2021年深圳市高三年级第一次调研考试——数学答案.docx

绝密启封并使用完毕前试题类型：A2021 年深圳市高三第一次调研考试数学试题答案及评分参考一、单项选择题：题号12345678答案DABADCBC二、多项选择题：题号9101112答案ACBCBDABD12. 解析：（1）考查选项 A：若CD/ 平面 xOy ，考虑以下特殊情形：当点 B 与坐标原点O 重合时， S 为正方形；当点 A 与坐标原点O 重合时， S 为三角形，故选项 A 正确；（2）考查选项 B：若点 A 与坐标原点O 重合，即 AB 在 z 轴上， 易知CD/ 平面 xOy ，且 S 为三角形，不难知道其面积为 1 ´1´ 2 =2 ，故选项 B 正确；224（3）考查选项 C：当OA = OB = OC ，且点O 在正四面体 ABCD 外部时， 则点 D 恰好为以OA ， OB ， OC 为棱的正方体的一个顶点，14 AB = 1 ， OA =2 ， S 是边长为2 的正方形，其面积为 1 ，故选项 C 错误；222（不难知道当OA = OB = OC ，且点O 在正四面体 ABCD 内部时， S 为三角形，且其面积为 5 ）12（4）考查选项 D：设 AB 的中点为 M ，则OM = 1 ，且 MD =3 ，22易知OD £ OM + MD = 1+ 3 < 3 ，即OD < 3 ，222点 D 到坐标原点O 的距离小于 3 ，故选项 D 正确；2综上所述，应选 A、B、D.三、填空题：13.f (x)=x2 + 1 （答案不唯一） ；14. 8 ；15. 6 ；16. 1 + 3 .42313. 解析： f (x)=x2 + 1 ，或 f (x)=4x2 + 12x2 + 1，或 f (x)= -等(只需 f (x)=ax22+ c 满足ac = 1 即可)416. 解析：不妨设 BC = a ， AC = b ， 若ÐACB = 30° ，则由正弦定理可得AB= 2 ，故 AB = 1 ，sin 30°由余弦定理得1 = a2 + b2 - 2abcos30° = a2 + b2 -3ab ³ (1-3 )(a2 + b2 ) ，23 a2 + b2 £ 4 + 2，显然 A¢B¢C¢ 为由 ABC 所得到的拿破仑三角形(等边三角形)，设其边长为 x ，易知ÐA¢CB¢ = 90° ，且 A¢C =3 a ， B¢C =33 b ，3 x2 = (3 a)2 + ( 3 b)2 = 1 (a2 + b2 ) ，333 A¢B¢C¢ 的面积 S =3 x2 =3 (a2 + b2 ) £3 ´ (4 + 2 3) = 1 + 3 ，4121223显然可取等号，即 A¢B¢C¢ 的面积最大值为 1 + 3 ，故应填 1 + 3 .2323四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10 分）设数列a 的前n 项和 S ，满足 S=Sn，且 a = 1 .nnnn+11+ 2S1（1）证明：数列 1 为等差数列；Sn（2）求an 的通项公式.解：（1）由 S=Snnn+11+ 2S， 得 1 = 1+ 2Sn ，2 分Sn+1Sn1 - 1Sn+1Sn= 2 ， 1S1= 1 = 1 ，a1故数列 1 是首项为 1，公差为 2 的等差数列.4 分Sn1S（2）由（1）知n= 1+ (n -1) ´ 2 = 2n -1 ， 则 Sn=12n -1，6 分 当 n ³1 且 n Î * 时， a = S - S=1-1= -2 ， 8 分nnn-12n -12n - 3(2n -1)(2n - 3)ì1，n=1，故a 的通项公式为 a = ï210 分 ïnn í-î(2n -1)(2n - 3)，n > 1.【命题意图】本题主要考查等差数列的定义和通项公式，以及an 与 Sn 的关系，考察了学生的数学运算， 逻辑推理等核心素养.18（12 分）c2 - a2 ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， 已知 A 为锐角， sin B - cos C =.2ab（1）求 A ；（2）若b =3 c ，且 BC 边上的高为234，求 ABC 的面积.c2 - a2解：（1） sin B - cos C =，2ab 2absin B = c2 - a2 + 2ab cosC ，1 分由余弦定理，得c2 = a2 + b2 - 2ab cosC ， 2absin B = b2 ， 2asin B = b ，2 分由正弦定理，得asin A=b，sin B 2sin Asin B = sin B，又 B Î(0, ) ，即sin B ¹ 0 ， sin A = 1 ，4 分2角 A 为锐角， A = .6 分63（2） BC 边上的高为2 ABC 的面积 S = 1 × a × 221，3= 3a ，7 分bc又 ABC 的面积 S =bc sin A =， 24 bc =4又 b =3a ，即bc = 4 3a ，8 分 3 c ，4 c2 = 16a ，且b2 =3 c2 = 3a ，10 分 163b2 + c2 - a23a +16a - a219 - a2 ´ 4 3a8 3在 ABC 中，由余弦定理，得cos A =，2bc23解得 a = 7 ， 11 分 S= 3a = 7 3 ，即 ABC 的面积为7. 