2022年高一数学人教知识点总结.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 高一数学学习必备欢迎下载结知识点总第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念集合的中元素的三个特性：1 元素的确定性互异性无序性1 集合的表示方法：列举法与描述法；留意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 二、集合间的基本关系 1.“ 包含” 关系子集留意：AB有两种可能（ 1）A 是 B 的一部分,；（2）A与 B 是同一集合；反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 AB 或 BA 2“ 相等” 关系：A=B 55,且 55,就 5=5 即： 任何一个集合是它本身的子集；A A 真子集 :假如 A B,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A B或 B A 假如 A B, B C ,那么 A C 假如 A B 同时 B A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为 规定 : 空集是任何集合的子集,真子集；空集是任何非空集合的有 n 个元素的集合,含有 2n个子集, 2n-1个真子集二、函数的有关概念名师归纳总结 1函数的概念：设A、B 是非空的数集,假如根据某个第 1 页,共 16 页确定的对应关系f,使对于集合 A 中的任意一个数x,在- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载集合 B 中都有唯独确定的数fx和它对应, 那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作：y=fx,xA其中, x 叫做自变量, x 的取值范畴 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合 fx| x A 叫做函数的值域留意：1定义域：能使函数式有意义的实数 的定义域；x 的集合称为函数相同函数的判定方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关） ；定义域一样 具备 2值域 : 先考虑其定义域 5映射 对于映射 f：AB 来说,就应满意：两点必需同时1集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯独的；2集合 A 中不同的元素,在集合 一个；B 中对应的象可以是同3不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象；二函数的性质 1.函数的单调性 局部性质 （1）增减函数 留意：函数的单调性是函数的局部性质；（2） 图象的特点 假如函数 y=fx 在某个区间是增函数或减函数,那么说 函数 y=fx 在这一区间上具有 严格的 单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,到右是下降的 . 3.函数单调区间与单调性的判定方法 C复合函数的单调性减函数的图象从左名师归纳总结 复合函数fgx 的单调性与构成它的函数u=gx ,第 2 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载y=fu 的单调性亲密相关,其规律： “ 同增异减”留意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能 把单调性相同的区间和在一起写成其并集 . 8函数的奇偶性（整体性质）9、函数的解析表达式函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法就,二是要 求出函数的定义域 . 10函数最大（小）值 其次章 基本初等函数 一、指数函数当负数没有偶次方根； 0 的任何次方根都是0,记作n00；n 是 奇 数 时 ,nana, 当n是 偶 数 时 ,nan|a|aaa0 a0 2分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定：ammnaman0 ,m ,nN* nn1N* n1,na11 a,0m ,nmaman0 的正分数指数幂等于 3实数指数幂的运算性质0,0 的负分数指数幂没有意义（1）r a ·arrarsa0 ,r,sR；r a sars（2）a0,r,sR ；abaR ras（3）a0 ,r,s（二）指数函数及其性质留意：指数函数的底数的取值范畴, 底数不能是负数、 零和 1指数函数的图象和性质名师归纳总结 a>1 0<a<1 第 3 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 62 4学习必备6欢迎下载2 46554433221111-40-2-40-2-1-1定义域 R 定义域 R 值域 y0 值域 y0 在 R 上单调递在 R 上单调递增减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过函数图象都过定点（ 0,1）定点（ 0,1）6二、对数函数（一）对数指数式与对数式的互化幂值 ba N真数 log a N b 底数 指数 对数（二）对数的运算性质假如a0,且a1,M0,N0,那么：1logaM·NlogaMlogaN；2logaMlogaMlogaN；N3logaMnnlogaMnR 留意：换底公式logablogcb（a0,且a1；c0,且c1；logab0）c利用换底公式推导下面的结论名师归纳总结 （1）logambnnlogab；（2）logab1a第 4 页,共 16 页logbm- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（二）对数函数2、对数函数的性质：a>1 4 56 70<a<1 6 7332.52.5221.51.511110.50.50-0-11.512 38-101.512 