2022年第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ.函数模型及其应用.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载§ 2.9 函数模型及其应用考纲展现 .1. 明白指数函数、对数函数以及幂函数的增长特点,知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义2明白函数模型 如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型 的广泛应用考点 1 用函数图象刻画实际问题中两个变量的变化过程 典题 1 12022 · 浙江湖州模拟 物价上涨是当前的主要话题,特殊是菜价,我国某部门为尽快实现稳固菜价,提出四种绿色运输方案据推测,这四种方案均能在规定的时间 T内完成推测的运输任务 Q0,各种方案的运输总量 Q与时间 t 的函数关系如下列图,在这四种方案中,运输效率 单位时间的运输量 逐步提高的是 A B C D 答案 B 名师归纳总结 2 已知正方形ABCD的边长为 4,动点 P 从点 B 开头沿折线BCDA向点 A 运动设点P 运第 1 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 动的路程为精品资料欢迎下载x, ABP的面积为 S,就函数 Sf x 的图象是 A B C D 答案 D 解析 依题意知,当 0 x4 时, f x 2x；当 4<x8 时, f x 8；当 8<x12 时, f x 242x,观看四个选项知,应选 D. 点石成金 判定函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法1 构建函数模型法：当依据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象2 验证法：当依据题意不易建立函数模型时,就依据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情形,挑选出符合实际情况的答案考点 2 应用所给函数模型解决实际问题 典题 2 某医药讨论所开发的一种新药,假如成年人按规定的剂量服用,据监测,服药名师归纳总结 后每毫升血液中的含药量y 微克 与时间 t 小时 之间近似满意如下列图的曲线第 2 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1 写出第一次服药后精品资料欢迎下载y 与 t 之间的函数关系式yf t ；2 据进一步测定,每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效,求服药一次后治疗疾病有效的时间kt ,0 t 1, 解 1 由题图,设y1t a, t >1,2当 t 1 时,由 y 4,得 k4,由11 a4,得 a3. 24t ,0 t 1,所以 y12 t 3,t >1.t >1,0 t 1,2 由 y0.25 ,得 或 14t 0.25 2 t 30.25 ,1解得 16 t 5.1 79因此服药一次后治疗疾病有效的时间是 51616 小时 点石成金 求解已给函数模型解决实际问题的关注点1 认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数2 依据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数3 利用该模型求解实际问题 提示 解决实际问题时要留意自变量的取值范畴. 里氏震级 M的运算公式为Mlg Alg A0,其中 A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,名师归纳总结 A0 是相应的标准地震的振幅假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000. 此时标准第 3 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 地震的振幅为精品资料欢迎下载5 级地震的最0.001 ,就此次地震的震级为_级； 9 级地震的最大振幅是大振幅的 _倍答案： 6'10 000 解析： 依据题意,由 lg 1 000 lg 0.0016,得此次地震的震级为 6 级由于标准地震的振幅为 0.001 ,设 9 级地震的最大振幅为 A9,就 lg A9 lg 0.001 9,解得 A910 6,同理 5级地震的最大振幅 A510 2,所以 9 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的 10 000 倍考点 3 构建函数模型解决实际问题1. 