2022年等差数列典型例题及分析.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第四章 数列 例 1 已知数列 1,4, 7,10, , 3n+7, 其中后一项比前一项大 3. （1）指出这个数列的通项公式；（ 2）指出 1+4+ +（3n5）是该数列的前几项之和 .正解：（1）an=3n2;2 1+4+ +（3n5）是该数列的前n1 项的和 .1； 例 2 已知数列a n的前 n 项之和为Sn2n2nSnn2n求数列an的通项公式；正解 ：当n1时,a1S 11当n2时,a n2n2n2n1 2n1 4 n3经检验n1 时a 11也适合,an4n3当n1时,a 1S 13当n2时,a nn2n1n12n112nan3n12 nn2 例 3 已知等差数列an的前 n 项之和记为Sn,S10=10 ,S30=70,就 S40等于正解 ：由题意：10a1109dd10得a12,d2230a13029705152代入得 S40 40 a 14023940 d120；|an|的前 n 项和； 例 5 已知一个等差数列a n的通项公式an=255n,求数列正解 ：n4525n 5 50,n5205nn,n62 例 6 已知一个等差数列的前10 项的和是 310,前 20 项的和是 1220,名师归纳总结 由此可以确定求其前n 项和的公式吗？lg20 .3010）nN（1） 问前多少项之和为第 1 页,共 8 页 例 7 已知：an1024lg1 2n（- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 最学习必备欢迎下载大？（ 2）前多少项之和的肯定值最小？解 ：（ 1 ）a n11024 1n lg201024n1024013401n3403a n1024nlg20lg2lg2n3402q0的两根, 求证此（2）Sn1024 nn n1 lg2 02当Sn0或S n近于 0 时其和肯定值最小令：S n0即 1024+n n1lg2 02得：n204816804. 99lg2nNn6805 例 8 项数是2 n的等差数列, 中间两项为a 和a n1是方程x2px数列的和S2是方程lg2xlgn2lgp2lgxlgnlgp2的根；（S 2n0）证明： 依题意ana n1pa 1a 2nanan1pS 2n2na 12a2nnplg2xlgn2lgp2lgxlgnlgp 20lgxlgnp20xnpS 2n（获证）；四、典型习题导练名师归纳总结 1已知a13 且anS n12n,求a 及S ；21,求证：nn1 ann1 2；第 2 页,共 8 页2设an122334n n223. 求和 : 111211312123n4. 求和： 10029929829724232221 25. 已知a,b,c依次成等差数列,求证：a2bc,bac,c2ab依次成等差数列.6. 在等差数列an中,a 5a 1340,就a8a9a10（）；A72 B 60 C48 D36- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 7. 已知an是等差数列,且满意am学习必备n欢迎下载n,就amn等于 _；n,am m8. 已知数列a n12成等差数列,且a311,a513,求a 的值；67§ 4.2 等比数列的通项与求和三、经典例题导讲 例 1已知数列an的前 n 项之和 Sn=aq n（a0,q,1q为非零常数） ,就a n为（）；A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列,也不是等比数列 D.既是等差数列,又是等比数列 正解 ：当 n1 时, a1=S1aq; 名师归纳总结 当 n>1 时,anSnS n1aqn1q1 第 3 页,共 8 页an 1q（常数）an但a2q1qa 1an既不是等差数列,也不是等比数列,选C； 例 2已知等比数列a n的前 n 项和记为 Sn,S10=10 ,S30=70,就 S40等于 . 错解 ：S30= S 10·q 2. q 27,q7 , S 40= S 30·q =707. 错因：是将等比数列中Sm, S2m Sm, S3m S2m成等比数列误会为Sm, S2m, S3m成等比数列 . 正解 ：由题意：a 1 1q1010得1a 1q103 舍去,1qa 1 1q3070102 或q10q1qS40=1a1（1qq40）200. 例 3求和： a+a2+a 3+ +a n. 错解 ： a+a2+a 3+ +a n1an. 1a错因：是（ 1）数列 an不肯定是等比数列,不能直接套用等比数列前n 项和公式（ 2）用- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 等比数列前n 项和公式应争论学习必备欢迎下载q 是否等于 1. 正解 ：当 a0 时, a+a 2+a 3+ +a n0; 当 a1 时, a+a 2+a 3+ +a nn; 当 a1 时, a+a2+a 3+ +a n1an. 2 bacdb2c20,1a 例 4 设a ,b,c,d均为非零实数,a2b2d2求证：a,b,c成等比数列且公比为d ；证明：名师归纳总结 证法一 ：关于 d 的二次方程a2b2d22 bacdb2c20有实根,第 4 页,共 8 页4b2ac24a2b2b2c20,b2ac20就必有：b2ac0,即b2ac,非零实数a,b,c成等比数列0；设公比为 q,就baq,caq2代入a2a2q2d22 aqaaq2da2q2a2q40q21a20,即d22qdq20,即dq证法二： a2b2d22 bacdb2c20a2d22abdb2b2d22 bcdc20adb2bdc20,adb,且bdca,b,c,d非零,bcd；ab2187 例 5 在等比数列b n中,b 43,求该数列前7 项之积；解：b 1b 2b3b4b5b 6b7b 1 b7b2b6b3b 5b 4b 42b 1b 7b 2b 6b 3b 5,前七项之积323337 例 6 求数列n1前 n 项和n 2解：S n11213131n12482n1S n1121 n1n111 248162n2n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 两式相减：1 2学习必备欢迎下载n111 11nS n111122 1n2482nn 212n12S n2 112n1211n2nn2n2n1kg 盐水,然后加入1kg 水,以后每 例 7 从盛有质量分数为20%的盐水 2kg 的容器中倒出次都倒出 1kg 盐水,然后再加入 1kg 水,问： 1 第 5 次倒出的的 1kg 盐水中含盐多 kg？ 