34 5-1-1-1.5-1.5-2-2-2.5-2.5定义域 x0 定义域 x0 值域为 R 值域为 R 在 R 上递增在 R 上递减函数图象都函 数 图 象 都 过 定过定点（ 1,点（1,0）0）8（三）幂函数1、幂函数定义：一般地,形如yxaR 的函数称为幂函数,其中为常数2、幂函数性质归纳（1）全部的幂函数在 （0,+）都有定义并且图象都过点（1,1）；（2）0时,幂函数的图象通过原点, 并且在区间0 ,上是增函数特殊地,当1时,幂函数的图象下凸；当 0 1 时,幂函数的图象上凸；（3）0 时,幂函数的图象在区间 0 , 上是减函数在第一象限内,当 x 从右边趋向原点时,图象在 y 轴右方无限地靠近 y 轴正半轴,当 x 趋于 无限地靠近 x 轴正半轴时,图象在 x 轴上方第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点名师归纳总结 1、函数零点的概念：对于函数yyffxxDD,把使第 5 页,共 16 页fx0成立的实数 x 叫做函数xx的零点；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2 、函数 零点 的意 义 ：函数 y f x 的零 点就 是方 程f x 0 实数根,亦即函数 y f x 的图象与 x 轴交点的横坐标；即：方程fx0有实数根函数yfx的图象与 x 轴有交点fx有零点函数y3、函数零点的求法：1 （代数法）求方程 f x 0 的实数根；2 （几何法） 对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y f x 的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：二次函数yax2axbxcac00有两不等实根,二次函（1） ,方程2bx数的图象与 x 轴有两个交点,二次函数有两个零点（2） ,方程ax2bxc0有两相等实根,二次函数的图象与 x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点（3） , 方程ax2bxc0无实根, 二次函数的图象与x轴无交点,二次函数无零点高中数学必修二复习基本概念公理 1：假如一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的全部的点都在这个平面内；公理 2：假如两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线；公理 3： 过不在同一条直线上的三个点,有且只有一个平面；推论 1: 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载推论 2：经过两条相交直线,有且只有一个平面；推论 3：经过两条平行直线,有且只有一个平面；公理 4 ：平行于同一条直线的两条直线相互平行；等角定理：假如一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么 这两个角相等；空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面 异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交；异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线,与平面内不经过该点 的直线是异面直线；直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行 直线在平面内有很多个公共点 直线和平面相交有且只有一个公共点 直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角；三垂线定理及逆定理 : 假如平面内的一条直线 ,与这个平面的一条斜线的射影 垂直,那么它也与这条斜线垂直 .直线和平面垂直 直线与平面垂直的判定定理：假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂 直,那么这条直线垂直于这个平面；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载直线与平面垂直的性质定理：假如两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直 线平行；直线和平面平行没有公共点 直线和平面平行的判定定理：假如平面外一条直线和这个平面内的一条直线平 行,那么这条直线和这个平面平行；直线和平面平行的性质定理：假如一条直线和一个平面平行,经过这条直线的 平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行；两个平面的位置关系：a、平行 两个平面平行的判定定理：假如一个平面内有两条相交直线都平 行于另一个平面,那么这两个平面平行；两个平面平行的性质定理：假如两个平行平面同时和第三个平面相交,那么交 线平行；b、相交 两平面垂直 两平面垂直的定义：两平面相交,假如所成的角是直二面角,就说这两个平面相互垂直；记为两平面垂直的判定定理：假如一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两 个平面相互垂直 两个平面垂直的性质定理：假如两个平面相互垂直,那么在一个平面内垂直于 交线的直线垂直于另一个平面；直线与方程（1）直线的斜率名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载定义：倾斜角不是 90° 的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率；直线的斜率常用 k 表示；即 k tan；斜率反映直线与轴的倾斜程度；当 0 , 90 时,k 0；当 90 , 180 时,k 0；当 90 时, k 不存在；（3）直线方程点斜式：yy1kxx 1直线斜率 k,且过点x 1,y 1留意：当直线的斜率为0° 时,k=0,直线的方程是 y=y1；当直线的斜率为90 ° 