2022年高中数学解析几何解题方法.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 高考专题：解析几何常规题型及方法本章节处理方法建议：纵观 20XX 年全国各省市 18 套文、理高考试卷,普遍有一个规律：占解几分值接近一半的填空、挑选题难度不大,中等及偏上的同学能将对应分数收入囊中；而占解几分值一半偏上的解答题得分很不抱负,其缘由主要表达在以下几个方面：（1）解析几何是代数与几何的完善结合,解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向 量等学问,形成了轨迹、最值、对称、范畴、参系数等多种问题,因而成为高中数学综合 才能要求最高的内容之一（2）解析几何的运算量相对偏大（3）在大家的“ 拿可拿之分”的理念下,大题的前三道成了兵家必争之地,而排放位置比较尴尬的第 21 题或 22 题（有 时 20 题）就成了许多人遗忘的角落,加之时间的限制,此题留白的现象比较普遍；鉴于解几的特点,建议在复习中做好以下几个方面1由于高考中解几内容弹性很大；有简洁题,有中难题；因此在复习中基调为狠抓基础；不能由于高考中的解几解答题 较难,就拼命地去搞难题,套新题,这样往往得不偿失；端正心态：不盼望将全部的题攻 下,将时间用在巩固基础、应付“ 跳一跳便可够得到” 的常规题上,这样复习,高考时就 能保证第一将挑选、填空题拿下,然后对于大题的第一个小问争取得分,其次小题能拿几 分算几分；三、高考核心考点 1、精确懂得基本概念（如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等）2、娴熟把握基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角 公式等）3、娴熟把握求直线方程的方法（如依据条件敏捷选用各种形式、争论斜率存在和不存在的各种情形、截距是否为 0 等 等）4、在解决直线与圆的位置关系问题中,要善于运用圆的几何性质以削减运算 5、明白线性规划的意义及简洁应用 6、熟识圆锥曲线中基本量的运算 7、把握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法（如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系 数法等）8、把握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法,能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题 四、常规题型及解题的技巧方法A:常规题型方面（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为x1,y1, x 2,y2,代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式,消去四个参数；典型例题给定双曲线x2y21 ；过A（2,1）的直线与双曲线交于两点P1及 P2,求线段P1 P2的中点P2的轨迹方程；分析：设 P x1,y1 , P 2x2,y2 代入方程得2 x 12 y 11, x2y2 21 ；222两式相减得名师归纳总结 x 1x2x1x 21y1xy2y1y20；2y代入,当 x 1x 2时得第 1 页,共 8 页2又设中点 P（ x,y）,将 x 122x, y 1y2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2x2y·y1y 20；0；2x1x2又 ky 1y2y1,x 1x2x2代入得 2x2y24xyP（2,0）的坐标也满意上述方程；当弦 P P 1 2斜率不存在时,其中点因此所求轨迹方程是2x2y24xy0说明：此题要留意思维的严密性,必需单独考虑斜率不存在时的情形；（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P,与两个焦点F1、 F2构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥；,PF F1；典型例题设 Px,y 为椭圆x a2y21 上任一点, F 1c, , F2 , 为焦点,PF F 22b2（1）求证离心率esinsin；sin（2）求 |PF 1|3PF 2| 3 的最值；分析：（ 1）设 |PF 1|r1, |PF2r2,由正弦定理得r 1r2sin2c；sinsin得sinr 1r2sin2 c,sinecs i n as i ns i n（2） aex 3aex 32 a32 6 ae x2；当 x0时,最小值是23 a ；当xa时,最大值是2a362 3e a ；（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式,应特殊留意数形结合的方法典型例题抛物线方程y2p x1 p0,直线xyt与 轴的交点在抛物线准线的右边；（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A、B,且 OA OB,求 p 关于 t 的函数 ft 的表达式；第 2 页,共 8 页（1）证明：抛物线的准线为1：x1p 4名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由直线 x+y=t 与 x 轴的交点（ t,0）在准线右边,得0t1p,而4tp404由x2yt1 消去 得x2 2tp xt2pyp x2tp 24t2p p4tp40故直线与抛物线总有两个交点；（2）解：设点Ax 