20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题4.6 数列与其他知识的综合运用（解析版）.docx

第六讲数列与其他知识的综合【使用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行考向一数列与三角【例1】在等差数列an中，假设a7，那么sin2a1cosa1sin2a13cosa13_.【答案】0【分析】按照题意可得a1a132a7，2a12a134a72，因此有sin2a1cosa1sin2a13cosa13sin2a1sin(22a1)cosa1cos(a1)0.【举一反三】1设等差数列an的公差为，前8项跟为6，记tank，那么数列的前7项跟是_【答案】【分析】等差数列an的公差d为，前8项跟为6，可得8a1×8×7×6，解得a1，tanantanan111，又tandtank，那么数列tanantanan1的前7项跟为(tana8tana7tana7tana6tana2tana1)7(tana8tana1)77777.2.已经清楚等差数列an,a5=2.假设函数f(x)=sin2x+1,记yn=f(an),那么数列yn的前9项跟为. 【答案】9【分析】由题意,得yn=sin(2an)+1,因此数列yn的前9项跟为sin2a1+sin2a2+sin2a3+sin2a8+sin2a9+9.由a5=2,得sin2a5=0.a1+a9=2a5=,2a1+2a9=4a5=2,2a1=2-2a9,sin2a1=sin2-2a9=-sin2a9.由倒序相加可得12(sin2a1+sin2a2+sin2a3+sin2a8+sin2a9+sin2a1+sin2a2+sin2a3+sin2a8+sin2a9)=0,y1+y2+y3+y8+y9=9.考向二数列与向量【例2】设数列an称心a2a410，点Pn(n，an)对任意的nN*，都有向量(1,2)，那么数列an的前n项跟Sn_.【答案】n2【分析】Pn(n，an)，Pn1(n1，an1)，(1，an1an)(1,2)，an1an2，数列an是公差d为2的等差数列又由a2a42a14d2a14×210，解得a11，Snn×2n2.【举一反三】1在破体直角坐标系xOy中，直线l经过坐标原点，n=3,1是l的一个法向量.已经清楚数列an称心：对任意的正整数n，点an+1,an均在l上，假设a2=6，那么a3的值为_【答案】-2【分析】直线经过坐标原点，n=(3,1)是l的一个法向量，可得直线l的歪率为-3，即有直线l的方程为y=-3x，点(an+1,an)均在l上，可得an=-3an+1，即有an+1=-13an，那么数列an为公比q为-13的等比数列，可得a3=a2q=6×(-13)=-2故答案为：-22已经清楚等差数列an的前n项跟为Sn，假设a1a200·，且A，B，C三点共线(该直线只是原点O)，那么S200_.【答案】100【分析】由于A，B，C三点共线(该直线只是原点O)，因此a1a2001，因此S200100.考向四数列与函数【例4】已经清楚数列an的通项公式为an8n9n3n(其中nN*)，假设第m项是数列an中的最小项，那么am_.【答案】【分析】令nt，由an8n9n3n，得an8t39t23t.设f(t)8t39t23t，那么f(t)24t218t33(2t1)(4t1)0<tn，且当0<t<时，f(t)<0，当<t<时，f(t)>0，f(t)在上单调递减，在上单调递增当t，即n2时，an最小，ama28×29×23×2，即am.【举一反三】1.已经清楚函数f(x)是R上的单调递增函数且为奇函数，数列an是等差数列，a3>0，那么f(a1)f(a3)f(a5)的值()A恒为负数B恒为负数C恒为0D可以为负数也可以为负数【答案】A【分析】由于函数f(x)是R上的奇函数，因此f(0)0，又f(x)是R上的增函数，因此当x>0时，有f(x)>f(0)0，当x<0时，有f(x)<f(0)0，由于a3>0，因此f(a3)>0.由于数列an是等差数列，因此a3>0a1a5>0a1>a5f(a1)>f(a5)，又f(a5)f(a5)，因此f(a1)f(a5)>0，故f(a1)f(a3)f(a5)f(a1)f(a5)f(a3)>0.2.