12 分【命题意图】本题主要考察正弦定理，余弦定理等知识，意在考察考生方程、转化与化归思想，考察了学生的逻辑推理，数学运算等核心素养19（12 分）某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3 次，先在 M 处投一次三分球，投进得3 分，未投进不得分，以后均在 N 处投两分球，每投进一次得2 分，未投进不得分. 测试者累计得分高于3 分即通过测试，并终止投篮.甲、乙两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在 M 处和 N 处各投10 次，根据他们每轮两分球和三分球的命中次数分别得到如下图表：（第 19 题图）若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率.（1）求甲同学通过测试的概率；（2）若甲、乙两位同学均通过了测试，求甲得分比乙得分高的概率.5 + 4 + 3 + 6 + 7解：（1）甲同学两分球投篮命中的概率为 1010101010 = 0.5 ， 1 分51 + 0 + 1 + 2 + 1甲同学三分球投篮命中的概率为 10101010 = 0.1 ，2 分5设甲同学累计得分为 X ，则 P( X ³ 4) = P( X = 4) + P( X = 5) = 0.9 ´ 0.5´ 0.5 + 0.1´ 0.5 + 0.1´ 0.5´ 0.5 = 0.3甲同学通过测试的概率为0.3 .5 分（2）同（1）可求，乙同学两分球投篮命中的概率为0.4 ，三分球投篮命中的概率为0.2 ， 7 分设乙同学累计得分为Y ，则P(Y = 4) = 0.8´ 0.4 ´ 0.4 = 0.128 ，8 分P(Y = 5) = 0.2 ´ 0.4 + 0.2 ´ 0.6 ´ 0.4 = 0.128 ， 9 分设“甲得分比乙得分高”为事件 A ，“甲、乙两位同学均通过了测试”为事件 B ，则 P( AB) = P( X = 5) × P(Y = 4) = 0.075´ 0.128 = 0.0096 ， 10 分P(B) = P( X = 4) + P( X = 5)×P(Y = 4) + P(Y = 5) = 0.0768 ， 11 分由条件概率公式可得， P( A | B) = P( AB) = 0.0096 = 1 . 12 分P(B)0.07688【命题意图】本题以体育运动为背景，通过频率与概率定义以及条件概率公式等知识点，考查学生数学建模、数学运算、逻辑推理等数学核心素养，体现分类讨论的数学思想.20（12 分）如图，在四棱锥 S - ABCD中， SA = SB = SC = SD =13， AC CD ， AB = 6 ， BD = 8 .SADCB（1）求证：平面 SAD 平面 ABCD ；（2）求二面角 A- SB - D 的余弦值.（第 20 题图）SMADBC解：（1）证明： 如图所示，取 AD 的中点 M ，连接 SM ， MC .1 分 SA = SD ， SM AD . AC CD ， ACD 是直角三角形，1 CM =AD ， 2 AM = CM = DM . SA = SC ， Rt SAM Rt SCM ，3 分 ÐCMS = ÐAMS = ，2 AMCM = M ， SM 平面 ABCD ， 又 SM Ì 平面 SAD ， 平 面 SAD 平 面 ABCD . 5 分 （2）由（1）可知， SM 平面 ABCD ， ÐBMS = ÐAMS = ， 2又 SA = SB ， Rt SAM Rt SBM ， BM = AM ， A ， B ， C ， D 四点共圆， AB BD . 6 分 AB = 6 ， BD = 8 ， AD =10 ， AM = 5 ， 又 SA =13， SM =12 . 7 分 （解法一）以 B 为坐标原点， BD 为 x 轴， BA 为 y 轴，过点 B 平行于 SM 的直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得 B(0,0,0) ， D(8,0,0) ， A(0,6,0) ， S (4,3,12) ，8 分 S则有 BS = (4,3,12) ， BA = (0,6,0) ， BD = (8,0,0) ，z分别设平面 ABS 和平面 DBS 的法向量为m = (x1, y1, z1 ) 和 n = (x2 , y2 , z2 ) ， 则 ìïBA × m = 0，即ì6 y1 = 0，9 分yMxíBS × m = 0，í4x + 3y + 12z= 0，ADîïî111则平面 ABS 的一个法向量为m = (3,0, -1) ，BC同理，平面 DBS 的一个法向量为 n = (0, 4, -1) ， 10 分 cos <= 170 ，11 分m, n >=m × nm × n10 ´ 17=1170设二面角 A- SB - D 的平面角为q ，则cosq =- 170 . 