几类函数模型函数模型一次函 数模型反比例函 数模型二次函 数模型指数函 数模型对数函 数模型幂函数 模型函数解析式 f x axb a, b 为常数, a 0f x k xbk,b 为常数且 k 0f x ax2bxc a,b,c 为常数, a 0f x baxc a,b,c 为常数, b 0, a>0 且 a 1 f x blog axc a,b,c 为常数, b 0,a>0 且 a 1f x axnba,b 为常数, a 02三种函数模型的性质名师归纳总结 函数yax a>1ylogax a>1y x nn>0 第 4 页,共 13 页性质在0 , 上单调 _单调 _单调递增的增减性- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 增长速度精品资料欢迎下载相对平稳越来越快越来越慢图象的变化递增随 x 的增大逐步表现随 x 的增大逐步表现随 n 值变化而各有不为与 _平行为与 _平行同值的比较存在一个x0,当 x>x0 时,有 log ax<x n<a x答案： 递增y 轴x 轴求解实际问题的两个误区：忽视自变量的取值范畴；忽视数学结果的实际合理性1 据调查,某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000 辆次,其中变速车存车费是每辆一次 0.3 元,一般车存车费是每辆一次 0.2 元如一般车存车数为 x 辆次,存车费总收入为 y 元,就 y 关于 x 的函数关系式是 _答案： y 0.1 x1 2000 x4 000 , xN 解析： y0.2 x4 000 x × 0.3 0.1 x1 2000 x4 000 , xN ,这里不能忽略 x 的取值范畴,否就函数解析式失去意义2 要在边长为 16 米的正方形草坪上安装喷水龙头,使整个草坪都能喷洒到水,假设每个喷水龙头的喷洒范畴都是半径为 6 米的圆面,就最少需安装喷水龙头 _个答案： 4 解析： 可以将正方形分割成 4 个全等的正方形,每个小正方形的对角线长为 8 2<12,所以安装 4 个喷水龙头就可以满意题意由于是实际问题,不行以这样懂得：每个喷水龙头可喷洒的面积为 36 平方米, 3 个喷水龙头即可喷洒的面积为 108 平方米,又 108 >16 2,最后得出安装 3 个就可以,这是错误的复利公式1 某种储蓄按复利运算利息,如本金为 a 元,每期利率为 r ,存期是 x,本利和 本金加利息 为 y 元,就本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式是 _x答案： ya1 r 2 人口的增长、细胞分裂的个数以及存款利率 复利 的运算等问题都可以用 _函数模型解决答案： 指数名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载 考情聚焦 高考对函数应用的考查,常与二次函数、基本不等式及导数等学问交汇,以解答题为主要形式显现,考查用函数学问解决以社会实际生活为背景的成本最低、利润最高、产量最大、效益最好、用料最省等实际问题主要有以下几个命题角度：角度一二次函数模型 典题 3 为了爱护环境,进展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采纳了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为 400 吨,最多为 600 吨,月处理成本 y 元 与月处理量 x 吨 之间的函数关系可近似地表1示为： y2x 2200x80 000 ,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为 100元就该单位每月能否获利？假如获利,求出最大利润；假如不获利,就国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 解 设该单位每月获利为 S,1就 S100xy100x2x 2200x80 0001 12x 2300x80 000 2 x300 235 000 ,由于 400 x600,所以当x400 时, S 有最大值 40 000. 故该单位不获利,需要国家每月至少补贴 40 000 元,才能不亏损 点石成金 二次函数模型问题的三个留意点1 二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决,但肯定要亲密留意函数的定义域,否就极易出错；2 确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定,常用待定系数法；3 解决函数应用问题时,最终要仍原到实际问题角度二构造分段函数模型 典题 4 国庆期间,某旅行社组团去风景区旅行,如每团人数在 30 或 30 以下,飞机票每张收费 900 元；如每团人数多于 30,就赐予优惠：每多 1 人,机票每张削减 10 元,直到达到规定人数 75 人为止每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费 15 000 元1 写出飞机票的价格关于人数的函数；2 每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润？名师归纳总结 解 1 设旅行团人数为x,由题得 0<x75 xN * ,飞机票价格为y 元,第 6 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就 y900, 0<x30,精品资料欢迎下载900x,30<x75,900, 0<x30,即 y1 200 10x, 30<x75.2 设旅行社获利 S 元,900x15 000 ,0<x30,就 Sx10x15 000 ,30<x75,900x15 000 ,0<x30,即 Sx2 21 000 ,30<x75.元,由于 S900x15 000 在区间 0,30 上为单调增函数,故当 x 30 时, S 取最大值 12 000又 S 10 x60 221 000 在区间 30,75 上,当 x60 时,取得最大值 21 000. 