2022年高考数学冲刺一轮复习文理第四章不等式含不等式选讲.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆第四章、不等式第 1 节不等式的概念与性质考纲研读考纲要求1.明白现实世界和日常生活中的不等关系对于不等式的每条性质,不仅要记住其结论,仍要明确其成2.明白不等式 组的实际背景 . 立的前提,忽视某些性质成立的条件往往会造成解题失误. 1.比较原理 两实数之间有且只有以下三个大小关系之一 ab. ab0；ab. ab0；ab. ab0. 2.不等式的性质 1对称性： ab. ba；ab. ba. 2传递性： ab,bc.3可加性： ab.移项法就： abc. acb. 推论：同向不等式可加ab, cd.4可乘性： ab,c 0. acbc；ab,c0.推论 1：同向 正可乘： a b0,cd0.推论 2：可乘方 正：ab0. n N* ,n25可开方 正：ab0. nN* ,n 21“ a cbd”是“ ab 且 cd ”的 A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件名师归纳总结 2a,bR,如 a|b|0,就以下不等式中正确选项 a 的取值范畴是 第 1 页,共 15 页A ba0 B a 3b 30 Ca 2b2 0 Dba 0 3已知a,b R,且 a>b,就以下不等式中恒成立的是 A a 2>b2B.1a1bClg ab>0 D.a b>1 224已知集合Ax|x a ,Bx|1 x 2 ,且A.RBR,就实数A a 2 Ba<1 Ca 2 Da>2 5如 2 2,就 的取值范畴是- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆1. 全国 下面四个条件中,使a>b 成立的充分而不必要的条件是（）A a>b1 Ba>b1 Ca 2>b 2Da 3>b 32.假如 a,b,c 满意 c<b<a,且 ac<0,那么以下选项中不肯定成立的是（）A ab>ac Bcba>0 Ccb 2<ab 2Dacac<0 3已知以下不等式： x 23>2x； a 3b 3 a 2bab 2a,bR； a 2b 22a b1,其中正确的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 1精确把握不等式的性质：对于不等式的性质,关键是懂得和运用,要弄清每一个性质的条件和结论,留意条件 特殊是符号的限制条件 转变后,结论是否发生变化不等式的性质包括“单向性 ”和 “双向性 ”两种情形 “ 单向性 ” 主要用于证明不等式；“ 双向性 ” 主要用于解不等式,由于解不等式必需是同解变形2判定不等式是否成立,主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法特殊对于有肯定条件限制的挑选题,用特殊值验证的方法特别便利仔细听讲,做好笔记（模板）：仔细听讲,做好笔记（基础自测、强化训练）：名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆第 2 节 一元二次不等式及其解法考纲要求 考纲研读1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型1.深刻懂得 “三个二次 ”之间的关系, 充分借助于图象的直2.通过函数图象明白一元二次不等式与相应的观性解一元二次不等式能将分式不等式转二次函数、一元二次方程的联系2.会解含参数的简洁一元二次不等式,3.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等化成整式不等式x 轴交点的横坐标与式,会设计求解的程序框图. 3.要明确方程的根、函数的图象与不等式之间的关系. 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表判别式 b24ac >0 0 <0二次函数 yax2bxca>0的图象一元二次方程ax2bxc0a 0的有两相异实根有两相同实根根一元 ax 2bx二次 c>0a>0不等式的ax2bx ,对比上表求解解集c<0a>0如 a0 时,可以先将1不等式x21 的解集为 名师归纳总结 A x| 1x1 Bx|x 1 Cx|x 1 Dx|x 1 或 x1 第 3 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆2不等式 x1x20的解集是 A x|x>1 Bx|x 1 或 x 2 Cx|x 1 Dx|x2 且 x 1320XX 年广东佛山质量检测 以下给出的四组不等式中,同解的是 A. x2x 24x 3<0 与 x24x3<0 （x 1）2（x 2）B. x 10与x1x2 0C.2x3 x5 >0 与2x3x5>0 D.x 22x62x1 <1 与 x 2 2x6<2x1 4不等式 x 30 的解集为 x 2A x| 2x3 Bx|x 2 Cx|x 2 或 x3 Dx|x 3 5不等式 x 22x30 的解集是1.（安徽） 函数 y 12 的定义域为6 x x2.解关于x 的一元二次不等式x23ax3a 0. bx2ax1>0 的解集为 _. 3.