2022年中考数学二轮复习资料动点型问题 .pdf

2014年中考数学二轮复习精品资料动点型问题一、中考专题诠释所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。三、中考考点精讲考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.例 1（2013?兰州）如图，动点P 从点 A 出发，沿线段AB 运动至点B 后，立即按原路返回，点 P 在运动过程中速度不变，则以点B 为圆心，线段BP 长为半径的圆的面积S 与点 P的运动时间t 的函数图象大致为（）ABCD思路分析：分析动点P 的运动过程，采用定量分析手段，求出S 与 t 的函数关系式，根据关系式可以得出结论解：不妨设线段AB 长度为 1 个单位，点P 的运动速度为1 个单位，则：（1）当点 P 在 AB段运动时，PB=1-t，S=（1-t）2（0t1）；（2）当点 P 在 BA段运动时，PB=t-1，S=（t-1）2（1t 2）综上，整个运动过程中，S 与 t 的函数关系式为：S=（t-1）2（0t 2），这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线结合题中各选项，只有B 符合要求故选 B点评：本题结合动点问题考查了二次函数的图象解题过程中求出了函数关系式，这是定量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择对应训练1（2013?白银）如图，O 的圆心在定角（0 180）的角平分线上运动，且O与 的两边相切，图中阴影部分的面积S 关于 O 的半径 r（r0）变化的函数图象大致是（）ABCD1C考点二：动态几何型题目点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题.它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题.这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.动态几何特点-问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。（一）点动问题例 2（2013?河北）如图，梯形 ABCD 中，ABDC，DE AB，CF AB，且 AE=EF=FB=5，DE=12 动点 P 从点 A 出发，沿折线 AD-DC-CB以每秒 1 个单位长的速度运动到点B 停止 设运动时间为t 秒，y=SEPF，则 y 与 t 的函数图象大致是（）ABCD思路分析：分三段考虑，点 P 在 AD 上运动，点 P 在 DC 上运动，点 P 在 BC 上运动，分别求出y 与 t 的函数表达式，继而可得出函数图象解：在 Rt ADE 中，AD=2213AEDE，在 Rt CFB 中，BC=2213BFCF，点 P 在 AD 上运动：过点 P 作 PMAB 于点 M，则 PM=APsin A=1213t，此时 y=12EFPM=3013t，为一次函数；点 P 在 DC 上运动，y=12EFDE=30；点 P 在 BC 上运动，过点P 作 PN AB 于点 N，则 PN=BPsin B=1213（AD+CD+BC-t）=12(31)13t，则 y=12EFPN=30(31)13t，为一次函数综上可得选项A 的图象符合故选 A点评：本题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是分段讨论y 与 t 的函数关系式，当然在考试过程中，建议同学们直接判断是一次函数还是二次函数，不需要按部就班的解出解析式对应训练2（2013?北京）如图，点P 是以 O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，AB=2 设弦 AP的长为 x，APO 的面积为y，则下列图象中，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是（）ABCD2A（二）线动问题例 3（2013?