高考复习之函数与导数100题经典大题汇编(共78页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上2012届高三函数与导数解答题1. 已知（1）求函数f(x)的最小值；（2）对一切恒成立，求实数的取值范围；解：（1）由得当单调递减；当单调递增；（2）设 单调递减， 单调递增，所以，对一切恒成立，所以2. 已知函数，且，在的切线斜率为。（1）求；（2）设求证：解：（1），由 得： 又，则 4分（2）， 5分，易证：时，；时；时，3. 已知函数（）求函数的单调区间；（）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？（）当时，设函数，若在区间上至少存在一个，使得成立，试求实数的取值范围解：（）由知：当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；4分（）由,，. 6分故，, 函数在区间上总存在极值，有两个不等实根且至少有一个在区间内7分又函数是开口向上的二次函数，且， 8分由，在上单调递减，所以；，由，解得；综上得： 所以当在内取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值。9分（）令，则.当时，由得，从而,所以，在上不存在使得；11分当时，,，在上恒成立，故在上单调递增。 13分故只要，解得综上所述， 的取值范围是 14分4. 设aR，函数（），其中是自然对数的底数（） 判断函数在R上的单调性；（） 当时，求函数在1，2上的最小值解： （） 2分由于, 只需讨论函数的符号:当a = 0时, ，即，函数在R上是减函数； 4分当a>0时, 由于，可知，函数在R上是减函数； 6分当a<0时, 解得，且在区间和区间上，函数是增函数；在区间上，函数是减函数综上可知：当a0时，函数在R上是减函数；当a<0时, 函数在区间上是增函数；在区间上是减函数；在区间上是增函数（） 当时，,所以, 函数在区间1，2上是减函数，其最小值是 5. 已知函数（）求函数的单调区间；（）设，若对任意，不等式 恒成立，求实数的取值范围（II）若对任意，不等式恒成立，问题等价于， 5分由（I）可知，在上，是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，故也是最小值点，所以； 6分当时，；当时，；当时，； 问题等价于 或 或 解得 或 或 即，所以实数的取值范围是 6. 已知函数，其中是自然数的底数，。（） 当时，解不等式；（） 若在，上是单调增函数，求的取值范围；（） 当时，求整数的所有值，使方程在，上有解。解：因为，所以不等式即为，又因为，所以不等式可化为，所以不等式的解集为4分，当时，在上恒成立，当且仅当时取等号，故符合要求；6分当时，令，因为，所以有两个不相等的实数根，不妨设，因此有极大值又有极小值若，因为，所以在内有极值点，故在上不单调8分若，可知，因为的图象开口向下，要使在上单调，因为，必须满足即所以.综上可知，的取值范围是10分当时, 方程即为，由于，所以不是方程的解，所以原方程等价于，令，因为对于恒成立，所以在和内是单调增函数，13分又，所以方程有且只有两个实数根，且分别在区间和上，所以整数的所有值为16分7. 已知函数（1）设曲线在处的切线与直线垂直，求的值（2）若对任意实数恒成立，确定实数的取值范围（3）当时，是否存在实数，使曲线C：在点处的切线与轴垂直？若存在，求出的值，若不存在，说明理由解：（1）， 因此在处的切线的斜率为，又直线的斜率为， （）1， 1.（2）当0时，恒成立， 先考虑0，此时，可为任意实数； 又当0时，恒成立，则恒成立， 设，则，当(0,1)时，0，在(0,1)上单调递增，当(1,)时，0，在(1,)上单调递减，故当1时，取得极大值， 实数的取值范围为 （3）依题意，曲线C的方程为，令，则设，则，当，故在上的最小值为， 所以0，又，0，而若曲线C：在点处的切线与轴垂直，则0，矛盾。所以，不存在实数，使曲线C：在点处的切线与轴垂直. 8. 设函数f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)g(x).（1）若x=0是F(x)的极值点,求a的值；（2）当 a=1时,设P(x1,f(x1), Q(x2, g(x 2)(x10,x20), 且PQ/x轴,求P、Q两点间的最短距离；（3）若x>0时,函数y=F(x)的图象恒在y=F(x)的图象上方,求实数a的取值范围解：()F(x)= ex+sinxax,因为x=0是F(x)的极值点,所以2分又当a=2时,若x<0, ;若 x>0, x=0是F(x)的极小值点, a=2符合题意 4分 () a=1, 且PQ/x轴,由f(x1)=g(x2)得:,所以令当x>0时恒成立7x0,+时,h(x)的最小值为h(0)=1|PQ|min=1 8分()令则因为当x0时恒成立, 11分所以函数S(x)在上单调递增, 12分S(x)S(0)=0当x0,+时恒成立; 因此函数在上单调递增, 当x0,+时恒成立当a2时,在0,+单调递增,即故a2时F(x)F(x)恒成立 13分9. 