12 分 170（解法二）以 M 为坐标原点，过点 M 平行于 DB 的直线为 x 轴，平行于 AB 的直线为 y 轴， MS 为 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得 B(4,3,0) ， D(-4,3,0) ， A(4, -3,0) ， S (0, 0,12) ，8 分 z则有 BS = (-4, -3,12) ， BA = (0, -6,0) ， BD = (-8,0,0) ，S分别设平面 ABS 和平面 DBS 的法向量为m = (x1, y1, z1 ) 和 n = (x2 , y2 , z2 ) ， 则 ìïBA × m = 0，即 ì-6 y1 = 0，9 分MíBS × m = 0，í-4x- 3y+ 12z= 0，ADîïîx111则平面 ABS 的一个法向量为m = (3,0,1) ， BC y同理，平面 DBS 的一个法向量为 n = (0, 4,1) ， 10 分 cos <= 170 ，11 分m, n >=m × nm × n10 ´ 17=1170设二面角 A- SB - D 的平面角为q ，则cosq =- 170 . 12 分 170（解法三）如图所示，过点 A ， D 分别作 SB 的垂线，并交 SB 于点 E ， F .8 分在等腰 SAB 中，由 AB2 - BE2 = AS 2 - SE2 ，得62 - BE2 =132 - (13 - BE)2 ，解得 BE = 18 ， 13在 Rt EAB 中，由 AE2 = AB2 - BE2 = 62 - (18)2 = 36 ´160 ，9 分SFAEMDB< EA, FD > ， C13132同理， BF = 32 ， FD2 = 64 ´153 ， 13132则 EF = BF - BE = 14 ，10 分 13由 AD = -EA + EF + FD ，可得 AD2 = (-EA + EF + FD)2 = EA2 + EF 2 + FD2 - 2EA × FD ，则102 = 36 ´160 + 14 2 + 64 ´153 - 2 ´36 ´160 ´64 ´153 cos132(13)132132132解得cos < EA, FD >= -170 ，11 分 170易知二面角 A- SB - D 的平面角就是 EA 与 FD 的夹角， 设二面角 A- SB - D 的平面角为q ，则cosq =- 170 . 12 分 170【命题意图】本题主要考察线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定，空间向量，二面角的平面角.涉2及到的思想方法主要有向量法，数形结合思想，等价转化思想.考察了学生的直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养. 21（12 分）FFx2y 2FF 设O 是坐标原点，以 1 ， 2 为焦点的椭圆C :+a2b2的圆和C 恰好有两个交点.（1）求C 的方程；=1(a > b > 0) 的长轴长为2， 以 1 2为直径（2） P 是C 外的一点，过 P 的直线l ， l 均与C 相切，且l ， l 的斜率之积为m(-1 £ m £ - 1) ，12122记u 为 PO 的最小值，求u 的取值范围. 解：（1）由题意， 2a = 2 2 ， a = 2 ，1 分又以 F1F2为直径的圆和C 恰好有两个交点，即b = c ，2 分又 b2 +c2 =a2 = 2 ， b = c =1，3 分x22 C 的方程为+ y2= 1 . 