荆门）如右图所示，已知等腰梯形ABCD，ADBC，若动直线l 垂直于 BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S，BP 为 x，则 S 关于 x 的函数图象大致是（）ABCD思路分析：分三段考虑，当直线l 经过 BA 段时，直线 l 经过 AD 段时，直线 l 经过 DC段时，分别观察出面积变化的情况，然后结合选项即可得出答案解：当直线l 经过 BA 段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越快；直线 l 经过 DC 段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度保持不变；直线 l 经过 DC 段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越小；结合选项可得，A 选项的图象符合故选 A点评：本题考查了动点问题的函数图象，类似此类问题，有时候并不需要真正解出函数解析式，只要我们能判断面积增大的快慢就能选出答案对应训练3（2013?永州）如图所示，在矩形ABCD 中，垂直于对角线BD 的直线 l，从点 B 开始沿着线段 BD 匀速平移到D设直线 l 被矩形所截线段EF 的长度为 y，运动时间为t，则 y 关于 t的函数的大致图象是（）ABCD3A（三）面动问题例 4（2013?牡丹江）如图所示：边长分别为1 和 2 的两个正方形，其中一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内去掉小正方形后的面积为s，那么 s 与 t 的大致图象应为（）ABCD思路分析：根据题意，设小正方形运动的速度为V，分三个阶段；小正方形向右未完全穿入大正方形，小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，小正方形穿出大正方形，分别求出 S，可得答案解：根据题意，设小正方形运动的速度为V，分三个阶段；小正方形向右未完全穿入大正方形，S=2 2-Vt 1=4-Vt，小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，S=2 2-1 1=3，小正方形穿出大正方形，S=Vt1，分析选项可得，A 符合；故选 A点评：解决此类问题，注意将过程分成几个阶段，依次分析各个阶段得变化情况，进而综合可得整体得变化情况对应训练4（2013?衡阳）如图所示，半径为1 的圆和边长为3 的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（）ABCD4A 考点三：双动点问题动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为中考试题的热点中的热点，双动点问题对同学们获取信息和处理信息的能力要求更高高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动.例 5（2013?攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是梯形，ABCD，点 B（10，0），C（7，4）直线 l 经过 A，D 两点，且 sinDAB=22动点 P 在线段 AB 上从点 A 出发以每秒2 个单位的速度向点B 运动，同时动点Q 从点 B 出发以每秒5 个单位的速度沿 BCD的方向向点D 运动，过点P 作 PM 垂直于 x 轴，与折线ADC相交于点M，当 P，Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动设点P，Q 运动的时间为t秒（t 0），MPQ 的面积为S（1）点 A 的坐标为，直线 l 的解析式为；（2）试求点 Q 与点 M 相遇前 S 与 t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围；（3）试求（2）中当 t 为何值时，S 的值最大，并求出S 的最大值；（4）随着 P，Q 两点的运动，当点 M 在线段 DC 上运动时，设 PM 的延长线与直线l 相交于点 N，试探究：当t 为何值时，QMN 为等腰三角形？