n2的通项公式,最终求出数列a n的通项公式；a n3爱护原创权益· 净化网络环境名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 15 已知数列 an满意a n17a n2,a 12,求数列 a n的通项公式；2a n3解：令x7x2,得2x24x20,就x1是函数f x 3 x1的不动点；2x34 x7由于an117a n215a n5,所以2a n32a n3a112,an112a n32a n321a5 12215a n55a n15n5n所以数列a n11是以112111为首项,以2 为公差的等差数列,就 5a1112n1,a 1n5故a n2 n8；2 n3的不动点,即方程x7x2的根x1,进而评注：此题解题的关键是先求出函数f x 3 x14 x72 x3可推出an11a112,从而可知数列a n11为等差数列, 再求出数列a n11的通项公式,1n5最终求出数列 a n的通项公式；十、特点根法例 16已知数列 an满意a n13 ana n1n2,a 1a 21,求数列 an的通项公式；解 ：a n13 ana n1n2的 相 应 特 征 方 程 为2310 , 解 之 求 特 征 根 是1325,2325,所以a nc 1325c 235；2由初始值a 1a21,得方程组1c 13251 c 232511c 13252c 23252爱护原创权益· 净化网络环境名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 求得c 152 55c25