已知函数定义域为(),设.（1）试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数；（2）求证:；（3）求证:对于任意的,总存在,满足,并确定这样的 的个数解: ()因为2分由；由,所以在上递增,在上递减 ,欲在上为单调函数,则 4分()证明:因为在上递增,在上递减,所以在处取得极小值 6分 又,所以在上的最小值为 从而当时,即 9分（）证:因为, 即为, 令,从而问题转化为证明方程=0在上有解,并讨论解的个数 11分 因,所以 当时,所以在上有解,且只有一解 13分当时,但由于,所以在上有解,且有两解 14分当时,所以在上有仅有一解；当时, 所以在上也有且只有一解 15分综上所述, 对于任意的,总存在,满足,且当时,有唯一的适合题意；当时,有两个适合题意 16分10. 已知三次函数的最高次项系数为a，三个零点分别为. 若方程有两个相等的实根，求a的值； 若函数在区间内单调递减，求a的取值范围.解：1）依题意，设有两个相等实根，即有两个相等实根，即或。（2）在内单调递减，在恒成立，11. 对于三次函数定义：（1）设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；定义：（2）设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有成立，则函数的图象关于点对称己知，请回答下列问题：（1）求函数的“拐点”的坐标（2）检验函数的图象是否关于“拐点”对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）（3）写出一个三次函数，使得它的“拐点”是（不要过程）（1）依题意，得： ， 。2分 由 ，即。，又 ， 的“拐点”坐标是。（2）由(1)知“拐点”坐标是。而= =，由定义(2)知：关于点对称。一般地，三次函数的“拐点”是，它就是的对称中心。（或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数）都可以给分（3）或写出一个具体的函数,如或。12. 已知函数（I）求函数的单调递减区间；（II）若在上恒成立，求实数的取值范围；（III）过点作函数图像的切线，求切线方程解：（）得 2分 函数的单调递减区间是； 4分 （）即 设则 7分 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增； 最小值实数的取值范围是； 10分 （）设切点则即 设，当时是单调递增函数 13分 最多只有一个根，又 由得切线方程是. 16分13. 设函数 (kN*，aR)(1) 若，求函数的最小值； (2) 若是偶数，求函数的单调区间解：（1）因为，所以，（），由得，且当时，在上是增函数；当时，在上是减函数故（5分）（2）当是偶数时， 所以当时，在上是增函数；（9分）当时，由得，且当时，当时，所以在上是减函数，在上是增函数（13分）综上可得当时，的增区间为；当时，的减区间为，增区间为（14分）14. 已知函数，其中，且函数在上是减函数，函数在上是增函数（1）求函数，的表达式；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围 （3）求函数的最小值，并证明当，时解：（1）对任意的恒成立，所以，所以；同理可得；（4分）（2），且函数在上是减函数，函数在上是增函数所以时， （6分）有条件得，；（8分）（3），当时，当时，当时，在递减，在递增（12分）当时，；，所以，时成立；（16分）15. 已知二次函数对任意实数都满足，的最小值为且令（）（1）求的表达式；（2）若使成立，求实数的取值范围；（3）设，证明：对、，恒有16、（）（）当时，由对数函数性质，的值域为；当时，对，恒成立；当时，由得， 7分列表：0+减极小增这时，综合若，恒成立，则实数的取值范围为故存在使成立，实数的取值范围为 10分（）证明：因为对，所以在内单调递减于是， 记（），则，所以函数在上是单调增函数，所以，故命题成立 16.17. 已知函数 （）若函数上为单调增函数，求a的取值范围；（）设求证：.解: （I）因为上为单调增函数，所以上恒成立.所以a的取值范围是（II）要证，只需证，即证只需证由（I）知上是单调增函数，又，所以18. 已知函数.