2022年高三数学知识点精析精练直线.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全2022 高三数学学问点精析精练 15：直线【复习要求】1.对直线方程中的基本概念,要重点把握好直线方程的特点值 主要指斜率、 截距 等问题；直线平行和垂直的条件；与距离有关的问题等 . 2.对称问题是直线方程的一个重要应用,中学里面所涉及到的对称一般都可转化为点关于点或点关于直线的对称 .中点坐标公式和两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具 . 3.线性规划是直线方程的又一应用 .线性规划中的可行域,实际上是二元一次不等式 组表示的平面区域 .求线性目标函数 z=ax+by 的最大值或最小值时,设 t=ax+by,就此直线往右 或左平移时, t 值随之增大 或减小 ,要会在可行域中确定最优解 . 4. 由于一次函数的图象是一条直线,因此有关函数、数列、不等式、复数等代数问题往往借助直线方程进行,考查同学的综合才能及创新才能 . 【复习要点】【例题】【例 1】 已知点 B（1,4）,C（16, 2）,点 A 在直线 x 3y3 = 0 上,并且使 ABC的面积等于 21,求点 A 的坐标；解：直线 BC方程为 2x5y22 = 0,| BC| = 29 ,设点 A 坐标 3y3,y,就可求 A到 BC的距离为|11 y28|,ABC 面积为 21,129|11 y28|21,2927529y70 或 1114,故点 A 坐标为（177,70）或（,14）. 11111111111 l【例 2】 已知直线 l 的方程为 3x+4y12=0, 求直线 l 的方程 , 使得： 与 l 平行 , 且过点 1,3 ; 2 l 与 l 垂直 , 且 l 与两轴围成的三角形面积为4. 解： 1 由条件 , 可设 l 的方程为3x+4y+m=0, 以 x= 1, y=3 代入 , 名师归纳总结 得 3+12+m=0, 即得 m= 9, 直线 l 的方程为3x+4y9=0; 第 1 页,共 11 页2 由条件 , 可设 l 的方程为 4x3y+n=0, 令 y=0, 得xn, 令 x=0, 得yn, 于是由三角形43面积S1nn4, 得 n2=96, n46243直线 l 的方程是4x3y460或4x3y460【例 3】 过原点的两条直线把直线2x3y12 = 0 在坐标轴间的线段分成三等分,求- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全这二直线的夹角；解：设直线 2x3y 12 = 0 与两坐标轴交于 A,B 两点,就 A（0,4）,B（6, 0）,设分点 C,D,设 COD 为所求角；6BCCA 2,y c x c0 14 22 28, C（2,8 ）. 31 2 3又DB AD2,x 0y 0 014 22 64 4, D4, 43 ,k OC 43 , k OD 13 . 1 2 34 1tg | k OC k OD| 3 3 9,arctg 9 . 1 k OC k OD 1 4 1 13 133 3【例 4】 圆 x 2y 2x6yc = 0 与直线 x2y3 = 0 相交于 P,Q 两点 ,求 c 为何值时,OP OQO 为原点 . 解：解方程组消 x 得 5y 220y12c = 0, y 1 y 2 1 12 c , 5消 y 得 5x 210x4c27 = 0, x 1 x 2 1 4 c 27 , 5OP OQ,y 1 y 2 1 ,12 c 4 c 27,解得 c = 3. x 1 x 2 5 5【例 5】 已知直线 y =2xb 与圆 x 2y 24x2y15 = 0 相切 ,求 b 的值和切点的坐标. 解：把 y =2x b 代入 x 2y 24x2y15 = 0, 整理得 5x 24b2xb 22b15 = 0,令 = 0 得 b =7 或 b =13, 方程有等根,x 2 b 2 ,得 x =2 或 x = 6,5代入 y = 2x 7 与 y = 2x13 得 y =3 或 y = 1,所求切点坐标为（2, 3）或（ 6,1）. 【例 6】 已知 |a|1,|b|1,|c|1,求证： abc+2a+b+c. 证明：设线段的方程为y=fx= bc1x+2 bc,其中 |b| 1,|c| 1,|x| 1,且 1b1. f1=1bc+2b c=1bc+1b+1c0 f1=bc 1+2bc=1 b1 c 0 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全线段 y=bc 1x+2bc1x1在 x 轴上方,这就是说,当 |a|1,|b|1,|c|1 时,恒有 abc+2a+b+c. 