2022年高中数学必修函数单调性和最值专题.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 函数专题：单调性与最值一、增函数1、观看以下各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：-1 y 1 x -1 y 1 x -1 y 1 x 1 1 1 -1 -1 -1 1 随 x 的增大, y 的值有什么变化？2能否看出函数的最大、最小值？3函数图象是否具有某种对称性？2、从上面的观看分析,能得出什么结论？不同的函数,其图象的变化趋势不同,同一函数在不同区间上变化趋势也不同,函数图象的这种变化规律就是函数的单调性；3. 增函数的概念一般地,设函数 y=fx 的定义域为 I ,假如对于定义域I 内的某个区间 D内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 fx1<fx2 ,那么就说 fx 在区间 D上是增函数；留意： 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质；必需是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2；当 x1<x2 时,总有 fx1<fx2 二、函数的单调性假如函数 y=fx 在某个区间上是增函数或是减函数, 那么就说函数 y=fx 在这一区间具 有严格的单调性,区间 D叫做 y=fx 的单调区间；【判定函数单调性的常用方法】1、依据函数图象说明函数的单调性例 1、 如图是定义在区间 5,5 上的函数y=fx ,依据图象说出函数的单调区间,以 及在每一单调区间上,它是增函数仍是减函数？第 1 页 共 8 页名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【针对性练习】以下图是借助电脑作出函数 y = x 2 +2 | x | + 3 的图象,请指出它的的单调区间2利用定义证明函数 fx 在给定的区间 D上的单调性的一般步骤： 任取 x1,x2D,且 x1<x2； 作差 fx1 fx2 ；变形通常是因式分解和配方 ；定号即判定差fx1 fx2 的正负；R上是增函数仍是下结论即指出函数fx 在给定的区间 D上的单调性例 2、证明函数yx1 在1,+上为减函数x例 3、函数 f x= x 31 在 R 上是否具有单调性？假如具有单调性,它在减函数？试证明你的结论第 2 页 共 8 页名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 4、已知 f x 是定义在 2,2 上的减函数,并且 值范畴例 5、判定一次函数 ykxb k0单调性 . f m1 f 1 2m 0,求实数 m的取例 6、利用函数单调性的定义,证明函数在区间0,1 上是减函数【归纳小结】函数的单调性一般是先依据图象判定,再利用定义证明画函数图象通常借助电脑,求函数的单调区间时必需要留意函数的定义域,变 形 定 号 下结论针对性练习1. 函数y1的单调区间是x单调性的证明一般分五步： 取 值 作 差 A-,+ B.-,0 1,C.-,1 、1, D. -,11,第 3 页 共 8 页名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2. 以下函数中 , 在区间 0,2 上为增函数的是 . Ay 3 x 2 By 3 Cy x 24 x 5 Dy 3 x 28 x 10x3函数 y x 22 x 3 的增区间是；A-3 ,-1 B-1,1 C1 a 1 , 3 D 1, 34、已知函数 f x x 1 判定 f x 在区间 0,1和 1,+上的单调性；x ,5、定义在 1,1上的函数 f x 是减函数,且满意：f 1 a f a ,求实数 a 的取值范围；6、函数 f x=x31 在 R 上是否具有单调性？假如具有单调性,它在R 上是增函数仍是减函数？试证明你的结论复合函数的单调性1、定义：设 y=fu,u=gx, 当 x 在 u=gx 的 定义域 中变化时, u=gx 的值在 y=fu 的定义域内变化,因此变量 x 与 y 之间通过变量 u 形成的一种函数关系,记为y=fu=fgx 称为复合函数,其中 x 称为自变量, u 为中间变量, y 为因变量 即函数 2 、复合函数 fgx的单调性与构成它的函数u=gx ,y=fu 的单调性亲密相关,其规律如下：第 4 页 共 8 页名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 函数 单调性ug x yf u 增ug x 增2,求y减减增减增减yf u 增减减增yf g x 例 1、已知u1,3xf g x 的单调性；例 2、已知yf u u21, ug x x1,求函数yfg x 的单调性；针对性训练1、已知yf u u21,ug x x1,求函数yfg x 的单调性；2、已知f x 82x2 x ,假如g x f2x2,那么g x A. 在区间 -1 ,0上是减函数 B. C. 在区间 -2 ,0上是增函数 D. 在区间 0,1上是减函数 在区间 0,2上是增函数第 5 页 共 8 页名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三、函数的最大小值1函数最大小值定义1最大值：一般地,设函数 y f x 的定义域为 I ,假如存在实数 M满意：1对于任意的 x I ,都有 f x M ；2存在 x 0 I ,使得 f x 0 M 那么,称 M是函数 y f x 的最大值2最小值：一般地,设函数 y f x 的定义域为 I ,假如存在实数 M满意：1对于任意的 x I ,都有 f x M ；2存在 x 0 I ,使得 f x 0 M 那么,称 M是函数 y f x 的最小值留意：函数最大小第一应当是某一个函数值,即存在 x 0 I ,使得 f x 0 M ； 函 数 最 大 小 应 该 是 所 有 函 数 值 中 最 大 小 的 , 即 对 于 任 意 的 x I , 都 有f x M f x m 2利用函数单调性来判定函数最大小值的方法配方法yx2换元法数形结合法例 1、求函数2x3 当自变量x在以下范畴内取值时的最值1x0 0x3x,第 6 页 共 8 页名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2、求函数yx1x 的最大值例 3、求函数yx21在区间 2 ,6 上的最大值和最小值【针对性练习】一、挑选题1函数 y4xx2,x0 ,3 的最大值、最小值分别为 A4 ,0 B2 ,0 C3 ,0 D4 ,3 2函数yx1x2的最小值为 A1B1 C2 D4 23、函数yx32x2在区间 0,5上的最大值、最小值分别是A. 3 ,0 7 B.3 ,0 2 C. 3 3 ,2 7 D. 最大值3 7,无最小值；二、填空题1函数 y2x24x1 x 2,3 的值域为 _；2函数y2xx 2的值域为 _3、函数y2 x4x5x0,3的值域是；4、函数y2x3134x 的值域是第 7 页 共 8 页名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三、解答题x1求函数 f x 2 , x 0 的值域x , x 02设函数 f x xa 2对于任意实数 t R都有 f 1 t f 1 t 1 求 a 的值；2 假如 x0 ,5 ,那么 x 为何值时函数 yf x 有最小值和最大值 .并求出最小值与最大值3如图,在边长是 a 的等边三角形内作一个内接矩形,求内接矩形的面积的最大值4已知函数y 3x 22ax1,x0 ,1 ,记 fa 为其最小值,求fa 的表达式,并求fa 的最大值第 8 页 共 8 页名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页
