2022年等差等比数列知识点梳理及经典例题.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 数列学问点梳理及经典习题 出题人：李老师A、等差数列学问点及经典例题一、数列由 a 与 S 的关系求 a n由 S 求 a 时,要分 n=1 和 n2 两种情形争论,然后验证两种情形可否用统一的解析式表示,如不能,就用分段S 1 n 1函数的形式表示为 a n；S n S n 1 n 2例 依据以下条件,确定数列 a n 的通项公式；分析：（1）可用构造等比数列法求解；（2）可转化后利用累乘法求解；（3）将无理问题有理化,而后利用a 与S 的关系求解；解答：（1）（2）累乘可得,故（3）1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二、等差数列及其前n 项和数列学问点梳理及经典习题出题人：李老师（一）等差数列的判定1、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义,anan1d常数n2,其次种是利用等差中项,即2ana n1a n1n2；2、解挑选题、填空题时,亦可用通项或前n 项和直接判定；a 是等（1）通项法：如数列a 的通项公式为n 的一次函数,即a =An+B,就a 是等差数列；（2）前 n 项和法：如数列a 的前 n 项和S 是S nAn2Bn 的形式（ A,B 是常数）,就 差数列；注： 如判定一个数列不是等差数列,就只需说明任意连续三项不是等差数列即可；例 已知数列 a 的前 n 项和为S ,且满意S nS n12S S n n10n2,a 11 是以1=1=22（1）求证： 1 S n 是等差数列；11的关系结论；（2）求a 的表达式；分析： （1）S nS n12S ng S n101与S nS n（2）由1 S n的关系式S 的关系式an+2=0,即1 S n-11=2（n2）. 1 S n解答：（1）等式两边同除以S ng S n1得11-1 S nS nS nS 1a 1为首项,以2 为公差的等差数列；2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 又数列学问点梳理及经典习题, 当 n 2 时,出题人：李老师1；（2）由（1）知1 S n=1+（n-1 ）d=2+n-1 × 2=2n, S =1 2na =2S ·S n1=12 n nS 1a 11,不适合上式,故a n11 n1；221n22 n n【例】已知数列 an的各项均为正数,a11,2a12pa 2 1a1p,即 22p1p,得 p1. 于是 2Sn2a 2nan1. a11.其前 n 项和 Sn 满意 2Sn 2pa2nan ppR,就 an的通项公式为 _当 n2 时,有 2Sn12a2 n1an1 1,两式相减,得2an2a 2 n2a 2 n1anan1,整理,得2anan1 ·anan11 20. an1n1 ·2n1.又an>0,anan11 2,于是 an 是等差数列,故（二）等差数列的基本运算个量1、等差数列的通项公式a =1a +（n-1 ）d 及前 n 项和公式S nn a 12anna 1n n1d ,共涉及五21a ,a , d,n, S , “ 知三求二” ,表达了用方程的思想 解决问题；2、数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用,而1a 和 d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法；注： 由于S ndna 1da 1n1d,故数列 S nn 是等差数列；,且x ,14x ,5x 成等差数n222例 已知数列 x 的首项1x =3,通项nx2npnq nN,p q为常数列；求：（1）p q 的值；（2）数列 x 的前 n 项和 S 的公式；3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 分析： （1）由1x =3 与x ,1数列学问点梳理及经典习题出题人：李老师x ,5x 成等差数列列出方程组即可求出p q ；（ 2）通过nx 利用条件分成两个可求和的数列分别求和；解答 ：（ 1）由1x =3 得 2pq3 5 2p8 q 又x 424p4 , q x 55 2p5 ,且x 1x52x4,得35 2p5 q由联立得p1,q1；（2）由（ 1）得,x n2nn（三）等差数列的性质1、等差数列的单调性：等差数列公差为d,如 d>0, 就数列递增；如d<0, 就数列递减；如d=0, 就数列为常数列； 2、等差数列的简洁性质：略典型例题1等差数列an中, 如S n25,S 2n100,就S3n225；（ A ）2. （厦门）在等差数列a n中,a2a 84, 就 其前 9 项的和 S9等于A18 B 27 C 36 D 9 3、（全国卷理）设等差数列a n的前 n 项和为S ,如S 972, 就a2a4a = 24 ,就使得an为整数4、等差数列 a n 的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,就它的前3m 项和为 C A130 B170 C210 D160 7n455. 