请直接写出t 的值思路分析：（1）利用梯形性质确定点D 的坐标，利用sinDAB=22特殊三角函数值，得到AOD 为等腰直角三角形，从而得到点A 的坐标；由点A、点 D 的坐标，利用待定系数法求出直线l 的解析式；（2）解答本问，需要弄清动点的运动过程：当 0t 1 时，如答图1 所示；当 1t 2 时，如答图2 所示；当 2t167时，如答图3 所示（3）本问考查二次函数与一次函数在指定区间上的极值，根据（2）中求出的S 表达式与取值范围，逐一讨论计算，最终确定S 的最大值；（4）QMN 为等腰三角形的情形有两种，需要分类讨论，避免漏解解：（1）C（7，4），ABCD，D（0，4）sin DAB=22，DAB=45 ，OA=OD=4，A（-4，0）设直线 l 的解析式为：y=kx+b，则有4-40bkb，解得：k=1，b=4，y=x+4 点 A 坐标为（-4，0），直线 l 的解析式为：y=x+4（2）在点 P、Q 运动的过程中：当 0t 1 时，如答图1 所示：过点 C 作 CFx 轴于点 F，则 CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5 过点 Q 作 QEx 轴于点 E，则 BE=BQ?cos CBF=5t?35=3tPE=PB-BE=（14-2t）-3t=14-5t，S=12PM?PE=12 2t （14-5t）=-5t2+14t；当 1t 2 时，如答图2 所示：过点 C、Q 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为F，E，则 CQ=5t-5，PE=AF-AP-EF=11-2t-（5t-5）=16-7t，S=12PM?PE=12 2t （16-7t）=-7t2+16t；当点 M 与点 Q 相遇时，DM+CQ=CD=7，即（2t-4）+（5t-5）=7，解得 t=167当 2t167时，如答图3 所示：MQ=CD-DM-CQ=7-（2t-4）-（5t-5）=16-7t，S=12PM?MQ=12 4（16-7t）=-14t+32（3）当 0t 1 时，S=-5t2+14t=-5（t-75）2+495，a=-5 0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=75，当 0t 1 时，S 随 t 的增大而增大，当 t=1 时，S 有最大值，最大值为9；当 1t 2 时，S=-7t2+16t=-7（t-87）2+647，a=-7 0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=87，当 t=87时，S 有最大值，最大值为647；当 2t167时，S=-14t+32 k=-14 0，S 随 t 的增大而减小又当 t=2 时，S=4；当 t=167时，S=0，0S 4综上所述，当t=87时，S 有最大值，最大值为647（4）QMN 为等腰三角形，有两种情形：如答图4 所示，点 M 在线段 CD 上，MQ=CD-DM-CQ=7-（2t-4）-（5t-5）=16-7t，MN=DM=2t-4，由 MN=MQ，得 16-7t=2t-4，解得 t=209；如答图5 所示，当点M 运动到 C 点，同时当Q 刚好运动至终点D，此时 QMN 为等腰三角形，t=125故当 t=209或 t=125时，QMN 为等腰三角形点评：本题是典型的运动型综合题，难度较大，解题关键是对动点运动过程有清晰的理解第（3）问中，考查了指定区间上的函数极值，增加了试题的难度；另外，分类讨论的思想贯穿（2）-（4）问始终，同学们需要认真理解并熟练掌握对应训练5（2013?长春）如图，在?ABCD 中，AB=13，BC=50，BC 边上的高为12 点 P 从点 B出发，沿 B-A-D-A 运动，沿 B-A 运动时的速度为每秒13 个单位长度，沿A-D-A 运动时的速度为每秒8 个单位长度点Q 从点 B 出发沿 BC 方向运动，速度为每秒5 个单位长度 P、Q 两点同时出发，当点 Q 到达点 C 时，P、Q 两点同时停止运动 设点 P 的运动时间为t（秒）连结 PQ（1）当点 P 沿 A-D-A 运动时，求AP 的长（用含t 的代数式表示）（2）连结 AQ，在点 P 沿 B-A-D 运动过程中，当点P 与点 B、点 A 不重合时，记APQ 的面积为 S求 S 与 t 之间的函数关系式（3）过点 Q 作 QR AB，交 AD 于点 R，连结 BR，如图在点P 沿 B-A-D 运动过程中，当线段 PQ 扫过的图形（阴影部分）被线段BR 分成面积相等的两部分时t 的值（4）设点 C、D 关于直线PQ 的对称点分别为C、D，直接写出CDBC 时 t 的值5解：（1）当点 P 沿 A-D 运动时，AP=8（t-1）=8t-8 当点 P 沿 D-A 运动时，AP=50 2-8（t-1）=108-8t（2）当点 P 与点 A 重合时，BP=AB，t=1 当点 P 与点 D 