时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示但因l 上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1；2斜截式：ykxb,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b两点式：yy 1xx x（x 1x 2,y 1y ）直线两点x 1, y 1,x 2 , yy 2x 2y 1截矩式：xy1ab其中直线 l 与 x 轴交于点 ,0 为 a b ；,与 y 轴交于点 0, b ,即 l 与 x 轴、 y轴的 截距 分别一般式：AxByC0（A,B 不全为 0）留意：1各式的适用范畴2特殊的方程如：平行于x 轴的直线：yb（b 为常数）；x平行于 y 轴的直线：a（a 为常数）；（4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（5）两直线平行与垂直当l1:yk 1xkb 1,l2:ylk2x2b 2时,1l1/l2k12,b 1b2；1lk1k2留意：利用斜率判定直线的平行与垂直时,要留意斜率的存在与否；（6）两条直线的交点名师归纳总结 l1:A 1xB 1yC 10l2:A 2xB 2yC200相交1l 与2l 重合第 9 页,共 16 页交点坐标即方程组A 1xB 1yC1的一组解；A 2xB 2yC20方程组无解l1/ l2；方程组有很多解- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（7）两点间距离公式：设 A x 1 , y 1 ,（B x 2 , y 2）是平面直角坐标系中的两个点,2 2 就 | AB | x 2 x 1 y 2 y 1 （ 8 ）点到直线距离公式：一点 P x 0, y 0 到 直 线 l 1 : Ax By C 0 的距离Ax 0 By 0 Cd 2 2A B（9）两平行直线距离公式在任始终线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解；圆的方程（1）标准方程xa2yb2r2,圆心a,b,半径为 r；,E, 半 径 为（2）一般方程x2y2DxEyF0当D2E24F0时 , 方 程 表 示 圆 , 此 时 圆 心 为D 22r1D2E24F2（3）求圆方程的方法：一般都采纳待定系数法：先设后求；确定一个圆需要三个独立条件,如利用圆的标准方程,需求出 a,b,r；如利用一般方程,需要求出 D,E,F；另外要留意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置；直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情形：（1）设直线l:AxByC0,圆C:rxa2yb2r2,圆心Ca,b到 l 的距 离 为dAaA2Bb2C, 就 有dl与 C 相离；drl与 C相切；Bdrl与C相交（2）过圆外一点的切线： k 不存在, 验证是否成立 k 存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离 =半径,求解 k,得到方程【肯定两解】名师归纳总结 - - - - - - -3 过圆上一点的切线方程：圆x-a2+y-b2=r2,圆上一点为 x 0,y0,就过此点的切线方程为 x0-ax-a+y 0-by-b= r2圆与圆的位置关系通过两圆半径的和（差） ,与圆心距（ d）之间的大小比较来确定；设圆 C 1 : x a 1 2y b 1 2r 2,C 2: x a 2 2y b 2 2R 2两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差）,与圆心距（ d）之间的大小比较来确定；当dRr时两圆外离,此时有公切线四条；第 10 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载当 d R r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条；当 R r d R r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线；当 d R r 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线；当 d R r 时,两圆内含；当 d 0 时,为同心圆；留意：已知圆上两点,圆心必在中垂线上；已知两圆相切,两圆心与切点共线圆的帮助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点基本三角函数诱导公式终边相同的角的三角函数值相等Sin2kSin,kzSinSinSin2CosCos2kCos,kztan2ktan,kz角与角关于x 轴对称CosCostantan角与角关于y轴对称SinSinCosCostantan角与角关于原点对称SinSinCosCostantanSinCos2角2与角关于yx 对称CosSinCosSin22tan2cottan2cot上述的诱导公式记忆口诀： “ 奇变偶不变,符号看象限”三角函数的性质名师归纳总结 性质2k2,2ySinxz ,增函数2 k2,kyCosx增函数第 11 页,共 16 页定义域R R 值域1,11,1z ,周期性22奇偶性奇函数偶函数单调性, 2 k,kk2,kk减函数2 k,kz ,2k,2k3,z,减函数22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 对 称 中xk,0,k,kz学习必备欢迎下载kx2,0,kzz心对称轴k2zk,k5图543432yy像-8-2 -3 /2-4- -2- /22O /2 43 /262 x-8-2 -6-3 /2-4- -2- /21O /22 43 /262 x818-1-1-2-3-2-3-4-4-5-5-6平面对量共线定理：一般地,对于两个向量a ,a0,b ,假如有一个实数,使得ba,a0,就 b 与a 是共线向量；反之假如b 与 a 是共线向量那么又且只有一个实数,使得ba .