4 分(解法一)由题意， l1 ， l2 的斜率存在且不为零，设过点 P(x0 , y0 ) 的切线l : y - y0 = k (x - x0 ) ，ì y - y0 = k(x - x0 )，ï+由方程组í x2ïî 2y2 =1，消去 y ，并整理得(1+ 2k2 )x2 + 4k( y- kx )x + 2(y- kx )2 - 2 = 0 ，6 分 l 与C 相切，0000 D =16k2 (y - kx )2 - 8(1+ 2k2 )(y - kx )2 -1) =0，7 分0000化简并整理，得( y - kx )2 =2k2 +1，± 200整理成关于 k 的一元二次方程得 (x 2 - 2)k2 - 2x y k + y 2 -1= 0 ，（易知 x ¹ ）8 分00 000设l1 ， l2 的斜率分别为 k1 ， k2 ，00 00易知 k1 ， k2 为方程(x 2 - 2)k2 - 2x y k + y 2 -1= 0的两根， k1 × k2y 2 -1= 0= m ，0x 2 - 200 y 2 = mx 2 +1- 2m ，000 x 2 + y 2 = (1+ m)x 2 +1- 2m ，10 分x 2 + y 200=1+ m x +1- 2m ，()20 | PO |=1- 2m易知当 x0 = 0 时，有u =| PO |min =又 -1 £ m £ - 1 ，2，11 分23£ u £，即u 的取值范围为 2, 3 .12 分(解法二)由题意， l ， l 的斜率存在且不为零，设点 P(x , y ) ， l ：y = kx + b ， l ：y = m x + n ，120012k显然k ¹ m ，即k 2 - m ¹ 0 ，kì y = kx + b，ï由方程组í x2消去 y ，并整理得(1+ 2k2 )x2 + 4kbx + 2b2 - 2 = 0 ，6 分+ y2 =1，ïî 2 l1 与C 相切， D = (4kb)2 - 4(2k2 +1)(2b2 - 2) =0，即b2 =2k 2 +1，7 分同理由l2 与C 相切可得， n2 =2m2k 2+ 1 ，ì y = kx + b，ìx = (n - b)k ，ïï 0k 2 - m由方程组 í y= m x + n， 解得 ík 2 n - bm8 分îïkï y =，0 ïîì 2n2 k 2 + b2 k 2 - 2nbk 2k 2 - mïx0 =ï，(k 2 - m)2 íï y2 =n2 k 4 + b2 m2 - 2nbmk 2ïî y0002 - mx 2(k 2 - m)2(k 4 - mk 2 )n2 + (m2 - mk 2 )b2=(k 2 - m)2k 2 n2 - mb2=，k 2 - m又 b2 =2k 2 +1， n2 =2m2k 2+ 1 ，k 2 (2m22+1) - m(2k 2+1) y 2 - mx 2 = k=1- 2m ，00k 2 - m00 y 2 = mx 2 +1- 2m ，000 x 2 + y 2 = (1+ m)x 2 +1- 2m ，10 分x 2 + y 200=1+ m x +1- 2m ，()20 | PO |=1- 2m易知当 x0 = 0 时，有u =| PO |min =又 -1 £ m £ - 1 ，2， 11 分23£ u £，即u 的取值范围为 2, 3 .12 分【命题意图】本题以直线与椭圆为载体，以椭圆的双切线（切点弦）性质为背景，利用代数方法解决几何问题，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力.22（12 分）已知函数 f (x) = aln2 x + 2x(1- ln x) ， a ÎR .（1）讨论函数 f (x) 的单调性；（2）若函数 g(x) = e2 f (x) - 2a2 有且仅有3 个零点，求 a 的取值范围.（其中常数e=2.718 28 ××× ，是自然对数的底数）解：（1）易知 f (x) 的定义域为(0, +¥) ，且 f ¢(x) = 2(a - x) ln x ， f ¢(1) = 0 ，1 分 x若 a £ 0 ，当 x Î (0,1) 时， f ¢(x) > 0 ；当 x Î(1, +¥) 时， f ¢(x) < 0 ， f (x) 在(0,1) 上单调递增，在(1, +¥) 上单调递减； 2 分 若0 < a <1，易知当 x Î(0, a) 时， f ¢(x) < 0 ； 当 x Î (a,1) 时， f ¢(x) > 0 ；当 x Î(1, +¥) 时， f ¢(x) < 0 ； f (x) 在(0, a) 和(1, +¥) 上单调递减，在(a,1) 上单调递增； 3 分 若 a =1，则 f ¢(x) £ 0 ， f (x) 在 (0, +¥) 上 单 调 递 减 ； 4 分 若 a >1，易知当 x Î (0,1) 时， f ¢(x) < 0 ； 当 x Î (1, a) 时， f ¢(x) > 0 ；当 x Î(a, +¥) 时， f ¢(x) < 0 ； f (x) 在(0,1) 和(a, +¥) 上单调递减，在(1, a) 上单调递增. 综上所述，当a £ 0 时，f (x) 在(0,1) 上单调递增，在(1, +¥) 上单调递减；当0 < a <1时，f (x) 在(0, a) 和(1, +¥) 上单调递减，在(a,1) 上单调递增；当 a =1时， f (x) 在(0, +¥) 上单调递减；当 a >1时， f (x) 在(0,1) 和(a, +¥) 上单调递减，在(1, a) 上单调递增. 