重合时，AP=AD，8t-8=50，t=294当 0t1 时，如图作过点 Q 作 QE AB 于点 ESABQ=12AB?QE=12BQ 12，QE=1212 513BQAB=6013S=-30t2+30t 当 1t 294时，如图S=12AP12=12(8t-8)12，S=48t-48；（3）当点 P 与点 R 重合时，AP=BQ，8t-8=5t，t=83当 0t 1 时，如图SBPM=SBQM，PM=QM AB QR，PBM=QRM，BPM=MQR，在 BPM 和 RQM 中PBMQRMBPMMQRPMQM，BPM RQM BP=RQ，RQ=AB，BP=AB 13t=13，解得：t=1 当 1t 83时，如图BR 平分阴影部分面积，P 与点 R 重合t=83当83t 294时，如图SABR=SQBR，SABRS四边形BQPRBR 不能把四边形ABQP 分成面积相等的两部分综上所述，当t=1 或83时，线段PQ 扫过的图形（阴影部分）被线段BR 分成面积相等的两部分（4）如图，当P 在 A-D 之间或 D-A 之间时，CD在 BC 上方且 CDBC 时，COQ=OQC COQ COQ，COQ=COQ，CQO=COQ，QC=OC，50-5t=50-8（t-1）+13，或 50-5t=8（t-1）-50+13，解得：t=7 或 t=9513当 P 在 A-D 之间或 D-A 之间，CD在 BC 下方且 CDBC 时，如图同理由菱形的性质可以得出：OD=PD，50-5t+13=8（t-1）-50，解得：t=12113当 t=7，t=9513，t=12113时，点 C、D 关于直线PQ 的对称点分别为C、D，且 CDBC 四、中考真题演练一、选择题1（2013?新疆）如图，RtABC 中，ACB=90，ABC=60，BC=2cm，D 为 BC 的中点，若动点E 以 1cm/s 的速度从 A 点出发，沿着ABA的方向运动，设E 点的运动时间为 t 秒（0t6），连接 DE，当 BDE 是直角三角形时，t 的值为（）A2 B2.5 或 3.5 C3.5 或 4.5 D2 或 3.5 或 4.5 1D 2（2013?安徽）图1 所示矩形ABCD 中，BC=x，CD=y，y 与 x 满足的反比例函数关系如图 2 所示，等腰直角三角形AEF 的斜边 EF 过 C 点，M 为 EF 的中点，则下列结论正确的是（）A当 x=3 时，ECEM B当 y=9 时，ECEM C当 x 增大时，EC?CF 的值增大D当 y 增大时，BE?DF 的值不变2D 3（2013?盘锦）如图，将边长为4 的正方形 ABCD 的一边 BC 与直角边分别是2 和 4 的 RtGEF 的一边 GF 重合正方形 ABCD 以每秒 1 个单位长度的速度沿GE 向右匀速运动，当点 A 和点 E 重合时正方形停止运动设正方形的运动时间为t 秒，正方形 ABCD 与 RtGEF重叠部分面积为s，则 s 关于 t 的函数图象为（）ABCD3B 4（2013?龙岩）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A（0，2），B（0，6），动点C 在直线y=x 上若以A、B、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C 的个数是（）A2 B3 C 4 D5 4B 5（2013?武汉）如图，E，F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点，满足AE=DF 连接 CF交 BD 于点 G，连接BE 交 AG 于点 H若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是5516（2013?连云港）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A、B 的坐标分别为（8，0）、（0，6）动点 Q 从点 O、动点 P 从点 A 同时出发，分别沿着OA 方向、AB 方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0t 5）以 P 为圆心，PA 长为半径的P 与 AB、OA 的另一个交点分别为C、D，连接 CD、QC（1）求当 t 为何值时，点Q 与点 D 重合？