湖北卷 已知两个等差数列a n和 b n的前 n 项和分别为An 和B ,且A nB nn3b n的正整数 n 的个数是（D ）A2 B3 C4 D5 6、在数列 an中,如 a11, an 12an3n 1,就该数列的通项an _. 由 an12an3,就有 an 13 2an 3,4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 数列学问点梳理及经典习题 出题人：李老师即an132. an3所以数列 an3 是以 a13 为首项、公比为 2 的等比数列,即 an 34·2 n12 n1,所以 an2 n13. 7、已知方程 x2 2x mx22x n 0 的四个根组成一个首项为14的等差数列,就 |m n|的值等于 _如下列图,易知抛物线 yx22xm 与 y x2 2xn 有相同的对称轴 x 1,它们与 x 轴的四个交点依次为 A、B、C、D. 由于 xA1 4,就 xD7 4. 又|AB|BC|CD |,所以 xB3 4,xC5 4. 故|mn|1 4× 7 43 4× 5 4|1 2. 8、 在等差数列 an中, a1 3,11a55a8 13,就数列 an的前 n 项和 Sn 的最小值为 _设公差为 d,就 1134d537d 13,d5 9. 数列 an为递增数列令 an0, 3n 1 ·5 9 0, n32 5,nN*. 前 6 项均为负值, Sn 的最小值为S629 3 . S 和T ,且满意S n7n3,就a 8 6 . 6. 如两个等差数列a n和nb的前 n 项和分别为T nn3b 85 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 数列学问点梳理及经典习题bn的前 n 项和公式出题人：李老师7（北京卷）（ 16）（本小题共13 分）已知an为等差数列,且a36,a 60；（）求an的通项公式；（）如等差数列bn满意b 18,b 2a 1a2a ,求解：（）设等差数列a n的公差 d ；由于a 36,a60所以a 12 d06解得a 110,d2a 15 d所以a n10n1 22n12（）设等比数列nb的公比为 q由于b 2a 1a2a324,b8所以8q24即 q =3 所以 bn的前 n 项和公式为S nb 11qn41n 3 1q等差数列的最值：如 a n是等差数列,求前n 项和的最值时,S 关于 n 的二次函数最值问题,利用二次（1）如 a1>0,d>0, 且满意a n100,前 n 项和S 最大；a n（2）如 a1<0,d>0 ,且满意a n100,前 n 项和S 最小；a n（3）除上面方法外,仍可将a n的前 n 项和的最值问题看作函数的图象或配方法求解,留意nN；例 已知数列 a n是等差数列；（1）如a mn anm mn ,求am n;（2）如S mn S nm mn ,求S m n.6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 数列学问点梳理及经典习题 出题人：李老师解答： 设首项为 1a ,公差为 d ,（1）由 a m n a n m ,d n m1m na m n a m m n m d n n 1 0.m na 1 n n 1d a 1 n 2 m 2 mn m n（2）由已知可得 2 , 解得 mn .n ma 1 m m 1 d d 2 m n 2 mn m n m n 1S m n m n a 1 d m n 2【例】已知数列 an 的各项均为正数,Sn 为其前 n 项和,对于任意的 nN*,满意关系式 2Sn3an3. 1求数列 an 的通项公式；1解2设数列 bn 的通项公式是bn1,前 n 项和为 Tn,求证： 对于任意的正整数n,总有 Tn<1. log3an·log3an 1当 n1 时,由 2Sn3an3 得, 2a13a13,a13. 当 n2 时,由 2Sn 3an3 得,2Sn13an13. 两式相减得： 2SnSn13an3an1,即 2an3an3an 1,an3an1,又 a13 0,an 是等比数列, an3 n. 验证：当 n 1 时, a13 也适合 an 3 n. an的通项公式为 an 3 n. 1 12证明bnlog3an·log 3an1log 33 n·log 33 n1n1n1 nn1,1Tnb1b2 bn11 211 3 1n1 11n 1<1. 1等差数列习题1. 设 an为等差数列,Sn 为 an的前 n 项和, S77, S1575,已知 Tn 为数列Sn n的前 n 项数,求 Tn2已知数列an是等差数列,其前n 项和为S ,a36,S 312（）求数列an的通项公式； （）求111S 1S 2Sn12.