【例 7】 某校一年级为协作素养训练,利用一间教室作为同学绘画成果展览室,为节省经费,他们利用课桌作为展台,将装画的镜框放置桌上,斜靠展出,已知镜框对桌面的倾斜角为 90° 180° 镜框中, 画的上、 下边缘与镜框下边缘分别相距 a m,bm,ab.问同学距离镜框下缘多远看画的成效正确？解：建立如下列图的直角坐标系,AO 为镜框边, AB 为画的宽度,O 为下边缘上的一点,在 x 轴的正半轴上找一点 Cx,0x0,欲使看画的成效正确,应使ACB 取得最大值 . 由三角函数的定义知：A、B 两点坐标分别为 acos ,asin 、bcos ,bsin ,于是直线 AC、BC 的斜率分别为：kAC=tanxCA=aasinx, abcmcosk BCtanxCBbbsinx.cos 于是 tanACB=1kBCkACababxsinx2ab absinkBCkACabxcosx abcos x由于 ACB 为锐角,且x 0,就 tanACB2absin,当且仅当ab =x,即 x= xcosabab时,等号成立, 此时 ACB 取最大值, 对应的点为Cab ,0,因此,同学距离镜框下缘ab处时,视角最大,即看画成效正确. 【例 8】 预算用 2000 元购买单件为50 元的桌子和20 元的椅子,期望使桌椅的总数尽可能的多,但椅子不少于桌子数,且不多于桌子数的1.5 倍,问桌、椅各买多少才行？名师归纳总结 解：设桌椅分别买x,y 张,把所给的条件表示成不等式组,即约束条件第 3 页,共 11 页为50x20y2000由50xx20y2000,解得x200yx7y15.x0yy200x,0y7A 点的坐标为 200 ,7200 7由50x.120y2000,解得x2575y5xy2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全B 点的坐标为 25,75 2名师归纳总结 所以满意约束条件的可行域是以A200 ,7200 ,B25,775 ,O0,2第 4 页,共 11 页0为顶点的三角形区域如右图 由图形直观可知, 目标函数 z=x+y 在可行域内的最优解为25,752,但留意到 xN,yN*,故取 y=37. 故有买桌子25 张,椅子 37 张是最好挑选 . 【例 9】已知甲、 乙、丙三种食物的维生素A、B 含量及成本如下表,如用甲、乙、丙三种食物各x 千克, y 千克, z 千克配成100 千克混合食物,并使混合食物内至少含有 56000 单位维生素A 和 63000 单位维生素B. 甲乙丙维生素 A（单位 / 千克）600 700 400 维生素 B（单位 / 千克）800 400 500 成本（元 /千克）11 9 4 （）用 x,y 表示混合食物成本c 元；（）确定x,y,z 的值,使成本最低解：（）由题,c11x9y4z ,又xyz100,所以,c4007x5y （）由600 x700y400 z56000, 63000及z100xy得,4x6y320,800x400y500 z3 xy130所以, 7x5y450.所以,c4007x5y400450850,当且仅当4x6y320 , 130即x50时等号成立3 xyy20所以,当 x=50 千克, y=20 千克, z=30 千克时,混合物成本最低,为850 元点评 ：此题为线性规划问题,用解析几何的y观点看,问题的解实际上是由四条直线所围成的x03x-y=130区域yx0y320上使得c4007x5yM4x+6y=320463xy130M （50,20）处最大的点不难发觉,应在点取得x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全【直线练习 1】一、挑选题1设 M=1020001,N1020011,就 M 与 N 的大小关系为 D.无法判定10200112020021A.MNB.M=N C.MN2三边均为整数且最大边的长为11 的三角形的个数为 D. 以上都不对A.15 B.30 C.36 二、填空题3直线 2xy4=0 上有一点 P,它与两定点A4, 1,B3,4的距离之差最大,就P点坐标是 _. 4自点 A3,3发出的光线l 射到 x 轴上, 被 x 轴反射, 其反射光线所在直线与圆x 2+y24x4y+7=0 相切,就光线l 所在直线方程为_. 5函数 f =sin1的最大值为 _,最小值为 _. cos26设不等式2x1 mx 21对一切满意 |m|2 的值均成立,就x 的范畴为 _. 三、解答题7已知过原点O 的一条直线与函数y=log 8x 的图象交于A、B 两点,分别过点A、B 作 y轴的平行线与函数y=log 2x 的图象交于C、D 两点 . 