故当 x60 时,旅行社可获得最大利润 点石成金 解决分段函数模型问题的三个留意点1 实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成,如出租车票价与路程之间的关系,应构建分段函数模型求解；2 构造分段函数时,要力求精确、简捷,做到分段合理、不重不漏；3 分段函数的最值是各段的最大 角度三 或最小 值的最大者 最小者 构建“ 对勾” 函数 f x xa x a>0 模型 典题 5 为了在夏季降温顺冬季供暖时削减能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑k物每年的能源消耗费用 C 单位：万元 与隔热层厚度 x 单位： cm满意关系 C x 3x 50 x10 ,如不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元,设 f x 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和1 求 k 的值及 f x 的表达式；2 隔热层修建多厚时,总费用f x 达到最小,并求最小值 解 1 由已知条件得C0 8,就 k40,因此 f x 6x20C x 名师归纳总结 6x800 3x50 x10 第 7 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 f x 6x 10800 3x510 精品资料欢迎下载2x800 3x 510 70 万元 ,800 当且仅当 6x103x5,即 x5 时等号成立所以当隔热层厚度为 5 cm 时,总费用 f x 达到最小值,最小值为 70 万元 点石成金 应用函数模型 yxa x的关键点1 明确对勾函数是正比例函数 f x ax 与反比例函数 f x b x叠加而成的2 解决实际问题时一般可以直接建立 转化为 f x axb x的形式f x axb x的模型,有时可以将所列函数关系式3 利用模型 f x axb x求解最值时,要留意自变量的取值范畴,及取得最值时等号成立的条件角度四构建指、对函数或复杂的分式结构函数模型10 典题 6 已知一容器中有A,B 两种菌,且在任何时刻A, B 两种菌的个数乘积为定值10,为了简洁起见,科学家用PA lg nA来记录 A 菌个数的资料,其中nA为 A 菌的个数,现有以下几种说法：PA1；如今日的 PA值比昨天的 PA值增加 1,就今日的 A 菌个数比昨天的 A 菌个数多 10；假设科学家将 B 菌的个数掌握为 5 万,就此时 5<PA<5.5 注：lg 2 0.3 就正确的说法为 _ 写出全部正确说法的序号 答案 解析 当 nA1 时, PA0,故错误；如 PA1,就 nA10,如 PA2,就 nA 100,故错误；B 菌的个数为nB5× 104,nA101042× 105, PAlg nAlg 2 5. 5× 10又lg 2 0.3 , 5<PA<5.5 ,故正确名师归纳总结 点石成金 一般地,涉及增长率问题、存蓄利息问题、细胞分裂问题等,都可以考虑第 8 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载用指数函数的模型求解求解时留意指数式与对数式的互化,指数函数的值域的影响以及实际问题中的条件限制 . 方法技巧 解函数应用问题的四步骤1 审题：弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步挑选函数模型；2 建模：将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学学问,建立相应的函数模型；3 解模：求解函数模型,得出数学结论；4 仍原：将数学结论仍原为实际意义的问题以上过程用框图表示如下： 易错防范 1. 解应用题思路的关键是审题,不仅要明白、懂得问题讲的是什么,仍要特殊留意一些关键的字眼 如“ 几年后” 与“ 第几年后” 2在解应用题建模后肯定要留意定义域,建模的关键是留意查找量与量之间的相互依靠关系3解决完数学模型后,留意转化为实际问题写出总结答案真题演练集训12022 · 四川卷 某公司为鼓励创新,方案逐年加大研发资金投入如该公司 2022 年全年投入研发资金 130 万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长 12%,就该公司全年投入的研发资金开头超过 200 万元的年份是 参考数据： lg 1.12 0.05 ,lg 1.3 0.11 ,lg 2 0.30名师归纳总结 A2022 年B2022 年第 9 页,共 13 页C2022 年D2022 年- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载答案： B 解析： 依据题意,知每年投入的研发资金增长的百分率相同,所以,从 2022 年起,每年投入的研发资金组成一个等比数列 an ,其中,首项 a1130,公比 q1 12% 1.12 ,所以lg 2 lg 1.3an 130× 1.12 n 1. 由 130× 1.12 n 1>200,两边同时取对数,得 n 1> lg 1.12,又lg 2 lg 1.3 0.30 0.11lg 1.120.053.8 ,就 n>4.8 ,即 a5开头超过 200,所以 2022 年投入的研发资金开头超过 200 万元,应选 B. 22022 · 北京卷 汽车的“ 燃油效率” 是指汽车每消耗1 升汽油行驶的里程,如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情形以下表达中正确选项 A消耗 1 升汽油,乙车最多可行驶5 千米B以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C甲车以 80 千米 / 小时的速度行驶 1 小时,消耗 10 升汽油D某城市机动车最高限速 80 千米 / 小时相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油答案： D 