解：设数列 an的公差为d,就 Snna11 2n（n 1）d7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 数列学问点梳理及经典习题2,公差为出题人：李老师S77,S15 75,7a121d7 15a1105d75,a1 2 d1 1 2,Sn na11 2· （n1）d 21 2· （n 1）Sn+1 n1Sn n1数列Sn n是等差数列,其首项为2Tnn· 2 n（ n1）2·1 21 4n29 4n6,解得a 12 d14解：（）设数列an的公差为,由题意得方程组3 a 1322d12a 12,数列an的通项公式为a na1n1d2n,即a n2 nd2（）a n2 n,S nna 12annn1 111112213n 11 S 1S 2S nn 111111n111n11223nB、等比数列学问点及练习题 等比数列及其前 n 项和（一）等比数列的判定 判定方法有 ：（1）定义法：如an1q q 为非零常数或an1nq q为非零常数且n2 ,就a n是等比数列；是a nan（2）中项公式法：如数列a n中,a n0且a2n1a ng an2nN,就数列a n是等比数列；（ 3）通项公式法：如数列通项公式可写成ancq , c q 均为不为0 的常数,nN,就数列a n等比数列；（4）前 n 项和公式法：如数列a n的前 n 项和S nk qnk k为常数且k0,q0,1,就数列a n是等比数列；注： （1）前两种方法是判定等比数列的常用方法,而后两种方法常用于挑选、填空中的判定；（ 2）如 要判定一个数列不是等比数列,就只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可；8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 数列学问点梳理及经典习题n n出题人：李老师例 在数列a n中,a 12,a n14a n3 n1,nN；N ；又a 111,所以数列a nn（1）证明数列a nn 是等比数列；（2）求数列a n的前 n 项和S ；（3）证明不等式S n14S 对任意 nN 皆成立；解答：（1）由题设an14a n3n1,得a n1n14an是首项为 1,且公比为4 的等比数列；a n4n1n ；所以数列a n的前 n 项和（2）由（ 1）可知a nn4n1,于是数列a n的通项公式为S n4n11n n1；321 232 nn40, 所 以 不 等 式（3）对任意的 nN ,S n14S n4n11n1n244n1n n13232S n14 S 对任意 nN皆成立；（二）等比数列的的运算等比数列基本量的运算是等比数列中一类基本问题,数列中有五个量 a , n , q ,a ,S ,明显,“ 知三求二” ,通常 列方程（组） 求解问题；解决此类问题的关键是娴熟把握等比数列的有关公式,在运算过程中,仍应善于运用 整体代换思想 简化运算的过程；注： 在使用等比数列的前 n 项和公式时,应依据 公比 q 的情形进行分类讨 论,切不行忽视 q 的取值而盲目用求和公式；例 设数列 b n 的前 n 项和为 S ,且 nb=2-2 S ；数列 a n 为等差数列,且 a 6 14, a 7 20；（1）求数列 b n 的通项公式；（2）如 c n a n g b n N ,T 为数列 c n 的前 n 项和,求证：T n 7；【放缩法】2解答： （1）由 b =2-2 S ,得 b 1 2 2 S ,又 1S = 1b ,所以 1b =2,由 b =2-2 S 3得 b n 1 2 2 S n 1 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 数列学问点梳理及经典习题 出题人：李老师- 得 b n 1 b n 2 b n 1,nb 是以2 为首项,以 1 为公比的等比3 3数列,所以 b =2· 1 n ；3 3（ 2 ） a n 为 等 差 数 列 , d a 7 a 5 3, 从 而7 5T n 22 g 15 1 28 1 3L 3 n 1 1 n 3 3 3 31T n 22 1 25 1 38 1 4L 3 n 4 1 n3 n 1 1 n 1 3 3 3 3 3 3- 得=（三）等比数列性质的应用在等比数列中常用的性质主要有：（ 1）对于任意的正整数如,就特殊地,如；就（2）对于任意正整数有ca c0 ,；2 an,1也是等比数列,如b n是等比数列,（3）如数列a n是等比数列,就a na na b n n也是等比数列；10名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - （4）数列数列学问点梳理及经典习题出题人：李老师仍成等比数列；（5）数列是等比数列（ q -1 ）；（ 6）等比数列的单调性注： 等比数列中全部奇数项的符号相同,全部偶数项的符号也相同；1. （全国卷 2 理数）（4）. 