2022年线性代数试题和答案.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - Fpg 线性代数习题和答案第一部分 挑选题 共 28 分 一、单项挑选题（本大题共 14 小题,每道题 2 分,共 28 分）在每道题列出四个选项中只有一个是符合题目要求,请将其代码填在题后括号内；错选或未选均无分；1.设行列式 a 11 a 12=m,a 13 a 11=n,就行列式 a 11 a 12 a 13 等于（）a 21 a 22 a 23 a 21 a 21 a 22 a 23A. m+n B. - m+n C. n- m D. m - n 1 0 02.设矩阵 A= 0 2 0,就 A- 1等于（）0 0 31 0 03 1 0 0A. 0 1 0 B. 0 102 20 0 1 0 0 1311 0 00 0 23 1C. 0 1 0 D. 0 01 30 0 0 0 123 1 23.设矩阵 A= 1 0 1,A*是 A 相伴矩阵,就 A *中位于（ 1,2）元素是（）2 1 4A. 6 B. 6 C. 2 D. 2 4.设 A 是方阵,如有矩阵关系式 AB=AC ,就必有（）A. A =0 B. B C 时 A=0C. A 0 时 B=C D. |A| 0 时 B=C5.已知 3× 4 矩阵 A 行向量组线性无关,就秩（AT）等于（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组 1, 2, , s和 1, 2, , s 均线性相关,就（）A. 有不全为 0 数 1, 2, , s使 1 1+ 2 2+ + s s=0 和 1 1+ 2 2+ s s=0 B. 有不全为 0 数 1, 2, , s 使 1（ 1+ 1）+ 2（ 2+ 2） + + s（ s+ s）=0 C.有不全为 0 数 1, 2, , s 使 1（ 1- 1）+ 2（ 2- 2）+ + s（ s- s）=0 D. 有不全为 0 数 1, 2, , s 和不全为 0 数 1, 2, , s使 1 1+ 2 2+ + s s=0 和 1 1+ 2 2+ + s s=0 7.设矩阵 A 秩为 r,就 A 中（）A. 全部 r- 1 阶子式都不为 0 B. 全部 r- 1 阶子式全为 0 C.至少有一个 r 阶子式不等于 0 D. 全部 r 阶子式都不为 0 8.设 Ax=b 是一非齐次线性方程组, 1, 2 是其任意 2 个解,就以下结论错误是（）A. 1+ 2 是 Ax=0 一个解 B. 1 1+ 1 2 是 Ax=b 一个解2 2Fpg 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - Fpg C. 1- 2 是 Ax=0 一个解 D.2 1- 2 是 Ax=b 一个解9.设 n 阶方阵 A 不行逆,就必有（）A. 秩A<n B.秩A=n- 1 C.A=0 D.方程组 Ax=0 只有零解10.设 A 是一个 n3阶方阵,以下陈述中正确是（）A. 如存在数 和向量 使 A = ,就 是 A 属于特点值 特点向量B. 如存在数 和非零向量 ,使 E- A =0,就 是 A 特点值C.A 2 个不同特点值可以有同一个特点向量D. 如1,2,3 是 A 3 个互不相同特点值,1,2,3 依次是 A 属于1,2,3 特点向量,就1,2,3 有可能线性相关0线性无关特点向量个数为k,就必11.设0 是矩阵 A 特点方程3 重根, A 属于有（）A. k 3 B. k<3 C. k=3 12.设 A 是正交矩阵,就以下结论错误是（A.| A| 2 必为 1 C.A- 1=AT 13.设 A 是实对称矩阵,C 是实可逆矩阵,A. A 与 B 相像 B. A 与 B 不等价 C. A 与 B 有相同特点值 D. A 与 B 合同 14.以下矩阵中是正定矩阵为（）D. k>3 ）B.|A|必为 1 D.A 行（列）向量组是正交单位向量组 B=C TAC .就（）A.23其次部分B.343426100111C.023D.120035102非挑选题（共 72 分）二、填空题（本大题共10 小题,每道题2 分,共 20 分）不写解答过程,将正确答案写在每小题空格内；错填或不填均无分；1 1 115. 3 5 6 . 9 25 361 1 1 1 2 316.设 A=,B= .就 A+2B= . 1 1 1 1 2 417. 设 A =aij3 ×3 , |A|=2 , A ij 表 示 |A | 中 元 素 aij 代 数 余 子 式 （ i,j=1,2,3 ） , 就a11A 21+a12A 22+a13A23 2+a21A 21+a22A22+a23A 23 2+a31A 21+a32A 22+a33A 23 2= . 18.设向量（ 2,-3,5）与向量（ -4,6,a）线性相关,就 a= . 19.设 A 是 3× 4 矩阵,其秩为 3,如 1, 2为非齐次线性方程组 Ax=b 2 个不同解,就它通解为 . 20.设 A 是 m× n 矩阵, A 秩为 r<n ,就齐次线性方程组 数为 . Ax=0 一个基础解系中含有解个21.设向量 、 长度依次为2 和 3,就向量 + 与 - 内积（ + , - ）= . . 22.设 3 阶矩阵 A 行列式 |A |=8,已知 A 有 2 个特点值 - 1 和 4,就另一特点值为Fpg 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - Fpg 01062 所对应特点值. 23.设矩阵A =133,已知 =1是它一个特点向量,就21082为. 24.设实二次型fx 1,x2,x3,x4,x5秩为 4,正惯性指数为3,就其规范形为三、运算题（本大题共7 小题,每道题6 分,共 42 分）25.设 A=120,B=231.求（ 1）ABT；（2） |4A |. 