5 分 2a2（2）令 g(x) = 0 ，则 f (x) =，e2依题意可知函数 y = f (x) 与 y =2a2e2的图象有3 个不同的交点， 由（1）易知必有0 < a <1 ，或 a >1，6 分 当0 < a <1时， f (x) 在(0, a) 和(1, +¥) 上单调递减，在(a,1) 上单调递增， f (x) 的极大值为 f (1) = 2 ， f (x) 的极小值为 f (a) = a(ln2 a - 2ln a + 2) ， 又 f (a) = a(ln2 a - 2ln a + 2) = a(ln a -1)22a22+ 2a1 > a >，e2函数 y = f (x) 与 y =的图象至多有1 个交点，不合题意， 7 分 e2当 a >1时， f (x) 在(0,1) 和(a, +¥) 上单调递减，在(1, a) 上单调递增， f (x) 的极小值为 f (1) = 2 ， f (x) 的极大值为 f (a) = a(ln2 a - 2ln a + 2) ， 2a22须有2 << a(ln e2a - 2ln a + 2) 成立， >2a2 2 <， ae ，8 分 e2<2a2e2a(ln2a - 2ln a + 2) ， 2ae2< ln2a - 2ln a + 2 （*）， 下面求不等式（*）的解集， （解法一）令ln a = x ，则不等式（*）等价于2ex-2 < x2 - 2x + 2 ， 令函数h(x) = x2 - 2x - 2ex-2 + 2 ，则h¢(x) = 2x - 2 - 2ex-2 ， 令 y = 2x - 2 - 2ex-2 ，则 y¢ = 2 - 2ex-2 ， x (-¥, 2) 2 (2, +¥) y¢ + 0 - y 极大值 函数 y = 2x - 2 - 2ex-2 在区间(-¥, 2) 上单调递增，在区间(2, +¥) 上单调递减， 又 y(2) = 0 ， y = 2x - 2 - 2ex-2 £ 0 ， 9 分即 h¢(x) £ 0 恒成立，故函数h(x) 单调递减， 又 h(2) = 0 ，当且仅当 x < 2 时， h(x) > 0 ，不等式2ex-2 < x2 - 2x + 2 的解集为(-¥, 2) ，即不等式（*）的解集为(0,e2 ) ， 10 分 2ln a - 2 - 2a（解法二）令函数j(a) = ln2 a - 2ln a - 2a + 2 ，则j¢(a) =e2e2 ， a令 y = 2ln a - 2a - 2 ，则 y¢ = 2 - 2 ， e2ae2x (0,e2 ) e2 (e2 , +¥) y¢ + 0 - y 极大值 函数 y = 2ln a - 2a - 2 在区间(0,e2 ) 上单调递增，在区间(e2 , +¥) 上单调递减， e2又 y(e2 ) = 0 ， y = 2ln a - 2a - 2 £ 0 ， 9 分 e2即j¢(a) £ 0 恒成立，故函数j (a) 单调递减， 又j(e2 ) = 0 ， 不等式j(a) > 0 的解集为(0,e2 ) ， 10 分 必有e < a < e2 ， 下面证明，当e < a < e2 时，函数 g(x) = e2 f (x) - 2a2 有且仅有3 个零点， （解法一）一方面，当e < a < e2 时， f (e-a ) = a3+ 2e-a (1 + a) > a32a2>e2 ， 11 分 另一方面，当e < a < e2 时， f (e3 ) = 9a - 4e3 < 9e2 - 4e3 = e2 (9 - 4e)<0 ， f (e3 )<f (1) ， 不难知道，当e < a < e2 时，函数 g(x) = e2 f (x) - 2a2 有且仅有3 个零点， 综上所述，实数 a 的取值范围为(e,e2 ) . 12 分 （解法二）当e < a < e2 时，有 f ( 1 ) - f (a) = a ln2 a + 2 (1+ ln a) - a ln2 a + 2a(1- ln a) aa= 2 - 2a + ( 2 + 2a) ln a > 2 - 2a + ( 2 + 2a) = 4 > 0 ，1aaaaa f ( ) > f (a) ， 11 分 a显然当 x > 0 时，有ex2x >(证明略)，2于是，当e < a < e2 时，有 f (ea+1) = a(a +1)2 - 2aea+1 < a(a +1)2 - a(a +1)2 = 0 ， f (ea+1 ) < f (1) ， 不难知道，当e < a < e2 时，函数 g(x) = e2 f (x) - 2a2 有且仅有3 个零点， 综上所述，实数 a 的取值范围为(e,e2 ) . 12 分【命题意图】 本题以基本初等函数的单调性和零点问题为载体，考查学生利用导数分析、解决问题的能力，分类讨论思想及逻辑推理、数学运算等数学核心素养，具有较强的综合性.