（2）设 QCD 的面积为S，试求 S 与 t 之间的函数关系式，并求S 的最大值；（3）若 P 与线段 QC 只有一个交点，请直接写出t 的取值范围6解：（1）A（8，0），B（0，6），OA=8，OB=6，AB=222286OAOB=10，cosBAO=45OAAB，sinBAO=35OBABAC 为 P 的直径，ACD 为直角三角形AD=AC?cos BAO=2t 45=85t当点 Q 与点 D 重合时，OQ+AD=OA，即：t+85t=8，解得：t=4013t=4013（秒）时，点Q 与点 D 重合（2）在 RtACD 中，CD=AC?sin BAO=2t 3655t当 0t 4013时，DQ=OA-OQ-AD=8-t-85t=8-135tS=12DQ?CD=12（8-135t）?65t=-3925t2+245t-2ba=2013，020134013，当 t=2013时，S 有最大值为4813；当4013t 5 时，DQ=OQ+AD-OA=t+85t-8=135t-8S=12DQ?CD=12（135t-8）?65t=3925t2-245t-2ba=2013，20134013，所以 S 随 t 的增大而增大，当 t=5 时，S 有最大值为154813综上所述，S 的最大值为15（3）当 CQ 与 P 相切时，有CQ AB，BAO=QAC，AOB=ACQ=90 ，ACQ AOB，ACACOAAB，28810tt，解得 t=167所以，P 与线段 QC 只有一个交点，t 的取值范围为0t 167或4013t 5 7（2013?宜昌）半径为 2cm 的与 O 边长为 2cm 的正方形ABCD 在水平直线l 的同侧，O 与 l 相切于点 F，DC 在 l 上（1）过点 B 作的一条切线BE，E 为切点填空：如图1，当点 A 在 O 上时，EBA 的度数是；如图 2，当 E，A，D 三点在同一直线上时，求线段OA 的长；（2）以正方形ABCD 的边 AD 与 OF 重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边 BC 与 OF 重合时结束移动，M，N 分别是边BC，AD 与 O 的公共点，求扇形MON 的面积的范围7解：（1）半径为2cm 的与 O 边长为 2cm 的正方形ABCD 在水平直线l 的同侧，当点 A 在 O 上时，过点B 作的一条切线BE，E 为切点，OB=4，EO=2，OEB=90 ，EBA 的度数是：30；如图 2，直线 l 与 O 相切于点 F，OFD=90 ，正方形ADCB 中，ADC=90 ，OF AD，OF=AD=2，四边形OFDA 为平行四边形，OFD=90 ，平行四边形OFDA 为矩形，DA AO，正方形ABCD 中，DA AB，O，A，B 三点在同一条直线上；EA OB，OEB=AOE，EOA BOE，OAOEOEOB，OE2=OA?OB，OA（2+OA）=4，解得：OA=-1 5，OA 0，OA=5-1；方法二：在 RtOAE 中，cos EOA=2OAOAOE，在 RtEOB 中，cos EOB=22OEOBOA，222OAOA，解得：OA=-1 5，OA 0，OA=5-1；方法三：OE EB，EAOB，由射影定理，得OE2=OA?OB，OA（2+OA）=4，解得：OA=-1 5，OA 0，OA=5-1；（2）如图 3，设 MON=n，S扇形MON=360n 22=90n（cm2），S 随 n 的增大而增大，MON 取最大值时，S扇形MON最大，当 MON 取最小值时，S扇形MON最小，如图，过O 点作 OK MN 于 K，MON=2 NOK，MN=2NK，在 RtONK 中，sinNOK=2NKNKON，NOK 随 NK 的增大而增大，MON 随 MN 的增大而增大，当 MN 最大时 MON 最大，当MN 最小时 MON 最小，当 N，M，A 分别与 D，B，O 重合时，MN 最大，MN=BD，MON=BOD=90 ，S扇形MON最大=（cm2），当 MN=DC=2时，MN 最小，ON=MN=OM，NOM=60，S扇形MON最小=23（cm2），23S扇形MON 故答案为：30 8（2013?