（）求函数的单调区间；（）设，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围解： （I） ， 由及得；由及得，故函数的单调递增区间是；单调递减区间是（II）若对任意，不等式恒成立，问题等价于，5分由（I）可知，在上，是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，故也是最小值点，所以；6分当时，；当时，；当时，；问题等价于 或 或解得 或 或 即，所以实数的取值范围是19. 已知函数，在点处的切线方程是（e为自然对数的底）。（1）求实数的值及的解析式；（2）若是正数，设，求的最小值；（3）若关于x的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.解：（1）依题意有： fx）=alnx+a fe）=alne+a=2 ，a=1（e，f（e）在f（x）上 f（e）=aelne+b=ae+b=e，b=0故实数 （2）， 的定义域为； 增函数减函数 （3）由(2)知 对一切恒成立 故实数的取值范围.20. 已知函数（）若在处取得极值，求的值；（）求函数在上的最大值解：（）， 函数的定义域为 在处取得极值，即， 当时，在内，在内，是函数的极小值点 （2） ， x， ，在上单调递增；在上单调递减， 当时， 在单调递增， ； 当，即时，在单调递增，在单调递减，； 当，即时，在单调递减， 综上所述，当时，函数在上的最大值是； 当时，函数在上的最大值是；当时，函数在上的最大值是21. 已知函数来源:学科网ZXXK()如，求的单调区间；来源:Z.xx.k.Com()若在单调增加，在单调减少，证明6. 解：（）当时，故 来源:学*科*网 当当从而单调减少.()由条件得：从而因为所以将右边展开，与左边比较系数得，故又由此可得于是 22. 已知函数（）求的单调递区间；（）若的图象与轴有三个交点，求实数的取值范围。解：（I）f(x)3x26x9令f(x)>0，解得1<x<3所以函数f(x)的单调递增间为(1，3)令f(x)0，解得x1或x3所以函数f(x)的单调递减区间为(，1)，(3，)（II）由（I）知若的图象与轴有三个交点，则解得 所以实数的取值范围是（-27,5）23. 已知函数.（）若为函数的极值点，求函数的解析式；（）若函数在其定义域内为增函数，求实数的取值范围.解：（） ， 由为函数的极值点知，得. 函数. （）函数的定义域为函数 要使函数函数在其定义域内为单调增函数，只需函数在区间恒成立.即在区间恒成立. 即在区间恒成立. 令，当且仅当时取等号， . 24. 已知函数的图象经过原点，且在处的切线斜率为。（）求的值；（）求函数在区间上的最大值。解：（）函数的图象过原点，即，函数在处的切线斜率为即，。（）时，令，则，；时，当即时， 当即时， 当即时，；当时，若即时，若即时，综上，函数在区间上的最大值为25. 已知函数，为正常数 （）若，且，求函数的单调增区间； （） 若，且对任意，都有，求的的取值范围（），.5分设，则，在上是增函数，则当时，有最大值为，当时， ，令，得： ，设，则，在上是增函数，综上所述，26. 已知函数在处的切线方程为，为的导函数，（，）.（1） 求，的值；（2） 若存在，使成立，求的范围.27. 已知函数 (1)当时，求的极值点;(2)若在的单调区间上也是单调的，求实数a的范围.解 (1)f(x)= x2- lnx+x （）f(x)=x - + 1=0x1=，x2=2(0，单调减 ，+)单调增3f(x)在x= 时取极小值4(2)解法一：f(x)= 5令g(x)=x2-2ax+ a2+ a， =4a2-3a2-2a=a2-2a，设g(x)=0的两根710 当0时 即0a2，f(x)0f(x)单调递增，满足题意920 当>0时 即a<0或a>2时(1)若，则 a2 + a<0 即- <a<0时,在上减，上增f(x)=x+ -2af(x)=1- 0 f(x) 在(0，+)单调增，不合题意11(2)若 则即a- 时f(x)在(0，+)上单调增，满足题意。13(3) 若则 即a>2时f(x)在(0，x1)单调增，(x1，x2)单调减，(x2，+)单调增，不合题意15综上得a- 或0a2. 16解法二：f(x)= 5令g(x)=x2-2ax+ a2+ a， =4a2-3a2-2a=a2-2a，设g(x)=0的两根710 当0时 即0a2，f(x)0f(x)单调递增，满足题意 920 当>0时 即a<0或a>2时 (1)当 若a2 + a<0，即- <a<0时,在上减，上增f(x)=x+ -2af(x)=1- 0 f(x) 在(0，+)单调增，不合题意11若 a2 + a>0，即a- 时， f(x)在(0，+)上单调增，满足题意。13(2)当时，a2 + a>0，f(x)在(0，x1)单调增，(x1，x2)单调减，(x2，+)单调增，不合题意15综上得a- 或0a2. 1628. 设函数.