1,y1,点 Bx 2,y2 2,00,x1x22 tp,x x2t2pOAOB,kOAkOB1就 x x2y y20又 y y 12tx1tx2x x2y y2t2t2p0pf t tt22又p0,4 tp40得函数f t 的定义域是（4）圆锥曲线的有关最值（范畴）问题圆锥曲线中的有关最值（范畴）问题,常用代数法和几何法解决；<1>如命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决；<2>如命题的条件和结论表达明确的函数关系式,就可建立目标函数 （通常利用二次函数,三角函数, 均值不等式）求最值；典型例题已知抛物线 y2=2pxp>0 ,过 M （a,0）且斜率为 1 的直线 L 与抛物线交于不同的两点 A、B,|AB|2p （1）求 a 的取值范畴；（2）如线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N,求 NAB 面积的最大值；分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题,对于（1）,可以设法得到关于 a 的不等式,通过解不等式求出 a的范畴,即： “ 求范畴,找不等式” ；或者将 a 表示为另一个变量的函数,利用求函数的值域求出 a的范畴；对于（ 2）第一要把NAB 的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值 ,即：“最值问题,函数思想” ；解： 1直线 L 的方程为： y=x-a, 将 y=x-a 代入抛物线方程 y2=2px, 得：设直线 L 与抛物线两交点的坐标分别为 A24 a p 4 a 0（x1,y1）,Bx 2,y2,就 x 1 x 2 2 a p ,又 y1=x 1-a,y2=x 2-a, 2x 1 x 2 a2 2 2| AB | x 1 x 2 y 1 y 2 2 x 1 x 2 4 x 1 x 2 8 p p 2 a 0 | AB | 2 p 8, p p 2 a ,0 0 8 p p 2 a 2 p ,p p解得 : a .2 4名师归纳总结 第 3 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2设 AB 的垂直平分线交AB 与点 Q,令其坐标为（x3,y3）,就由中点坐标公式得：2P, 所 以Sx3x 12x2ap, y 3y12y2x 1a2x2ap .所 以 |QM|2=a+p-a2+p-02=2p2. 又 MNQ为 等 腰 直 角 三 角 形 , 所 以 |QM|=|QN|=NAB =1|AB|QN|2p|AB|2p2p2p2,即 NAB 面积的最大值为2P2；222（5）求曲线的方程问题1曲线的外形已知- 这类问题一般可用待定系数法解决；典型例题已知直线L 过原点,抛物线C 的顶点在原点,焦点在x 轴正半轴上；如点A（ -1,0）和点 B（0,8）关于 L 的对称点都在 C 上,求直线 L 和抛物线 C 的方程；分析：曲线的外形已知,可以用待定系数法；设出它们的方程,L：y=kxk 0,C:y2=2pxp>0 p,得： k2-k-1=0. 解得：设 A、B 关于 L 的对称点分别为A/、B/,就利用对称性可求得它们的坐标分别为：A/（k21,k2k1）, B（16k1,8k21）；由于A、 B 均在抛物线上,代入,消去k212k2k21k=125,p=255. 所以直线 L 的方程为： y=125x,抛物线 C 的方程为 y2=455x. 2曲线的外形未知- 求轨迹方程典型例题已知直角坐标平面上点Q（2,0）和圆 C：x2+y2=1, 动点 M 到圆 C 的切线长与 |MQ|N Q M 的比等于常数（>0）,求动点 M 的轨迹方程,并说明它是什么曲线；分析：如图,设 MN 切圆 C 于点 N,就动点 M 组成的集合是： P=M|MN|=|MQ| ,由平面几何学问可知：|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1,将M点坐标代入,可得：O 2-1x2+y2-42x+1+42=0. 当=1 时它表示一条直线；当 1 时,它表示圆；这种方法叫做直接法；（6） 存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题,可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线,求这两直线的交点,使这交点在圆锥曲线形内；（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）典型例题2 已知椭圆 C 的方程x4y21 ,试确定 m 的取值范畴,使得对于直线y4xm,椭圆 C 上有不同两3名师归纳总结 第 4 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 点关于直线对称；4y分析：椭圆上两点x 1,y1, x2,y 2,代入方程,相减得3 x1x2x1x21y2y1y 20 ；, ky 1y21,代入得 y3x；又 xx 12x2, yy12y2x 1x24又由y3 xm解得交点 m ,3 m ；y4x交点在椭圆内,就有m 23 m 21 ,得2 13m2 13；431313（7）两线段垂直问题圆锥曲线两焦半径相互垂直问题,常用k 1·k2y 1·y21来处理或用向量的坐标运算来处理；x 1·x2典型例题已知直线 l 的斜率为 k ,且过点 P2 0 ,抛物线 C y24x1 ,直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点（如图）；（1）求 