重庆）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=12，BC=6，AD BD以AD 为斜边在平行四边形ABCD 的内部作RtAED，EAD=30 ，AED=90 （1）求 AED 的周长；（2）若 AED 以每秒2 个单位长度的速度沿DC 向右平行移动，得到A0E0D0，当 A0D0与 BC 重合时停止移动，设运动时间为t 秒，A0E0D0与 BDC 重叠的面积为S，请直接写出 S 与 t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）如图，在（2）中，当 AED 停止移动后得到BEC，将 BEC 绕点 C 按顺时针方向旋转 （0 180），在旋转过程中，B 的对应点为B1，E 的对应点为E1，设直线 B1E1与直线 BE 交于点 P、与直线CB 交于点 Q是否存在这样的，使 BPQ 为等腰三角形？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由8解：（1）四边形ABCD 是平行四边形，AD=BC=6 在 RtADE 中，AD=6，EAD=30 ，AE=AD?cos30=33，DE=AD?sin30=3，AED 的周长为：6+33+3=9+33（2）在 AED 向右平移的过程中：（I）当 0t 1.5 时，如答图1 所示，此时重叠部分为D0NKDD0=2t，ND0=DD0?sin30=t，NK=ND0?tan30=3t，S=SD0NK=12ND0?NK=12t?3t=32t2；（II）当 1.5 t 4.5时，如答图2 所示，此时重叠部分为四边形D0E0KN AA0=2t，A0B=AB-AA0=12-2t，A0N=12A0B=6-t，NK=A0N?tan30 =33（6-t）S=S四边形D0E0KN=SADE-SA0NK=12 3 33-12（6-t）33（6-t）=-36t2+23t-3 32；（III）当 4.5t 6 时，如答图3 所示，此时重叠部分为五边形D0IJKN AA0=2t，A0B=AB-AA0=12-2t=D0C，A0N=12A0B=6-t，D0N=6-（6-t）=t，BN=A0B?cos30=3（6-t）；易知 CI=BJ=A0B=D0C=12-2t，BI=BC-CI=2t-6，S=S梯 形BND0I-SBKJ=12t+（2t-6）?3（6-t）-12?（12-2t）?33（12-2t）=-13 36t2+203t-423综上所述，S 与 t 之间的函数关系式为：S=2223(01.5)233 3-2 3-(1.54.5)6213 3-20 3-42 3(4.56)6ttStttttt（3）存在 ，使 BPQ 为等腰三角形理由如下：经探究，得BPQ B1QC，故当 BPQ 为等腰三角形时，B1QC 也为等腰三角形（I）当 QB=QP 时（如答图4），则 QB1=QC，B1CQ=B1=30，即 BCB1=30，=30；（II）当 BQ=BP 时，则 B1Q=B1C，若点 Q 在线段 B1E1的延长线上时（如答图5），B1=30，B1CQ=B1QC=75 ，即 BCB1=75，=7 5 9（2013?遵义）如图，在RtABC 中，C=90，AC=4cm，BC=3cm 动点 M，N 从点C 同时出发，均以每秒1cm 的速度分别沿CA、CB 向终点 A，B 移动，同时动点P 从点 B出发，以每秒2cm 的速度沿BA 向终点 A 移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0 t2.5）（1）当 t 为何值时，以A，P，M 为顶点的三角形与ABC 相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC 的面积S 有最小值？若存在，求S 的最小值；若不存在，请说明理由9解：如图，在 Rt ABC 中，C=90，AC=4cm，BC=3cm 根据勾股定理，得22ACBC=5cm（1）以 A，P，M 为顶点的三角形与ABC 相似，分两种情况：当 AMP ABC 时，APAMACAB，即52445tt，解得 t=32；当 APM ABC 时，AMAPACAB，即45245tt，解得 t=0（不合题意，舍去）；综上所述，当t=32时，以 A、P、M 为顶点的三角形与ABC 相似；（2）存在某一时刻t，使四边形APNC 的面积 S 有最小值理由如下：假设存在某一时刻t，使四边形APNC 的面积 S 有最小值如图，过点P 作 PH BC 于点 H则 PHAC，PHBPACBA，即245PHt，PH=85t，S=SABC-SBPH，=12 3 4-12（3-t）?85t，=45（t-32）2+215（0t2.5）450，S 有最小值当 t=32时，S最小值=215答：当 t=32时，四边形APNC 的面积 S 有最小值，其最小值是21510（2013?