20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题5.1 平面向量的概念及线性运算（解析版）.docx

5.1破体向量的不雅观点及线性运算【套路秘籍】-始于足下始于足下一向量的有关不雅观点名称定义表示方法本卷须知向量既有大小又无倾向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)向量或；模或破体向量是自由向量零向量长度等于0的向量，倾向是任意的记作零向量倾向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量常用表示非零向量的单位向量是平行向量倾向一样或相反的非零向量与共线可记为与任一向量平行或共线共线向量平行向量又叫共线向量相当向量长度相当且倾向一样的向量两向量只需相当或不等，不克不迭比较大小相反向量长度相当且倾向相反的向量的相反向量为二向量的线性运算向量运算定义法那么(或几多何意思)运算律加法求两个向量跟的运算交换律：abba；结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的跟的运算aba(b)数乘务虚数与向量a的积的运算|a|a|，当>0时，a与a的倾向一样；当<0时，a与a的倾向相反；当0时，a0(a)()a；()aaa；(ab)ab口诀：(加法三角形)首尾连，连首尾；(加法平行四边形)起点一样连对角；(减法三角形)共起点，连起点，指向被减三向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只需一个实数，使得ba.四破体向量全然定理假设e1，e2是一致破体内的两个不共线向量，那么对于这一破体内的任意向量a，有且只需一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一破体内所有向量的一组基底【修炼套路】-为君聊赋往日诗，努力请从往日始考向一不雅观点辨析【例1】揣摸以下各命题精确的选项是：(1)单位向量都相当；(2)|a|与|b|是否相当，与a，b的倾向有关；(3)假设A，B，C，D是不共线的四点，那么是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；(4)假设a与b共线，b与c共线，那么a与c也共线；(5)两向量a，b相当的充要条件是|a|b|且ab.【答案】23)【分析】(1)不精确(2)精确，两个向量的长度相当，但它们的倾向不用定一样(3)精确，|且ABDC.又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD是平行四边形反之，假设四边形ABCD是平行四边形，那么AB綊DC，且与倾向一样因此.(4)不精确，当b0时，a与c可以不共线(5)不精确，当ab，但倾向相反时，即使|a|b|，也不克不迭掉掉落ab.【套路总结】1相当向量存在转达性，非零向量的平行也存在转达性2共线向量即平行向量，它们均与起点有关相当向量不仅模相当，同时倾向要一样，因此相当向量肯定是平行向量，而平行向量那么未必是相当向量3 向量可以平移，平移后的向量与原向量是相当向量4非零向量a与的关系：是a倾向上的单位向量5向量与数量差异，数量可以比较大小，向量那么不克不迭，但向量的模是非负实数，故可以比较大小6.零向量的关键是长度是0，规那么零向量与任何向量共线【举一反三】1给出以下命题：假设两个向量相当，那么它们的起点一样，起点一样；假设a与b共线，b与c共线，那么a与c也共线；假设A，B，C，D是不共线的四点，且，那么四边形ABCD为平行四边形；ab的充要条件是|a|b|且ab；已经清楚，为实数，假设ab，那么a与b共线其中真命题的序号是_【答案】【分析】差错，两个向量起点一样，起点一样，那么两个向量相当；但两个向量相当，不用定有一样的起点跟起点；差错，假设b0，那么a与c不用定共线；精确，由于，因此|且；又A，B，C，D是不共线的四点，因此四边形ABCD为平行四边形；差错，当ab且倾向相反时，即使|a|b|，也不克不迭掉掉落ab，因此|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是需要不充分条件；差错，当0时，a与b可以为任意向量，称心ab，但a与b不用定共线考向二破体向量的线性运算【例2】在ABC中，c，b，假设点D称心2，那么等于()A.bcB.cbC.bcD.bc(2)在ABC中，点M，N称心2，.假设xy，那么x_，y_.(3)在ABC中，点D在线段BC的延长线上，且3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，假设x(1x)，那么x的取值范围是()A.B.C.D.【答案】1A23D【分析】12，22()，32A，bc.2()xy，x，y.3设y，yy()y(1y).3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，y，x(1x)，xy，x.【套路总结】破体向量的线性运算1.停顿向量运算时，要尽可以地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分运用相当向量、相反向量，三角形的中位线及类似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已经清楚向量表示出来2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、吞并同类项、提取公因式等变形伎俩在线性运算中异常有用学.