解析： 依据图象所给数据,逐个验证选项依据图象知消耗 1 升汽油,乙车最多行驶里程大于 5 千米,应选项 A 错；以相同速度行驶时,甲车燃油效率最高,因此以相同速度行驶相同路程时,甲车消耗汽油最少,应选项 B错；甲车以 80 千米 / 小时的速度行驶时燃油效率为10 千米 / 升,行驶 1 小时, 里程为 80 千米,名师归纳总结 消耗 8 升汽油,应选项C 错；最高限速80 千米 / 小时,丙车的燃油效率比乙车高,因此相同第 10 页,共 13 页条件下,在该市用丙车比用乙车更省油,应选项D对32022 · 湖南卷 某市生产总值连续两年连续增加第一年的增长率为p,其次年的增长率为 q,就该市这两年生产总值的年平均增长率为 A.pq 2Bpq12- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - C.pq精品资料欢迎下载pq1 D答案： D 解析： 设年平均增长率为 x,原生产总值为 a,就 p1 q1 aa1 x 2,解得 xpq1,应选 D. 42022 · 四川卷 某食品的保鲜时间 y 单位： h 与贮存温度 x 单位： 满意函数关系ye kxbe 2.718 为自然对数的底数,k,b 为常数 如该食品在 0 的保鲜时间是 192 h,在 22 的保鲜时间是 48 h ,就该食品在 33 的保鲜时间是 _h. 答案： 24 解析： 由已知条件,得192e b, bln 192. t h,就 t e33kln 192192e33k又 48 e 22kbe22kln 192 192e22k 192e11k2,11e11k482121 2. 设该食品在33 的保鲜时间是1924192e11k3192×13 24. 2课外拓展阅读利用函数模型巧解抽象函数问题函数部分有一类抽象函数问题,这类问题给定函数f x 的某些性质,要证明它的其他性质,或利用这些性质解一些不等式或方程这些题目的设计一般都有一个基本函数作为“ 模型” ,如能分析推测出这个函数模型,结合这个函数模型的其他性质来摸索解题方法,那么这类问题就能简洁获解 典例 1 已知函数f x 对任意实数x,y 均有 f xy f x f y ,且当x>0 时有f x>0 ,f 1 2,求 f x 在 2,1 上的值域 思路分析 代入推测 fx的函数模型为 fxkxk特殊值判定 f x 的单调性 得出 f x 在 2,1 上的值域 解 由于对任意实数 x, y 均有 f xy f x f y ,令 xy0,就 f 0 f 0 f 0 ,故 f 0 0；再令 y x,就 f xx f xf x 0,所以 f x f x ,即 f x 为奇函数设 x1<x2,就 x2x1>0. 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载由于当 x>0 时, f x>0 ,所以 f x2x1>0. 所以 f x2 f x1 f x2x1>0 ,所以 f x 为 R上的增函数又 f 2 f 11 2f 1 4,f 1 f 1 2,所以当 x 2,1 时, f x 4,2 典例 2 设函数 f x 的定义域是R,对于任意实数m,n,恒有 f mn f m ·f n ,且当 x>0 时, 0<f x<1. 1 求证： f 0 1,且当 x<0 时,有 f x>1 ；2 判定 f x 在 R上的单调性 思路分析 代入推测 fx的函数模型为 fxxaa证明中的结论特殊值函数单调性的定义判定 f x 在R上的单调性1 证明 由于对任意实数 m,n,恒有 f m n f m · f n ,令 m1,n0,就 f 1 f 1 ·f 0 由于当 x>0 时, 0<f x<1 ,所以 f 0 1. 设 mx<0,n x>0,所以 f 0 f x · f x ,所以 f x f fxf1>1. x即当 x<0 时,有 f x>1. 2 解 设 x1<x2,就 x2x1>0,所以 0<f x2x1<1 ,由1 知, f x1>0 ,所以 f x2 f x1 f x2x1 x1 f x1 f x2x1 ·1<0 ,即 f x2< f x1 ,所以 f x 在 R上单调递减 典例 3 设函数 f x 满意 fx yf x f y 1 求证： f 1 0；2 求证： f x n nf x nN f x1 f x1 f x1 f x2x1名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 证明 1 令 x y1,就 f精品资料欢迎下载1 1f 1 f 1 0,从而 f 1 0. 2 由于 f xy fxf x f1 yf x f 1 f y f xf y ,1y所以 f x n f x·x·x· ·x nf x nN n 个 x 归纳总结 利用函数模型解决抽象函数问题时,可以先从题设条件及欲证结论入手,多方面猜想函数模型,然后以此函数模型为桥梁,找出证明抽象函数其他性质的方法常见的抽象函数的 性质与对应的特殊函数模型的对比表如下：名师归纳总结 抽象函数的性质特殊函数模型第 13 页,共 13 页f xy f x f y x>0, y>0 ；正比例函数f x kx k 0f xy f x f y x>0, y>0f xf y f xy x,yR ；指数函数f fxf xy x,yR, f y 0f x ax a>0,a 1yf xy f x f y x>0,y>0 ；对数函数fx yf x f y x>0,y>0f x logax a>0,a 1f xy f x f y x,yR ；幂函数fyfx x,yR,y 0f x xny- - 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