k 的取值范畴；（2）直线 l 的倾斜角 为何值时, A 、B 与抛物线C 的焦点连线互相垂直；2 代入抛物线方程得P A y B x arctan2分析：（ 1）直线 yk x2 k x24k24 x4 k240,O 由0 ,得1k1 k0 ；-2,0 （2）由上面方程得x x24k224 ,ky y2k2x 12 x 22 4,焦点为 O , 0 0 ；由 kOA·kOBy y 2kk211,得 k2,x x 2222或arctan22B:解题的技巧方面在教学中,同学普遍觉得解析几何问题的运算量较大；事实上,假如我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程,以及运用“ 设而不求” 的策略,往往能够削减运算量；下面举例说明：（1）充分利用几何图形解析几何的争论对象就是几何图形及其性质,所以在处懂得析几何问题时,除了运用代数方程外,充分挖掘几何条件,并结合平面几何学问,这往往能削减运算量；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 典型例题设直线 3 x4ym02 与圆 xy2x2y0 相交于 P、Q 两点, O 为坐标原点, 如 OP OQ ,求m的值；解：圆 x2y2x2y0 过原点,并且OPOQ ,0PQ 是圆的直径,圆心的坐标为M 1,1 2又 M 1,1 在直线 3x4ym0上,23141m0,m5即为所求；22评注：此题如不充分利用一系列几何条件：该圆过原点并且OP OQ ,PQ 是圆的直径, 圆心在直线 3x4ym上,而是设 P x 1,y 1、Q x 2,y2再由 OPOQ 和韦达定理求 m,将会增大运算量；评注：此题如不能挖掘利用几何条件OMP90 ,点 M 是在以 OP 为直径的圆周上,而利用参数方程等方法,运算量将很大,并且比较麻烦；二. 充分利用韦达定理及“ 设而不求” 的策略我们常常设出弦的端点坐标而不求它,而是结合韦达定理求解,这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到；典型例题已知中心在原点O,焦点在 y 轴上的椭圆与直线yx1相交于 P、Q 两点, 且 OP OQ ,|PQ|10,2求此椭圆方程；解：设椭圆方程为ax2by21 ab0 ,直线 yx1与椭圆相交于Px 1,y 1、 Q x2,y2两点；由方程组y2x11消去 y 后得axby2ab x22 bxb10x1x 2a2 b,x x2b1babx1（1）由 kOPkOQ1,得 y y2x x2又 P、Q 在直线 yx1上,y 1x11, x21y 2x21, y y2x 11 x21 x x2把（ 1）代入,得 2x x2x 1x210,即2b1 2bb10aba化简后,得名师归纳总结 ab|210（4）x22y1y225第 6 页,共 8 页,得 x1由 |PQ22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x 1x225,x 1x224x x 25,或 b34452 b24 b1 abab40,解得 b1把（ 2）代入,得 4 b28 b322代入（ 4）后,解得 a3 2或 a12由 ab0 ,得 a3,b1 2；2所求椭圆方程为3x2y2122评注：此题充分利用了韦达定理及“ 设而不求” 的策略,简化了运算；三. 充分利用曲线系方程 利用曲线系方程可以防止求曲线的交点,因此也可以削减运算；典型例题1求经过两已知圆C 1：x2y24x2y0和 C 2：x2y22y40 的交点,且圆心在直线l ：2x4y0上的圆的方程；解：设所求圆的方程为：x2y24x2yx21y22y4 y040,1,代入所设圆的方程得x2y23 xy10 为即 1x2 1y24x2 11其圆心为 C（121 1）,140,解得22又 C 在直线 l 上,13所求；评注：此题因利用曲线系方程而防止求曲线的交点,故简化了运算；四、充分利用椭圆的参数方程 椭圆的参数方程涉及到正、余弦,利用正、余弦的有界性,可以解决相关的求最值的问题这也是我们常说的三角 代换法；典型例题P 为椭圆x2y21上一动点, A 为长轴的右端点,B 为短轴的上端点,求四边形OAPB 面积的最大值a2b2及此时点 P 的坐标；五、线段长的几种简便运算方法 充分利用现成结果,削减运算过程ax2一般地,求直线与圆锥曲线相交的弦AB 长的方法是：把直线方程AB |ykxkb 代入圆锥曲线方程中,得到型如bxc0 的方程,方程的两根设为x A ,xB ,判别式为 ,就|2 ·|xAxB|1k2·|,如1a直接用结论,能削减配方、开方等运算过程；名师归纳总结 例求直线 xy12 0 被椭圆 x4y216所截得的线段AB 的长；第 7 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 结合图形的特殊位置关系,削减运算在求过圆锥曲线焦点的弦长时,由于圆锥曲线的定义都涉及焦点,结合图形运用圆锥曲线的定义,可回避复杂运算；例2 F1、 F2是椭圆 x 25y21的两个焦点, AB 是经过 F1的弦,如 |AB|8 ,求值|F 2A|F 2B|9 利用圆锥曲线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离例点 A （3,2）为定点,点F 是抛物线 y24x的焦点,点P 在抛物线 y24x 上移动,如 |PA| |PF 取得最小值,求点P 的坐标；第 8 页,共 8 页名师归纳总结 - 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