1证明：点 C、D 和原点 O 在同始终线上 . 2当 BC 平行于 x 轴时,求点 A 的坐标 . 8设数列 an 的前 n 项和 Sn=na+nn1b,n=1,2, ,a、b 是常数且 b 0. 1证明： an 是等差数列 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全2证明：以 an,Sn 1为坐标的点 Pnn=1,2, 都落在同一条直线上,并写出此直线的方程 n. 3设 a=1,b=1,C 是以 r,r为圆心, r 为半径的圆 r 0,求使得点P1、P2、P3都落在圆 C2外时, r 的取值范畴 . 参考答案一、 1.解析：将问题转化为比较A1, 1）与 B102001,102000）及 C102002,10 2001）连kABkAC,即 M线的斜率大小,由于B、C 两点的直线方程为y=1x,点 A 在直线的下方,10N. 答案： A2.解析：设三角形的另外两边长为 x,y,就0 x 110 y 11x y 11点x,y）应在如右图所示区域内当 x=1 时, y=11；当 x=2 时, y=10,11；当 x=3 时, y=9,10,11；当 x=4 时, y=8,9,10,11; 当 x=5 时, y=7,8,9,10,11. 以上共有 15 个, x,y 对调又有15 个,再加上 6,6）,7,7）,8,8）,9,9）, 10,10）、11,11）六组,所以共有 36 个. 答案： C 二、 3.解析：找 A 关于 l 的对称点 A , AB 与直线 l 的交点即为所求的P 点. 答案： P5,6）4.解析：光线l 所在的直线与圆x 2+y24x4y+7=0 关于 x 轴对称的圆相切. 答案： 3x+4y3=0 或 4x+3y+3=0 5.解析： f =sin cos1 2表示两点 cos ,sin 与2,1连线的斜率 . 答案：40 x 21m+12x0,构造线段fm= x 21m+12x, 2m2,就36.解析：原不等式变为f 20,且 f2 0. 名师归纳总结 答案：71x31第 6 页,共 11 页22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全三、 7.1证明：设 A、B 的横坐标分别为 点 Ax1,log 8x1,Bx2,log 8x2. x1、x2,由题设知 x11,x21,由于 A、B 在过点 O 的直线上, 所以log8x 1log8x 2,又点 C、D 的坐标分别为 x1,log 2x1）、x 1x 2x2,log 2x2. 由于 log2x1=3log 8x1,log 2x2=3log 8x2,就k OClog2x 13log8x 1,kODlog2x 23log8x2x 1x 1x 2x 2由此得 kOC=kOD ,即 O、C、D 在同始终线上 . 2解：由 BC 平行于 x 轴,有 log 2x1=log 8x2,又 log2x1=3log 8x1x 2=x133 ,log83 . 将其代入log8x 1log8x 2,得 x13log 8x1=3x1log8x1, x 1x 2由于 x1 1 知 log8x1 0,故 x1 3=3x1x2=3 ,于是 A9.1证明：由条件,得a1=S1=a,当 n2 时,有 an=SnSn1=na+nn1b n1a+n1n2b =a+2n1b. 因此,当 n2 时,有 anan 1=a+2n1b a+2n2b =2b. 所以 an是以 a 为首项, 2b 为公差的等差数列 . 2证明： b 0,对于 n2,有 Sn n 1 S1 1 1 na na n 1 b a n 1 b 1a n a 1 a 2 n 1 b a 2 n 1 b 2全部的点 Pnan, Sn 1n=1,2, 都落在通过 P1a,a1且以 1 为斜率的直线上 .此直线n 2方程为 ya1= 1xa,即 x2y+a2=0. 23解：当 a=1,b= 1 时,Pn 的坐标为 n, n 2,使 P11,0、P22, 1、P33,1都落在圆 C 外2 2 2的条件是r12r2r2r2即r1200r12r12r25r1724r3 2r12r2r28r100由不等式 ,得 r 1 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全由不等式,得r5 22 或 r5 + 22由不等式,得r46 或 r4+65 22 4+6 ,+. 