如不等式x2axb<0 的解集为 x|2<x<3 ,就不等式1高次不等式 包括分式不等式 解法尽可能进行因式分解,分解成一次因式后,再利用数轴标根法求解留意每个因式的最高次项的系数要求为正数 2解决一元二次不等式有关问题的常见数学思想方法1数形结合思想：三个二次的完善结合是数形结合思想的详细表达2分类争论思想：当二项系数含参数 a 时,要对二次项系数分 a>0、a<0 和 a0 三种情形争论；对方程根的情形进行分类争论 >0, 0, <0；假如根里含有参数,要留意对两个根的大小进行争论3转化与化归思想：解分式、指数、对数、确定值等类型的不等式时,一般要把它们转化成一元二次 一次不等式 组的形式进行解决转化的方法通常是代数化、有理化、整式化、低次化名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆仔细听讲,做好笔记（模板）：仔细听讲,做好笔记（基础自测、强化训练）：第 3 节 算术平均数与几何平均数考纲要求 考纲研读1.明白基本不等式的证明过程懂得基本不等式的概念,熟识基本不等式的证明方法和过程牢2.会用基本不等式解决简洁的最 大小值问题 . 记基本不等式成立的条件和等号成立的条件,能将解析式变形成用基本不等式求最值的形式. 1基本不等式ab ab2名师归纳总结 1基本不等式成立的条件是a,bR. 第 5 页,共 15 页2等号成立的条件：当且仅当ab 时取等号3ab 叫做算术平均数,2ab 叫做几何平均数,基本不等式可表达为两个正数的算术平均数不小于它们- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆的几何平均数2几个常用的重要不等式1aR,a 20,|a| 0当且仅当 a0 时取 “ ”2a,bR,就 a 2b2 . . 3aR,就 a1 a4a2b2a2b223最值定理设 x,y>0,由xy2. . 1如积 xyP定值 ,2如和 x yS定值 ,即：积定和最小,和定积最大1设函数fx2x1 x1x>0 ,就 fx A有最大值B有最小值C是增函数D是减函数 2已知 xab,yna mmbma nnb m a,b, m,n 为正数 ,就 x,y 的大小关系是 A x>y Bx<y Cx y Dxy3如 x>0 ,就x2x4的最小值为. x4如x>0,就x2 x的最小值为. 5已知x,yR,且 x4y1,就 x·y 的最大值为. 1.重庆 已知 t 0,就函数yt24t1的最小值t2.山东 如对任意 x0,2 xa 恒成立,就 a 的取值范畴是 _x 3 x 13.浙江 设 x,y 为实数,如 4x 2 y2xy1,就 2x y 的最大值是 _4.重庆 已知 x>0 ,y>0 ,x2y2xy8,就 x2y 的最小值是 . 5.浙江 如正实数 x,y 满意 2x y6xy,就 xy 的最小值是 . 21利用均值不等式 a b 2 ab以及变式 aba b 等求函数的最值时,要留意到合理拆分项或配凑因2式,而拆与凑的过程中,一要考虑定理使用的条件两数都为正 ；二要考虑必需使和或积为定值；三要考虑等号成立的条件当且仅当ab 时取 “ ” 号,即 “ 一正、二定、三相等” ；2当用均值不等式求函数最值失效时,要转化为争论函数的单调性,利用单调性求最值名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆3多次重复使用均值不等式求解时,应考虑再相加相乘时字母应满意的条件及多次使用后等号成立的条件是否一样如不一样,就不等式中的等号不能成立4当 a>0,b>0 时,2 aba1 ab2a2b2,当且仅 ab 时等号成立2仔细听讲,做好笔记（模板）：仔细听讲,做好笔记（基础自测、强化训练）：第 4 节 简洁的线性规划考纲要求 考纲研读1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组二元一次不等式表示相应直线Ax By C0 某一2.明白二元一次不等式的几何意义,能用平面侧全部点组成的平面区域,可结合交集的概念去懂得不等区域表示二元一次不等式组. 式组表示的平面区域对于线性规划问题,能通过平移直3.会从实际情境中抽象出一些简洁的二元线性线求目标函数的最值对于实际问题,能转化成两个相关名师归纳总结 规划问题,并能加以解决. 变量有关的不等式组,再利用线性规划学问求解. 第 7 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆1二元一次不等式表示的平面区域1一般地,在平面直角坐标系中,二元一次不等式Ax By C>0 表示直线Ax By C0 某一侧全部点组成的平面区域,不含边界线不等式Ax By C0 所表示的平面区域包括边界线2对于直线 Ax By C0 同一侧的全部点 x , y,使得 Ax By C 的值的符号相同,也就是说位于同一平面区域内的点,如其坐标适合 Ax By C>0,就位于另一个平面区域内的点,其坐标适合 Ax By C<0. 