假如等差数列a n中,a 3a4a512,那么a 1a2.a7（A）14 （B）21 （C）28 （D）35 S 37, 就S 5【考查点】考查等差数列的基本公式和性质. 【解析】a 3a4a 53 a412,a 44,a 1a2La 77a 12a77a 4282.（辽宁理数） （6）设 an 是有正数组成的等比数列,S 为其前 n 项和；已知a2a4=1, 153133177, 联 力 两 式 有（A）2 B4 C4 D2【考查点】等比数列的通项公式与前n 项和公式；【 解 析 】 由a2a4=1可 得2 a q41, 因 此a 11, 又 因 为S 3a 11qq2q213120,所以 q=1S 541131,5 2114qq 15 ；2 , 所以2 3.（辽宁卷）（14）设S 为等差数列 an的前 n 项和,如S 33,S 624,就a 9解：S 33a 1322d3, 解得a 121,a9a 18d15.S 66a 1625d24d11名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 数列学问点梳理及经典习题出题人：李老师nN*.4.（天津卷）（15）设 a n 是等比数列,公比q2,Sn 为a n 的前 n 项和；记T n17S n1S 2n,na n设T n 0为数列 T 的最大项,就0n= ；【解析】此题主要考查了等比数列的前n 项和公式与通项及平均值不等式的应用,属于中等题；T n17 1 2 1 na 11 22n112. 22n17 2n16112.2n16121217a 1 2n 2n 2由于 2n16n8,当且仅当 2n=4,即 n=4 时取等号,所以当n0=4 时 Tn有最大值； 25.（上海卷） 已知数列a n的前n项和为S ,且S nn5an85,nN*1 证明：a n1是等比数列；2 求数列S n的通项公式,并求出访得S n1S 成立的最小正整数n . 解析： 1 当 n 1 时, a114；当 n2 时, an Sn Sn15an 5an1 1,所以an15an11,6又 a1 115 0,所以数列 an 1 是等比数列；2 由1 知：a n1155n1,得an1155n1,从而S n755n1n90 n N* ；666由 Sn1>Sn,得5n12,nlog52114.9,最小正整数n 1525656【其他考点题】1、设 an（ nN *）是等差数列,Sn 是其前 n 项的和,且S 5S ,S 6S 7S ,就以下结论错误选项（C）A. d0 B. a70 C.S9S5D.S6与 S7均为 Sn的最大值解析：由 S5<S6得 a1+a2+a3+ +a5<a1+a2+ +a5+a6, a6>0,又 S6=S7,a1+a2+ +a6=a1+a2+ +a6+a7, a7=0,由S7>S8,得 a8<0,而 C选项 S9>S5,即 a6+a7+a8+a9>02（a7+a8）>0,由题设 a7=0,a8<0,明显 C选项是错误的；2、 lim n123Ln（ C）D0 n2A 2 C 1 2B 4 12名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 数列学问点梳理及经典习题xy 0,那么出题人：李老师3、已知 a、b、c 成等比数列, a、x、b 和 b、y、c 都成等差数列,且ac的值为（ B ）；xy（A）1 （ B）2 （C）3 （D） 4 N4、已知等差数列a n的前n项和为S npn22nq p qR,n（）求 q 的值；（）如 a1 与 a5的等差中项为18,bn满意an2log2b ,求数列的 b n 前 n 项和；8 分 解法一：当n1时,a 1S 1p2q , 当n2时,anS nS n1pn22 nqp n2 12n1q2pnp2. Qa n是等差数列 , p2q2pp2, q0· · · · · · · · · · · · 4 分解法二：当n1时,a 1S 1p2q , 当n2时,anS nS n1pn22 nqp n2 12n1q2pmp2. 当n3时,a 1an12pnp22p n1p22p . a2p2q2p3p2q . 又a22p2p23p2, 所以3p2q3p2, 得q0. · · · · · · · · · · · · 4 分 解：Qa3a 12a 5,a318. 又a 36pp2, 6pp218, p4a n8n6· · · · · · · · · · · ·又an2log2b 得nb24n3. b 12,b n14 2n1 14 216, 即b n是等比数列；b n24n3所以数列b n的前n项和T nn 21 16 2 16 15n1. 1 1613名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页