苏州）如图，点O 为矩形 ABCD 的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点 E、F、G 分别从 A、B、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E 的运动速度为1cm/s，点 F 的运动速度为3cm/s，点 G 的运动速度为1.5cm/s，当点 F 到达点 C（即点 F与点 C 重合）时，三个点随之停止运动在运动过程中，EBF 关于直线EF 的对称图形是EB F设点 E、F、G 运动的时间为t（单位：s）（1）当 t=s 时，四边形EBFB 为正方形；（2）若以点 E、B、F 为顶点的三角形与以点F，C，G 为顶点的三角形相似，求t 的值；（3）是否存在实数t，使得点 B 与点 O 重合？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由10解：（1）若四边形EBFB 为正方形，则BE=BF，即：10-t=3t，解得 t=2.5；（2）分两种情况，讨论如下：若 EBF FCG，则有EBBFFCCG，即1031231.5tttt，解得：t=2.8；若 EBF GCF，则有EBBFCGFC，即1031.5123tttt，解得：t=-14-269（不合题意，舍去）或t=-14+269当 t=2.8s 或 t=（-14+269）s 时，以点E、B、F 为顶点的三角形与以点F，C，G 为顶点的三角形相似（3）假设存在实数t，使得点B 与点 O 重合如图，过点O 作 OM BC 于点 M，则在 RtOFM 中，OF=BF=3t，FM=12BC-BF=6-3t，OM=5，由勾股定理得：OM2+FM2=OF2，即：52+（6-3t）2=（3t）2解得：t=6136；过点 O 作 ONAB 于点 N，则在 Rt OEN 中，OE=BE=10-t，EN=BE-BN=10-t-5=5-t，ON=6，由勾股定理得：ON2+EN2=OE2，即：62+（5-t）2=（10-t）2解得：t=3.9 61363.9，不存在实数t，使得点B 与点 O 重合11（2013?吉林）如图，在RtABC 中，ACB=90，AC=6cm，BC=8cm 点 D、E、F分别是边AB、BC、AC 的中点，连接DE、DF，动点 P，Q 分别从点A、B 同时出发，运动速度均为1cm/s，点 P 沿 A F D 的方向运动到点D 停止；点 Q 沿 BC 的方向运动，当点P 停止运动时，点Q 也停止运动在运动过程中，过点Q 作 BC 的垂线交AB 于点 M，以点P，M，Q 为顶点作平行四边形PMQN 设平行四边形边形PMQN 与矩形 FDEC 重叠部分的面积为 y（cm2）（这里规定线段是面积为0 有几何图形），点 P 运动的时间为x（s）（1）当点 P 运动到点F 时，CQ=cm；（2）在点 P 从点 F 运动到点D 的过程中，某一时刻，点 P 落在 MQ 上，求此时 BQ 的长度；（3）当点 P 在线段 FD 上运动时，求y 与 x 之间的函数关系式11解：（1）当点 P 运动到点F 时，F 为 AC 的中点，AC=6cm，AF=FC=3cm，P 和 Q 的运动速度都是1cm/s，BQ=AF=3cm，CQ=8cm-3cm=5cm，故答案为：5（2）设在点 P 从点 F 运动到点D 的过程中，点 P 落在 MQ 上，如图 1，则 t+t-3=8，t=112，BQ 的长度为112 1=112（cm）；（3）D、E、F 分别是 AB、BC、AC 的中点，DE=12AC=12 6=3，DF=12BC=12 8=4，MQBC，BQM=C=90，QBM=CBA，MBQ ABC，BQMQBCAC，86xMQ，MQ=34x，分为三种情况：当3x 4 时，重叠部分图形为平行四边形，如图2，y=PN?PD=34x（7-x）即 y=-34x2+214x；当 4x 112时，重叠部分为矩形，如图3，y=3（8-X）-（X-3）即 y=-6x+33；当112x7 时，重叠部分图形为矩形，如图4，y=3（x-3）-（8-x）即 y=6x-33 12（2013?