340240121311226.试运算行列式5134. 2011153342327.设矩阵 A =110,求矩阵 B 使其满意矩阵方程AB =A+2B. 123213028.给定向量组 1=1,2=3,3=0,4=1. 02243419试判定 4是否为 1, 2,3 线性组合；如是,就求出组合系数；1210229.设矩阵 A =24266. 2102333334求：（1）秩（ A ）；（ 2）A 列向量组一个最大线性无关组02230.设矩阵 A=234全部特点值为1,1 和- 8.求正交矩阵T 和对角矩阵D,使 T- 1AT =D. 24331.试用配方法化以下二次型为标准形Fpg 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - Fpg fx 1,x2,x3= x2 12x2 23x2 34x x24x x34x2x3,并写出所用满秩线性变换；四、证明题32.设方阵 A 满意 A3=0,试证明 E- A 可逆,且（ E- A）- 1=E+A +A2. Ax=0 一个基础解系.33.设0 是非齐次线性方程组Ax=b一个特解, 1,2 是其导出组试证明（1）1=0+1,2=0+2 均是 Ax=b 解；（2）0,1,2 线性无关；答案：一、单项挑选题（本大题共 14 小题,每道题 2 分,共 28 分）1.D 2.B 3.B 4.D 5.C 6.D 7.C 8.A 9.A 10.B 11.A 12.B 13.D 14.C 二、填空题（本大题共 10 空,每空 2 分,共 20 分）15. 6 3 3 716. 1 3 717. 4 18. 10 19. 1+c 2- 1（或 2+c 2- 1）,c 为任意常数20. n- r 21. 5 22. 2 23. 1 24. z 1 2 z 22 z 23 z 24三、运算题（本大题共 7 小题,每道题 6 分,共 42 分）Fpg 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - Fpg 25.解（1）ABT=120. 22340341211086=1810310（2）|4A|=43|A |=64|A|,而|A |=1202 . 340121所以 |4A|=64· （ - 2）=- 128 26.解31125111.35134111312011001015335530511=1111550=51162301040.27.解62055550AB =A +2B 即（ A- 2E）B=A,而2231143（A - 2E）- 1=1101531211641434228.解一所以B= A- 2E- 1A=153110164123386=296.212921300532130113010224011234190131121035103501120112008800110014140000Fpg 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - Fpg 解二29.解10020101,00110000所以 4=21+2+3,组合系数为（2, 1,1）. 考虑 4=x11+x2 2+x 33,2x1x23 x30即x123x2312x2x43 x14x2x39 .方程组有唯独解（2,1, 1）T,组合系数为（2, 1,1）. 对矩阵 A 施行初等行变换12102A00062032820963212102121020328303283=B. 000620003100021700000（1）秩（ B）=3,所以秩（ A ）=秩（ B）=3. （2）由于 A 与 B 列向量组有相同线性关系,而B 是阶梯形, B 第 1、2、4 列是B 列向量组一个最大线性无关组,故 个最大线性无关组；A 第 1、2、4 列是 A 列向量组一（A 第 1、2、5 列或 1、3、4 列,或 1、3、5 列也是）30.解A 属于特点值=1 2 个线性无关特点向量为. 1=（2,- 1,0）T,2=（2,0, 1）T. 2 5 52 5 15经正交标准化,得1=5 5,2=4 5 1505 3 =-8 一个特点向量为11 31 3. 3=2,经单位化得 3=2/3.22 32 5 52 15 15所求正交矩阵为T=5 54 5 152 305 32 3100对角矩阵D=010.008Fpg 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - Fpg 2 5 52 15 151 3l 0=0 . （也可取 T=05 32 3.）5 54 5 152 331.解fx 1,x2,x 3=（x 1+2x 2- 2x3）2- 2x2 2+4x 2x3- 7x3 2=（x 1+2x2- 2x3）2- 2（ x2-x3）2- 5x32. y1x12 x22x3x1y12y2设y2x2x3,即x2y2y3,y3x3x3y3120因其系数矩阵C=011可逆,故此线性变换满秩；001经此变换即得fx 1,x2,x3标准形y1 2- 2y2 2- 5y3 2 . 四、证明题（本大题共2 小题,每道题5 分,共 10 分）32.证由于（ E- A）（ E+A +A2）=E- A 3=E,所以 E- A 可逆,且（E- A ）- 1= E+A+A2 . 33.证由假设 A0=b, A1=0,A2=0. （1）A1=A （0+1）=A0+A1=b,同理 A2= b,所以 1,2 是 Ax =b 2 个解；（2）考虑 l00+l 11+l 22=0,即（l 0+l1+l 2）0+l 11+l 22=0. 就 l0+l 1+l2=0,否就 0 将是 Ax =0 解,冲突；所以l11+l22=0. 又由假设, 1,2 线性无关,所以l1=0,l2=0,从而所以 0,1,2 线性无关；Fpg 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页