3可在直线 Ax ByC0 某一侧任取一点,一般取特殊点 x 0,y0如原点 0,0 ,用 Ax 0By0C 的值的正负来判定 Ax ByC>0 或 Ax ByC>0 所表示的区域2线性规划1线性约束条件：不等式组是一组对变量x,y 的约束条件,由于这组约束条件都是关于x,y 的一次不等式,所以又可称其为线性约束条件2目标函数： zAx By 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 数x,y 的解析式,我们把它称为目标函3线性目标函数：由于 z Ax By 是关于 x,y 的一次解析式,所以又可叫做线性目标函数4可行解：满意线性约束条件的解 x,y叫做可行解5可行域：由全部可行解组成的集合叫做可行域6最优解：如可行解 x 1,y1和x 2,y2分别使目标函数取得最大值和最小值,它们都叫做这个问题的最优解7一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题1不等式组x3y60,表示的平面区域是 xy20xy0,名师归纳总结 2已知实数x,y 满意xy40,就 2xy 的最小值是 第 8 页,共 15 页x10,就 z3x2y 的最小值是 A 3 B 2 C0 D1 xy13如实数x,y 满意xy0,x0A 0 B1 C3D9 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆2xy60 ,4不等式组x 30 ,所表示的平面区域的面积为. . y2m 的取值范畴是5如点 1,3和点 4, 2在直线2xy m 0 的两侧,就xy501如不等式组ya表示的平面区域是一个三角形,就a 的取值范畴是（）D 上的0x2A a5 Ba7 C5a7 Da5 或 a 7 2北京 设不等式组xy110表示的平面区域为D,如指数函数ya x 的图象上存在区域3xy305x3y90点,就a 的取值范畴是（）A 1,3 B2,3 C1,2 D3, 3陕西 如下图,点 x,y在四边形ABCD 内部和边界上运动,那么2xy 的最小值为 _. 1利用线性规划争论实际问题的基本步骤是：1应精确建立数学模型,即依据题意找出约束条件,确定线性目标函数；2用图解法求得数学模型的解,即画出可行域,在可行域内求得使目标函数取得最值的解；3仍要依据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解,即结合实际情形求得最优解2求目标函数的最优整数解常有两种处理方法：1通过打出网格求整点,关键是作图要精确；y 的一元一次不等 2第一确定区域内点的横坐标范畴,确定 x 的全部整数值,再代回原不等式组,得出 式组,再确定 y 的全部相应整数值,即先固定 x,再用 x 制约 y；3非线性规划问题,是指目标函数和约束函数中至少有一个是非线性函数对于这类问题的考查往住以 求非线性目标函数最值的方式显现4线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界上取得名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆仔细听讲,做好笔记（模板）：仔细听讲,做好笔记（基础自测、强化训练）：第 5 节 不等式的应用考纲要求 考纲研读1.会用基本不等式解决 近几年的高考试题增强了对亲密联系生产和生活实际的应用性问题的考查力简洁的最大 小值问题度主要有两种方式：2.会从实际情境中抽象 1线性规划问题：求给定可行域的面积；求给定可行域的最优解；求目标函数出一些简洁的二元线性 中参数的范畴规划问题,并能加以解 2基本不等式的应用：一是侧重“正” 、“ 定”、“ 等”条件的满意条件；二是用于求决. 函数或数列的最值 . 1假如 a,b R,那么 a 2b 2当且仅当 ab 时取 “ ”号 2假如a,b 是正数,那么a b 2当且仅当ab 时取 “ ”号 3可以将两个字母的重要不等式推广名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆以上不等式从左至右分别为：调和平均数记作H,几何平均数 记作 G ,算术平均数 记作 A ,平方平均数 记作Q ,即 HGAQ,各不等式中等号成立的条件都是ab. 4常用不等式仍有：1a,b,cR,a 2b 2c 2当且仅当 abc 时,取等号 2如 ab0,m 0,就 bman糖水的浓度问题 5.基本不等式的应用主要有：（1）求最值（ 2）恒成立问题求参数取值范畴（3）证明不等式（4）比较大小（ 5）与实际问题结合1：已知x5,就函数y4x2 1 的最大值4 x 52 x 的最大值. . 42. 当 0x时,就yx 843.yx27x10 x1的值域为 . x14. 函数yx 225 4的值域为 .x5. 如实数满意ab2,就3a3b的最小值是 . 1.已知x0,y0,且1 x91,就 xy 的最小值y2.已知 x,y 为正实数,且 2 x 2y 21,就 x1y2 的最大值为. . . 8m 的取值范畴；3.已知 a,b 为正实数, 2baba30,就函数y1 ab的最小值为4. 已知 x,y 为正实数, 3x2y10,就函数 W3x 2y 的最值为5.已知 a、b、 cR ,且abc1；求证：111111abc6.已知x0,y0且1 x91,求使不等式xym恒成立的实数y名师归纳总结 7. 如ab1 ,Plgalgb,Q1lgalgb,Rlga2b,就P,Q,R的大小关系是 . 第 11 页,共 15 页2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆数学应用问题,就是指用数学的方法将一个表面上非数学问题或非完全的数学问题转化成完全形式化 的数学问题随着新课程标准的改革和素养训练的进一步推动,要求同学应用所学学问解决实际问题的趋 势日益明显,近几年的高考试题增强了对亲密联系生产和生活实际的应用性问题的考察力度而以不等式为模型的应用题是最常见的题型之一,经常建立不等式模型求解仔细听讲,做好笔记（模板）：有关统筹支配、 正确决策、 最优化问题以及涉及最值等的实际问题,仔细听讲,做好笔记（基础自测、强化训练）：作业布置：第 6 节 不等式选讲（三选一选作题） 【建议选不等式】考纲要求 考纲研读1.