（1）若=1时，函数取最小值，求实数的值；（2）若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围；（3）若，证明对任意正整数，不等式都成立解:（1）由x + 10得x 1f(x)的定义域为( - 1，+ ),对x ( - 1，+ ),都有f(x)f(1)，f(1)是函数f(x)的最小值，故有f/ (1) = 0,解得b= - 4. 经检验，列表（略），合题意；（2）又函数f(x)在定义域上是单调函数，f/ (x) 0或f/(x)0在( - 1，+ )上恒成立.若f/ (x) 0，x + 10，2x2 +2x+b0在( - 1，+ )上恒成立,即b-2x2 -2x = 恒成立,由此得b;若f/ (x) 0, x + 10, 2x2 +2x+b0,即b- (2x2+2x)恒成立，因-(2x2+2x) 在( - 1，+ )上没有最小值，不存在实数b使f(x) 0恒成立.综上所述，实数b的取值范围是.（3）当b= - 1时，函数f(x) = x2 - ln(x+1)，令函数h(x)=f(x) x3 = x2 ln(x+1) x3，则h/(x) = - 3x2 +2x - ，当时，h/(x)0所以函数h(x)在上是单调递减.又h(0)=0，当时，恒有h(x) h(0)=0, 即x2 ln(x+1) x3恒成立.故当时,有f(x) x3.取则有 ,故结论成立。29. 已知函数和函数.(1) 若方程在上有两个不同的解,求实数m的取值范围;(2) 若对任意,均存在,使得成立,求实数m的取值范围.20. 已知函数（.（1）当时，求在点处的切线方程；（2）当时，解关于的不等式；（3）求函数在上的最小值.来源:Zxxk.Com30. 已知函数（1）当a1时，求函数f(x)的单调增区间；（2）求函数在区间1，e上的最小值； （3）设，若存在，使得成立，求实数a的取值范围解：（1）当a1时，f(x)x23xlnx，定义域为（0，）f(x)2x3x（0，）（，1）（1，）f(x)f(x)令f(x)0，得x1，或x2分所以函数f(x)的单调增区间为（0，）和（1，）4分（2）f(x)2x(2a1)令f(x)0，得xa，或x当a1时，x1(1，e)ef(x)f(x)2ae2(2a1)ea所以f(x)min2a；6分当1ae时，x(1，a)a(a，e)f(x)0f(x)极小值a(lnaa1)x(1，a)a(a，e)f(x)0f(x)极小值a(lnaa1)所以f(x)mina(lnaa1)； 8分x1(1，e)ef(x)f(x)2ae2(2a1)ea当ae时，所以f(x)mine2(2a1) ea10分因为h()0，h(e)0 所以当x，e时，h(x)maxh(e)所以a所以实数a的取值范围为(， 31. 已知函数定义域为(),设.()试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数；()求证:；()求证:对于任意的,总存在,满足,并确定这样的的个数.()解:因为 由；由,所以在上递增,在上递减 欲在上为单调函数,()证:因为在上递增,在上递减,所以在处取得极小值, 又,所以在上的最小值为 (9分) 从而当时,即(10分)()证:因为,所以即为, 令,从而问题转化为证明方程=0在上有解,并讨论解的个数(12分) 因为,所以 当时,所以在上有解,且只有一解 (13分)当时,但由于,所以在上有解,且有两解 (14分)当时,所以在上有且只有一解；当时, 所以在上也有且只有一解(15分)综上所述, 对于任意的,总存在,满足,且当时,有唯一的适合题意；当时,有两个适合题意(16分)(说明:第()题也可以令,然后分情况证明在其值域内,并讨论直线与函数的图象的交点个数即可得到相应的的个数)32. 已知函数f(x)axx2xlna(a0，a1)（1）当a1时，求证：函数f(x)在(0，)上单调递增；（2）若函数y|f(x)t|1有三个零点，求t的值；（3）若存在x1，x21，1，使得|f(x1)f(x2)|e1，试求a的取值范围解：（1）3分由于，故当时，所以，故函数在上单调递增5分（2）当时，因为，且在R上单调递增，故有唯一解7分所以的变化情况如下表所示：x00递减极小值递增又函数有三个零点，所以方程有三个根，而，所以，解得10分（3）因为存在，使得，来源:学|科|网所以当时，11分由（2）知，在上递减，在上递增，来源:Z*xx*k.Com所以当时，12分而，记，因为（当时取等号），所以在上单调递增而，故当时，；当时，即当时，；当时，14分当时，由；当时，由综上可知，所求的取值范围为16分33. 已知函数的图象过坐标原点O,且在点 处的切线的斜率是5.（1）求实数的值；（2）求在区间上的最大值；解：（1）当时， 2分依题意 3分 又有， 4分（2）当时，令有，。 5分当x变化时，与的变化情况如下表：-1（-1，0）0（0，）（，1）10+02 ；。当时，最大值为2。 8分当时，若，则是减函数，此时；若时，此时当时，是增函数，。当时，有 当时，有 34. 