向量的一个定理的类似推广baa0向量共线定理：平面对量基本定理：空间向量基本定理：a1e 12e2,其中e 1,e2 为该平面内的两个不共线的向量a1e 12e23e3,其中e 1,e2,e 3为该空间内的三个不共面的向量名师归纳总结 一般地,设向量ax 1,y1,bx2,y2且a2,0假如ab那么x 1y2x 2y 10第 12 页,共 16 页反过来,假如x1y2x 2y 1,0就a b .babCos,其中 为两向量一般地,对于两个非零向量a,b有a的夹角；Cosabx1x1x2y1y2ab2y1x22y22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 特殊的,aaba2y11a2b学习必备欢迎下载0,就abx1x2y 1y2或者aaa假如ax1,x2,y2且a特殊的,axx2y 1y20三角公式以及恒等变换两角的和与差公式：SinSinCosCosSin1CosSin2CosCosSinSinCosCosCosSinSintantantanSinSinCosCosSin,1tantantantantan1tantan二倍角公式：Sin22SinCosCos22Cos212Cos2Sin21Cos2tantan21tan21CosSin半角公式：Sin21Cos2tan21Cos1Cos1CosSinCos22高中数学必修 5 学问点第一章：解三角形学问点：名师归纳总结 1、正弦定理： 在C 中, a 、b 、c 分别为角、C 的对边, R为C的外接圆的半径,就有abcC2Rsinsinsin2、正弦定理的变形公式：a2Rsin,b2 Rsin,c2RsinC ； sina,sinb,sinCc；（正弦定理的变形常常用在有三角函数2 R2 R2 R的等式中）a b csin:sin:sinC ；sinabcsinCabcCsinsinsinsin,3、三角形面积公式：SC1bcsin1absinC1acsin2224、余弦定理：在C 中,有a2b2c22 bccos,b2a2c22 accosc2a2b22abcosC ,5 、 余 弦 定 理 的 推 论 ：cosb2c2a2,cosa2c2b22bc2ac第 13 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载a2b22 c ,就C90cosCa22 bc22ab6、设 a 、b 、c 是C 的角、C 的对边,就：如为直角三角形；2 c ,就C90为钝角如a2b22 c ,就C90为锐角三角形；如a2b2三角形其次章：数列12、由三个数 a , b 组成的等差数列可以看成最简洁的等差数列,就称为 a 与 b的等差中项如 b a13、如等差数列 a n 的首项是c,就称 b 为 a 与 c的等差中项21a ,公差是 d ,就 a n a 1 n 1 d *14 、 如 a n 是 等 差 数 列 , 且 m n p q （ m 、 n 、 p 、q）, 就a m a n a p a ；如 a n 是等差数列,且 2n p q（ n 、 p 、q *）,就2 a n a p a n a 1 a n n n 115、等差数列的前 n 项和的公式： S n； S n na 1 d 2 218、在 a 与 b 中间插入一个数 G ,使 a , G ,b 成等比数列,就 G 称为 a 与 b 的等比中项如 G 2ab ,就称 G 为 a 与 b 的等比中项21、如 a n 是等比数列,且 m n p q（m、n、p 、q *）,就 a m a n a p a ；如 a n 是等比数列,且 2n p q （ n 、 p 、q *）,就 a n 2 a p a qna q 122、等比数列 a n 的前 n 项和的公式：S n a 1 1 q na 1 a q q 11 q 1 q一些方法：2、由递推公式求通项公式：如化简后为 a n 1 a n d 形式,可用等差数列的通项公式代入求解；如化简后为 a n 1 a n f n , 形式,可用叠加法求解；如化简后为 a n 1 a n q 形式,可用等比数列的通项公式代入求解；如化简后为 a n 1 ka n b 形式,就可化为 a n 1 x k a n x ,从而新数列 an x 是等比数列,用等比数列求解 a n x 的通项公式,再反过来求原先那个；（其中 x 是用待定系数法来求得）3、由求和公式求通项公式：S n1检验a 是否满意an,如满意就为a ,不满意a1S 1anSn用分段函数写；第三章：不等式名师归纳总结 1、ab0ab ；ab0ab ；ab0ab 第 14 页,共 16 页比较两个数的大小可以用相减法；相除法；平方法；开方法；倒数法等等；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载ac ； 2 、 不 等 式 的 性 质 ： abba ； ab bcabacbc ；cbd ；ab c0acbc ,ab c0acbc ；ab cdaab0,cd0acbd ；ab0anb nn,n1；2 的不等式ab0nanb n,n13、一元二次不等式： 只含有一个未知数, 并且未知数的最高次数是4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式b24ac000二次函数yax2bxca0的图象有两个相异实数一元二次方程根有两个相等实数2b没有实数根ax2bxc0x 1,2b2 a根x 1x2ba0的根2a一元二次ax2bxc0x 1x 2Rx xb 2 ax xx 1 或xx 2a0不等式的ax2bxc0x x 1xx 2ab 解集a0b2ab ,即aa0,b0,就a12、均值不等式定理：如13、常用的基本不等式：；a22 b2 ab a bR ；aba22b2a bR ；aba2b2a0,b014、极值定理：设 x 、 y 都为正数,就有名师归纳总结 如 xys （和为定值）,就当 xy 时,积 xy取得最大值2 s 4第 15 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 如 xy学习必备欢迎下载y 取得最小值 2p 第 16 页,共 16 页p （积为定值）,就当 xy 时,和 x- - - - - - -