假设数列an是公差为2的等差数列，数列bn称心b11，b22，且anbnbnnbn1.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设数列cn称心cn，数列cn的前n项跟为Tn，假设不等式(1)n<Tn对一切nN*恒成破，务虚数的取值范围.【答案】看法析【分析】(1)数列bn称心b11，b22，且anbnbnnbn1.n1时，a112，解得a11.又数列an是公差为2的等差数列，an12(n1)2n1.2nbnnbn1，化为2bnbn1，数列bn是首项为1，公比为2的等比数列.bn2n1.(2)由数列cn称心cn，数列cn的前n项跟为Tn1，Tn，两式作差，得Tn12，Tn4.不等式(1)n<Tn，化为(1)n<4，n2k(kN*)时，<4，取n2，<3.n2k1(kN*)时，<4，取n1，>2.综上可得：实数的取值范围是(2，3).【使用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1.已经清楚数列an称心an2an1an1an，nN*，且a5，假设函数f(x)sin2x2cos2，记ynf(an)，那么数列yn的前9项跟为()A0B9C9D1【答案】C【分析】由已经清楚可得，数列an为等差数列，f(x)sin2xcosx1，f1.f(x)sin(22x)cos(x)1sin2xcosx1，f(x)f(x)2，a1a9a2a82a5，f(a1)f(a9)2×419，即数列yn的前9项跟为9.2.等差数列an中的a1，a4033是函数f(x)x34x26x1的极值点，那么log2a2017()A.2B.3C.4D.5【答案】A【分析】由于f(x)x28x6，依题意，a1，a4033是方程f(x)x28x60的两根，a1a40338，那么a20174，故log2a2017log242.3已经清楚函数f(x)在R上的图象是连续不断的一条曲线，当x>0时，f(x)<2，对任意的x，yR，f(x)f(y)f(xy)2成破，假设数列an称心a1f(0)，且f(an1)f，nN*，那么a2018的值为()A2B.C.D.【答案】【分析】令xy0得f(0)2，因此a12.设x1，x2是R上的任意两个数，且x1<x2，那么x2x1>0，由于当x>0时，f(x)<2，因此f(x2x1)<2，即f(x2)f(x2x1x1)f(x2x1)f(x1)2<2f(x1)2f(x1)，因此f(x)在R上是减函数由于f(an1)f，因此an1，即1，因此3，由于1，因此是以1为首项，3为公比的等比数列，因此3n1，即an.因此a2018.4假设数列对任意称心，下面给出关于数列的四个命题：可以是等差数列，可以是等比数列；可以既是等差又是等比数列；可以既不是等差又不是等比数列；那么上述命题中，精确的个数为A1个B2个C3个D4个【答案】B【分析】数列an对任意n2nN称心anan12an2an10，anan12，或an2an1，an可以是公差为2的等差数列，精确；an可以是公比为2的等比数列，精确；假设an既是等差又是等比数列，即现在公差为0，公比为1，由得，差错；an可以既不是等差又不是等比数列，差错；应选：B5已经清楚数列an，an=-2n2+n,假设该数列是递减数列，那么实数的取值范围是()A(，6)B(，4C(，5)D(，3【答案】B【分析】数列an的通项公式是关于n(nN*)的二次函数，假设数列是递减数列，那么-2×-21，即4.此题选择B选项.6.数列an，其前n项之跟为，那么在破体直角坐标系中，直线(n1)xyn0在y轴上的截距为()A.10B.9C.10D.9【答案】B【分析】由于an.Sn1.因此1，因此n9.因此直线方程为10xy90.令x0，得y9，因此在y轴上的截距为9.7.