已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）已知命题P：对定义域内的任意恒成立，若命题P成立的充要条件是，求实数的值。 解：（）当时，的变化情况如下表：1+0-0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是6分（）由于，显然时，此时对定义域内的任意不是恒成立的，当时，易得函数在区间的极小值、也是最小值即是，此时只要即可，解得，实数的取值范围是.成立的充要条件为.故.26. 设函数（1）求证：的导数；（2）若对任意都有求a的取值范围。解：（1）的导数，由于，故，当且仅当时，等号成立；4分（2）令，则，（）若，当时，故在上为增函数，所以，时，即8分（）若，解方程得，所以，（舍去），此时，若，则，故在该区间为减函数，所以，时，即，与题设相矛盾。综上，满足条件的的取值范围是。27. 已知三个函数y = sinx+1，它们各自的最小值恰好是函数的三个零点(其中t是常数，且0 < t < 1)(1)求证：；(2)设的两个极值点分别为，若，求f (x)及| m n |的取值范围28. 已知m为实常数，设命题p：函数在其定义域内为减函数；命题是方程的两上实根，不等式对任意实数恒成立。（1）当p是真命题，求m的取值范围；（2）当“p或q”为真命题，“p且q”为假命题时，求m的取值范围。（）. 7分所以，当或或时，是真命题. 9分又由题意可知、为一真一假.当真假时，解得；当假真时，解得 10分 综上所述，所求的取值范围为 13分29. 函数（）若，在处的切线相互垂直，求这两个切线方程；（）若单调递增，求的取值范围解：（I）, 两曲线在处的切线互相垂直 在 处的切线方程为， 同理，在 处的切线方程为6分(II) 由得 8分单调递增 恒成立即 10分令 令得，令得的范围为 13分30. 已知函数()求函数的定义域；()求函数的单调区间；()当时，若存在使得成立，求的取值范围解：（）当时,由得；当时由得综上：当时函数的定义域为； 当时函数的定义域为 3分() 5分令时，得即，当时，时，当时，故当 时，函数的递增区间为，递减区间为当时，所以，故当时，在上单调递增当时，若，;若，故当时，的单调递增区间为;单调递减区间为综上：当时，的单调递增区间为;单调递减区间为当时，的单调递增区间为;当时，的单调递增区间为;单调递减区间为; 10分（）因为当时，函数的递增区间为;单调递减区间为若存在使得成立，只须，即 114分31. 已知函数，它在原点处的切线恰为x轴。（1）求的解析式；（2）证明：当（3）证明：。32. 已知函数，过该函数图象上点（）证明：图象上的点总在图象的上方； （）若上恒成立，求实数的取值范围解：（），设为增，当，所以图象上的点总在图象的上方 6分（）当x（，0）（0，1）1（1，+）F（x）0+F（x）减减e增当x0时，F（x）在x=1时有最小值e，当x0时，F（x）为减函数，当x=0时，R 由，恒成立的的范围是 13分33. 已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）为何值时，函数在区间上有零点.解：（1） -2分令若，则，的递增区间是；-3分若，则方程的两根，当时，的递增区间是 -5分若且，即时，方程的两根，此时的递增区间为和若且即时此时的递增区间为 -8分综上略（2）问题等价于方程=0在上有实根，而=0，令， -10分再令，则当时， 当时，当时，取得唯一的极大值也是的最大值当时， 在上单调递减当时，故当时，函数在上有零点. -14分34. 已知函数 （I）求函数的单调区间； （II）证明：35. 已知函数 （I）求的极小值； （II）若上为单调增函数，求m的取值范围； （III）设（e是自然对数的底数）上至少存在一个成立，求m的取值范围。解：（）由题意，当时，；当时，所以，在上是减函数，在上是增函数，故 4分（） ，由于在内为单调增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，故，所以的取值范围是 8分（）构造函数，当时，由得，所以在上不存在一个，使得 10分当时，因为，所以，所以在上恒成立，故在上单调递增，所以要在上存在一个，使得，必须且只需，解得，故的取值范围是 13分另法:（）当时，当时，由，得 ， 令，则，所以在上递减，综上，要在上存在一个，使得，必须且只需36. 已知函数 （I）求函数的单调区间； （II）若函数 的图象在点（2，f（2）处的切线的倾斜角为45°，函数在区间（1，3）上总是单调函数，求m的取值范围； （III）求证：。而函数为上递减函数，则则或 9分 注：也可以考虑而函数在区间（1,3）上总是单调函数，则可以得出或令由（I）知，上单调递增，12分14分37. 已知函数， （1） 当时，若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围；（2）设函数在，处取地极值，且