2 经 6 次倒出后,一共倒出多少 kg 盐？此时加 1kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？解： 1 每次倒出的盐的质量所成的数列为 an ,就：a1= 0.2 （kg）, a2= 1 × 0.2 （kg）, a3= 1 2× 0.2 （kg）2 2由此可见： an= 1 n1× 0.2 （kg）, a5= 1 51× 0.2= 1 4× 0.2=0.0125 （kg）；2 2 2 2 由1 得 an 是等比数列 a1=0.2 , q= 121S 6 a 1 1 q 6 0 2. 12 6 0 . 39375 kg 1 q 1 120 . 4 0 . 39375 0 . 00625 kg 0 . 00625 2 0 . 003125 kg 答：第 5 次倒出的的 1kg 盐水中含盐 0.0125kg；6 次倒出后,一共倒出 0.39375kg盐,此时加 1kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为 0.003125；四、典型习题导练1. 求以下各等比数列的通项公式：1a1= 2, a3= 8 ,100,求a 18. 2a1=5, 且 2an+1= 3an3a1=5, 且ann1nn1a2. 在等比数列an,已知a 15,a9a103. 已知无穷数列012n1,105, 105, 105,105求证：（1）这个数列成等比数列名师归纳总结 （2）这个数列中的任哪一项它后面第五项的1 ,10第 5 页,共 8 页（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中；0求此数列前 n 项的和；4. 设数列an为,12x3,x2 4x3nxn1x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载5. 已知数列 an 中, a1= 2 且 an+1=Sn,求 an , Sn6. 是否存在数列 an ,其前项和Sn组成的数列 Sn 也是等比数列,且公比相同？7. 在等比数列an中,a1 a336,a 2a460,S n400,求 n 的范畴；§ 4.3 数列的综合应用三、经典例题导讲log 例1 设an是 由 正 数 组 成 的 等 比 数 列 , Sn是 其 前n项 和 . 证 明 ：1S nlog1S n2222log1S n1；2log1S nlog1S n2错解： 欲证222log1S n12只需证log1S nlog1S n2 2log1S n1222即证：log1S nS n2log12 S n122由对数函数的单调性,只需证SnS n2S n 21S nSn2S n 212 a 1 1qn 12qn22 a 11qn12 1q 1q 22 a 1qn0S nSn22 S n1原不等式成立 . 名师归纳总结 错因：在利用等比数列前n 项和公式时,忽视了q1 的情形 . 第 6 页,共 8 页log1S nlog1S n21正解 ：欲证222log1S n22 S n1只需证log1S nlog1S n2 2log1S n1222即证：log1S nS n2log12 S n122由对数函数的单调性,只需证SnS n2由已知数列a n是由正数组成的等比数列,q >0,a 10. 如q1, - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就S nS n22 S n1na1n2a学习必备1 欢迎下载a20；1na121如q1, 2 a 1 11qn 12qn22 a 1 1qn12S nS n2S n 21S n 21q1q 22 a 1qn0S nSn2原不等式成立 . 例 4 求数列11,14,17,110,a11 3 n2 ,的前 n 项和；aa2a3n11 3 n2 解：设数列的通项为an,前 n 项和为 Sn,就ananS n 111a11143 n2 7aa2nn当a1时,Snn 13 n2n3 n222an1 3 n1n当a1时,S n11 13 n2 nn a112anan12a前 n 项和1n11 例 5 求数列162,263,364,n61 ,nn11解：设数列的通项为bn,就bnnn1 61nS nb 1b 2b n6 1111 322n6 1n116nn1212nN, 例 6 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn,且S na n求数列 an 的前 n 项和名师归纳总结 解：取 n =1,就a 1a 1212a 11第 7 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又由S nn a 12an学习必备n 欢迎下载nan212可得：a 1a2an1nN*an2n1k 层的暂时会议室开会,问Sn1352n1 n2 例 7 大楼共 n 层,现每层指定一人, 共 n 人集中到设在第k 如何确定能使n 位参与人员上、下楼梯所走的路程总和最短；（假定相邻两层楼梯长相等）解：设相邻两层楼梯长为a,就nkSa12k1 012a k2n1kn22n当 n 为奇数时,取kn12S 达到最小值2 或n当 n 为偶数时,取n2S 达到最大值k2四、典型习题导练3已知数列an中,S 是它的前 n 项和,并且S n14an2,a 11（1） 设bnan12an,求证数列bn是等比数列；（2） 设c nan,求证数列cn是等差数列；2n4. 在 ABC中,三边a,b,c成等差数列,a,b,c也成等差数列, 求证 ABC为正三角形；5 三数成等比数列,如将第三个数减去32,就成等差数列,如再将这等差数列的其次个数减去 4,就又成等比数列,求原先三个数；名师归纳总结 6. 已 知2是 一 次 函 数 , 其 图 象 过 点, 又成 等 差 数 列 , 求第 8 页,共 8 页f 1 ffn 的值 . - - - - - - -