懂得确定值的几何意义,并能利用含确定值不等式的几何意义证明以下不等近几年的高考试题增强了式对亲密联系生产和生活实1|ab| | a| |b|；际的应用性问题的考查力2|ab| | ac|cb| 度主要有两种方式：3会利用确定值的几何意义求解以下类型的不等式：1.线性规划问题： 求给定可名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆|axb| c,|axb| c；|x c| |xb| a 2.明白柯西不等式的不同形式,懂得他们的几何意义,并会证明行域的面积；求给定可行 域的最优解；求目标函数1柯西不等式向量形式：| | ·| 中参数的范畴2x1 x2 2y1y2 2x2x32y2y32 2.基本不等式的应用：用x1x3 2y1y32通常称作平面三角不等式 于求函数或数列的最值,侧重 “正” 、“定” 、“等” 条件 的满意条件 . 3.会用上述不等式证明一些简洁问题能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值4.明白证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、缩放法. 1常用的证明不等式的方法 1比较法：比较法包括作差比较法和作商比较法2综合法：利用某些已经证明过的不等式例如算术平均数与几何平均数的定理和不等式的性质,推导出所要证明的不等式3分析法：证明不等式时,有时可以从求证的不等式动身,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不 等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题,假如能够确定这些充分条件都已具备,那么就可以确定原 不等式成立4反证法：可以从正难就反的角度考虑,即要证明不等式A>B ,先假设AB,由题设及其它性质,推出冲突, 从而确定A>B. 凡涉及的证明不等式为否定命题、唯独性命题或含有“至多 ” 、“至少 ”、“ 不存在 ” 、“不可能 ”等词语时,可以考虑用反证法5放缩法：要证明不等式 A<B 成立,借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的 方法2确定值不等式 1含确定值不等式的解法 设 a>0,|fx|<a . a<fx<a ；|fx|>a . fx< a 或 fx>a. 2懂得确定值的几何意义 |a|b| |a ± b| |a|1用反证法证明时：其中的结论“a>b”,应假设为 A a>b Ba<b Cab D aba 的值为 2广东广州测试如关于x 的不等式 |xa|<1 的解集为 1,3,就实数A 2 B1 C-1 D-2 3不等式 |2x1|>|x|的解集为44不等式 |2x3|>1 的解集为55陕西 不等式 |2x1|<3 的解集为1.广东 不等式 |x1|x3|0 的解集是名师归纳总结 2.江西 对于 xR,不等式 |x10|x2|8 的解集. a 的取值范畴为第 13 页,共 15 页3.广东佛山检测 如不等式 |xa| |x 2| 1 对任意实数x 均成立,就实数4. 求函数y5x1102x的最大值 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆5. 已知a2b21,求证acosbsin 1. 6. 已知x2 y1,求x2y2的最小值 . 7. 已知2x3y4z10,求x2y2z2的最小值 . 8. 已知 a , b , c 是正数,求证a2bb2cc2aa9c. b1利用比较法证明不等式时,为了判定作差后的符号,有时要把这个差变形为一个常数,或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式,也可变形为几个因式的积的形式,以便判定其正负2放缩法证明不等式的理论依据主要有：1不等式的传递性；2等量加不等量为不等量；3同分子 分母 异分母 分子 的两个分式大小的比较常用的放缩技巧有：舍掉 或加进 一些项； 在分式中放大或缩小分子或分母；应用均值不等式进行放缩3特殊留意：对于含确定值的不等式,从2022 年高考开头由选考内容改为必考内容,成为这两年高考名师归纳总结 的热点, 特殊是20XX 年的压轴题就是确定值不等式,应把握确定值不等式的解法和利用|a| |b| |a ± b| |a|第 14 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆|b|证明不等式的基本方法4含确定值不等式的解法：等价转化法、分类争论法及平方法5懂得确定值的几何意义,并明白以下不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a b| |a|b|a,bR；|ab| |ac|cb|a,bR. 仔细听讲,做好笔记（模板）：仔细听讲,做好笔记（基础自测、强化训练）：作业布置：名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 15 页