再留意到 r 0,15 22 46 =5+2 4+62故使 P1、P2、P3 都落在圆 C 外时, r 的取值范畴是 0,1 1,【直线练习 2】1 l1的方程为2 xy30, l1 关于 x 轴对称的直线为l 2 , l2 关于 y 轴对称的直线为Bl3 ,那么直线 l3的方程为 B ）Ax2y30B2xy30C2xy30D2 xy602与圆 x22 y4x30相外切,且与y 轴相切的动圆的圆心的轨迹方程是；y26x123已知定点A1,1,B3,3,点 P 在 x 轴上,且APB 取得最大值,就P 点坐标为（A2,B6,C7 ,3D4,解：P 点即为过 A、B 两点且与 x 轴相切的圆的切点,设圆方程为名师归纳总结 xa 2yb2b2a0 ,b0就乙是甲的 （A）第 8 页,共 11 页所以有1a21b 2b2a063a23b2b2b4圆x2y2x0上的点到直线x3y30的最知距离为（A）A3B5C3D924445条件甲： 方程x2y21表示一双条双曲线,条件乙： m0 且n0mnA充分非必要条件B必要非充分条件 C充要条件D既非充分又非必要条件6设点 P在有向线段的延长线上 ,点 P分所成的比为, 就 AA1B10- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全C01D1名师归纳总结 7假如 AC<0 且 BC<0, 那么直线 Ax + By +C = 0, 不通过 C 第 9 页,共 11 页A第一象限B其次象限C第三象限D第四象限8如点 4, m到直线 4x3 y1的距离不大于3, 就 m 的取值范畴是 B A0, 10 B 010C1,31D,010 ,339原点关于直线8x6y25的对称点坐标为 D A2 ,3B25,25C3, 4 D4, 3 28610假如直线yax2 与直线 y3xb关于直线 y = x 对称 , 那么 A A a1,b6B a1,b633Ca = 3, b = 2 Da = 3, b = 6 11已知直线 l1和l2的夹角的平分线为yx , 假如 l1 的方程是 axbyc0 ab0 ,那么 l 2的方程是 A A bxayc0B axbyc0C bxayc0D bxayc012假如直线 ax2y20 与直线 3xy20平行 , 那么系数 a = B A 3 B 6 C3D22313两条直线A xB yC10,A x 2B y 2C20 垂直的充要条件是 A A A A2B B20B A A 2B B 120CA A21DB B 21B B 12A A 1 214假如直线l 沿 x 轴负方向平移3 个单位 , 再沿 y 轴正方向平移1 个单位 , 又回到原先的位置, 那么直线 l 的斜率是 A A1B 3 C1D3 3315设 a、b、c 分别是ABC中, A、B、C所对边的边长 , 就直线 sin A·xayc0与 bxsinB·ysinC0 的位置关系是 C A平行B重合C垂直D相交但不垂直16求与点 A1, 2的距离等于4, 且到 x 轴的距离等于2 的点的坐标 : ；（3, 2）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全17直线 L：y=kx-1 与曲线y x21不相交,就k 的取值范畴是 A 12名师归纳总结 A1或 3 B1 2C3 D1,3 第 10 页,共 11 页22182假如 a· c<0,b·c<0,那么直线ax+by+c=0 不通过（C ）A第一象限B其次象限C第三象限D第四象限19直线 y=x 1 被圆x3 2y1 225,所截的弦长为（C ）A98B40 1 4C82D984320斜率为 1 的直线与两直线2x+y1=0,x2y20分别相交于A,B 两点,线段AB 的中点的轨迹方程为（B）A、xy10B、xy10C、x2y30D、x2y3021已知双曲线C 和椭圆C ：x22y121有公共的焦点,它们的离心率分别是e 14924和e ,且112；（1）求双曲线C 的方程；（2）圆D 经过双曲线C 的两焦点,且e 1e 1与 x 轴有两个交点,这两个交点间的距离等于8,求圆 D 的方程；解：（1）椭圆C 的两个焦点坐标是F 17 1, ,F21,3 离心率e 257由112可知双曲线C 的离心率1e5e 1e23c225 ,a29,b2c2a216故双曲线C 的方程为x2 2y121916（2）圆 D经过双曲线的两个焦点,圆心D 在直线 x= 2 上设圆 D 的方程为x2 2yb 252 b12整理得：x2y24x2 by2 b220令 y=0,得x24x2 b220设圆 D 与 x 轴的两个交点为（1x, 0）,（x 20,）,就x 1x2,4x 1x22b22依题意 |x 1x2|=x 1x 224 x 1x28- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全即 16 4（2b22）=64,解得 b=5 名师归纳总结 所以圆的方程为x2 2y5241第 11 页,共 11 页- - - - - - -