宁波）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（0，4），点B 的坐标为（4，0），点 C 的坐标为（-4，0），点 P 在射线 AB 上运动，连结CP 与 y 轴交于点 D，连结 BD过 P，D，B 三点作 Q 与 y 轴的另一个交点为E，延长 DQ 交 Q 于点F，连结 EF，BF（1）求直线AB 的函数解析式；（2）当点 P 在线段 AB（不包括 A，B 两点）上时求证：BDE=ADP；设 DE=x，DF=y 请求出y 关于 x 的函数解析式；（3）请你探究：点P 在运动过程中，是否存在以B，D，F 为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P 的坐标：如果不存在，请说明理由12解：（1）设直线AB 的函数解析式为y=kx+4，代入（4，0）得：4k+4=0，解得：k=-1，则直线 AB 的函数解析式为y=-x+4；（2）由已知得：OB=OC，BOD=COD=90 ，又 OD=OD，BDO COD，BDO=CDO，CDO=ADP，BDE=ADP，如图，连结PE，ADP 是 DPE 的一个外角，ADP=DEP+DPE，BDE 是 ABD 的一个外角，BDE=ABD+OAB，ADP=BDE，DEP=ABD，DPE=OAB，OA=OB=4，AOB=90 ，OAB=45 ，DPE=45 ，DFE=DPE=45 ，DF 是 Q 的直径，DEF=90 ，DEF 是等腰直角三角形，DF=2DE，即 y=2x；（3）当 BD：BF=2：1 时，如图，过点F 作 FH OB 于点 H，DBO+OBF=90 ，OBF+BFH=90 ，DBO=BFH，又 DOB=BHF=90 ，BOD FHB，OBODBDHFHBFB=2，FH=2，OD=2BH，FHO=EOH=OEF=90 ，四边形OEFH 是矩形，OE=FH=2，EF=OH=4-12OD，DE=EF，2+OD=4-12OD，解得：OD=43，点 D 的坐标为（0，43），直线 CD 的解析式为y=13x+43，由14334yxyx，得：22xy，则点 P 的坐标为（2，2）；当12BDBF时，连结 EB，同（2）可得：ADB=EDP，而 ADB=DEB+DBE，EDP=DAP+DPA，DEP=DPA，DBE=DAP=45 ，DEF 是等腰直角三角形，如图，过点F 作 FG OB 于点 G，同理可得：BOD FGB，12OBODBDGFGBFB，FG=8，OD=12BG，FGO=GOE=OEF=90 ，四边形OEFG 是矩形，OE=FG=8，EF=OG=4+2OD，DE=EF，8-OD=4+2OD，OD=43，点 D 的坐标为（0，-43），直线 CD 的解析式为：1433yx，由14334yxyx，得：84xy，点 P 的坐标为（8，-4），综上所述，点P 的坐标为（2，2）或（8，-4）13（2013?遵义）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标为（4，-23），且与y轴交于点C（0，2），与 x 轴交于 A，B 两点（点A 在点 B 的左边）（1）求抛物线的解析式及A，B 两点的坐标；（2）在（1）中抛物线的对称轴l 上是否存在一点P，使 AP+CP 的值最小？若存在，求 AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；（3）在以 AB 为直径的 M 相切于点E，CE 交 x 轴于点 D，求直线 CE 的解析式13解：（1）如图，由题意，设抛物线的解析式为y=a（x-4）2-23（a0）抛物线经过（0，2）a（0-4）2-23=2 解得：a=16，y=16（x-4）2-23，即：y=16x2-43x+2 当 y=0 时，16x2-43x+2=0 解得：x=2 或 x=6 A（2，0），B（6，0）；（2）存在，如图 2，由（1）知：抛物线的对称轴l 为 x=4，因为 A、B 两点关于l 对称，连接CB 交 l 于点 P，则 AP=BP，所以 AP+CP=BC的值最小B（6，0），C（0，2）OB=6，OC=2 BC=210，AP+CP=BC=210，AP+CP 的最小值为210；（3）如图 3，连接 ME，CE 是 M 的切线ME CE，CEM=90 由题意，得OC=ME=2，ODC=MDE 在 COD 与 MED 中COADEMODCMDEOCME，COD MED（AAS），OD=DE，DC=DM 设 OD=x 则 CD=DM=OM-OD=4-x 则 RT COD 中，OD2+OC2=CD2，x2+22=（4-x）2x=32，D（32，0）设直线 CE 的解析式为y=kx+b 直线 CE 过 C（0，2），D（32，0）两点，则3022kbb，解得：432kb。直线 CE 的解析式为y=-43x+2。