关于数列an，定义数列an1an为数列an的“差数列，假设a12，数列an的“差数列的通项公式为an1an2n，那么数列an的前n项跟Sn()A.2B.2nC.2n12D.2n12【答案】C【分析】由于an1an2n，因此an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2222222n222n，因此Sn2n12.8数1，m，9成等比数列，那么圆锥曲线x2m+y2=1的离心率为_【答案】63或2【分析】1，m，9形成一个等比数列，m2=1×9，那么m=±3当m=3时，圆锥曲线x2m+y2=1是椭圆，它的离心率是23=63；当m=-3时，圆锥曲线x2m+y2=1是双曲线，它的离心率是1+31=2那么离心率为63或2故答案为：63或29.已经清楚x表示不逾越x的最大年夜整数，比如：2.32，1.52.在数列an中，anlgn，nN，记Sn为数列an的前n项跟，那么S2018_.【答案】4947【分析】当1n9时，anlgn0.当10n99时，anlgn1.当100n999时，anlgn2.当1000n2018时，anlgn3.故S20189×090×1900×21019×34947.10已经清楚方程(x2mx2)(x2nx2)0的四个根形成一个首项为12的等比数列，那么|mn|_.【答案】32【分析】方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0x2-mx+2=0或x2-nx+2=0设方程两根为x1，x4，方程两根为x2，x3，那么，x1x4=2，x1+x4=mx2x3=2，x2+x3=n,方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根形成一个首项为12的等比数列,令x1=12，那么x4=4，因此x4只能为数列的第四项假设x4为第2项时，那么x2,x3分不为32,256，与x2x3=2冲突，假设x4为第3项时，同理掉掉落冲突。，设x1，x2，x3，x4分不为谁人数列的前四项，且x1=12，x4=212=4，公比为2x2=1，x3=2m=x1+x4=12+4=92，n=x2+x3=1+2=3故|m-n|=|92-3|=3211已经清楚数列an的前n项跟为Sn，a1=2，Sn=an-2，其中为常数，假设anbn=13-n，那么数列bn中的项的最小值为_【答案】-1214【分析】a1=2,Sn=an-2,S1=a1=a1-2,2=2-2,=2,Sn=2an-2,n2时，Sn-1=2an-1-2，-化为an=2an-1n2，因此an是公比为2的等比数列，an=2×2n-1=2n,bn=13-n×12n，由bnbn+1bnbn-1，可得13-n×12n12-n×12n+113-n×12n14-n×12n-1，解得213-n12-n13-n214-n14n15，即bn中的项的最小值为b14=b15=-1214，故答案为-1214.12设a>0，b>0.假设3是3a与32b的等比中项，那么2a1b的最小值为_【答案】8【分析】由于3是3a与32b的等比中项，那么有3a×32b(3)2，即3a2b3，得a2b1，那么2a1b(a2b)2a1b=4+4ba+ab4248当且仅当a=2b12时取等号，即2a1b的最小值为8，故答案为8.13.数列an是首项a1m，公差为2的等差数列，数列bn称心2bn(n1)an，假设对任意nN*都有bnb5成破，那么m的取值范围是_【答案】22，18【分析】由题意得，anm2(n1)，从而bnanm2(n1)又对任意nN*都有bnb5成破，结合数列bn的函数特点可知b4b5，b6b5，故解得22m18.14.假设数列an是公差为2的等差数列，数列bn称心b11，b22，且anbnbnnbn1.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设数列cn称心cn，数列cn的前n项跟为Tn，假设不等式(1)n<Tn对一切nN*恒成破，务虚数的取值范围.【答案】看法析【分析】(1)数列bn称心b11，b22，且anbnbnnbn1.n1时，a112，解得a11.又数列an是公差为2的等差数列，an12(n1)2n1.2nbnnbn1，化为2bnbn1，数列bn是首项为1，公比为2的等比数列.bn2n1.(2)由数列cn称心cn，数列cn的前n项跟为Tn1，Tn，两式作差，得Tn12，Tn4.不等式(1)n<Tn，化为(1)n<4，n2k(kN*)时，<4，取n2，<3.n2k1(kN*)时，<4，取n1，>2.综上可得：实数的取值范围是(2，3).