科*网3.用几多个全然向量表示某个向量征询题的全然技艺：不雅观看各向量的位置；寻寻呼应的三角形或多边形；运用法那么寻关系；化简结果.【举一反三】1.如图，在ABC中，点D在BC边上，且CD2DB，点E在AD边上，且AD3AE，那么用向量，表示为()A.B.C.D.【答案】B【分析】由破体向量的三角形法那么及向量共线的性质可得().2.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD订交于点O，E为线段AO的中点假设(，R)，那么_.【答案】【分析】E为线段AO的中点，.3.在直角梯形ABCD中，A90°，B30°，AB2，BC2，点E在线段CD上，假设，那么的取值范围是_【答案】【分析】由题意可求得AD1，CD，2.点E在线段CD上，(01)，又2，2，即.01，0.4.在平行四边形ABCD中，E，F分不为边BC，CD的中点，假设xy(x，yR)，那么xy_.【答案】2【分析】由题意得，由于xy，因此，因此解得因此xy2.考向三共线定理及其运用【例3-1】已经清楚O，A，B是不共线的三点，且mn(m，nR)(1)假设mn1，求证：A，P，B三点共线；(2)假设A，P，B三点共线，求证：mn1.【答案】看法析【分析】(1)假设mn1，那么m(1m)m()，m()，即m，与共线又B与B有大年夜众点B，A，P，B三点共线(2)假设A，P，B三点共线，存在实数，使，()又mn.故有m(n1)，即(m)(n1)0.O，A，B不共线，不共线，mn1.【例3-2】(1)已经清楚D为ABC的边AB的中点点M在DC上且称心53，那么ABM与ABC的面积比为_2已经清楚的重心为，过任做不时线分不交边于两点，设，那么的最小值是_3已经清楚数列为等差数列，且称心，假设，点为直线外一点，那么【答案】13523【分析】1由53，得2233，即2()3()，即23，故，故ABM与ABC同底且高的比为35，故SABMSABC35.，当且仅事前等号成破，即时取得最小值3数列an为等差数列，称心，其中A，B，C在一条直线上，O为直线AB外一点，a1+a2017=1，数列an是等差数列，an的=1，【套路总结】共线向量定理的要紧运用：(1)证明向量共线：对于非零向量a，b，假设存在实数，使a=b，那么a与b共线(2)证明三点共线：假设存在实数，使，那么A，B，C三点共线【注】证明三点共线时，需说明共线的两向量有大年夜众点.(3)求参数的值：运用共线向量定理及向量相当的条件列方程(组)求参数的值【举一反三】1.如图，ABC中，在AC上取一点N，使ANAC；在AB上取一点M，使AMAB；在BN的延长线上取点P，使得NPBN；在CM的延长线上取点Q，使得时，试判定的值【答案】【分析】()()，又，即，.2.在ABC中，O为其内部一点，且称心30，那么AOB跟AOC的面积比是()A34B32C11D13【答案】D【分析】按照题意，如图，在ABC中，M为AC的中点，那么2，又由30，那么有23；从而可得B，O，M三点共线，且2OM3BO；由2OM3BO可得，SAOBSBOCSABC，又由SAOBSBOC，那么SAOBSABC，那么.应选D.3已经清楚点D为ABC所在破体上一点，且称心AAC，假设ACD的面积为1，那么ABD的面积为()A1B2C3D4【答案】D【分析】由AAC，得5A4A，因此AA4(AA)，即B4D.因此点D在边BC上，且|B|4|D|，因此SABD4SACD4.4.已经清楚等差数列的前项跟为，、三点共线，且，那么_【答案】1009【运用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1以下说法精确的选项是A假设，那么、的长度相当且倾向一样或相反B假设向量、称心，且与同向，那么C假设，那么与可以是共线向量D假设非零向量与平行，那么、四点共线【答案】C【分析】对于A选项，模相当的向量，倾向不用定一样或者相反，也可以垂直，或者成不的的角度，故A选项差错.对于B选项，向量不克不迭用大年夜于或者小于号相连，向量的模可以比较大小，故B选项差错.对于C选项，不相当的向量可以共线，故C选项精确.对于D选项，平行向量,对应的四点不用定是共线的，故D选项差错.综上所述，本小题选C.2在四边形中，且，那么四边形的形状肯定是A正方形B矩形C菱形D等腰梯形【答案】C【分析】由于，因此,四边形是平行四边形又，因此,四边形是菱形，应选C.3以下说法中精确的选项是A单位向量都相当B平行向量不用定是共线向量C对于任意向量，必有D假设，称心且与同向，那么【答案】C【分析】对于A,单位向量模都相当，倾向不用定一样，故差错，对于B,平行向量的确是共线向量，对于C,假设，同向共线，假设，反向共线，假设，不共线，按照向量加法的三角形法那么及单方之跟大年夜于第三边知，综上可知对于任意向量，必有精确，对于D,两个向量不克不迭比较大小，故差错.应选C.4以下结论精确的选项是Aa=b|a|=|b|Bab=acb=cCa/b，b/ca/cD|a|>|b|a>b【答案】A【分析】逐一调查所给的说法：假设a=b，那么a=b，选项A说法精确；假设a=0，那么由ab=ac不用定能掉掉落b=c，选项B说法差错；假设b=0，那么由a/b，b/c不用定能掉掉落a/c，选项C说法差错；两个向量无法比较大小，故结论a>b差错，选项D说法差错；应选：A.5如图，在平行四边形中，点称心，与交于点，设，那么ABCD【答案】C【分析】设是上除点外的令一个三中分点，连接，连接交于，那么.在三角形中，是两条中线的交点，故是三角形的重心，结合可知，由因其中点，故.因此，由此可知，应选C.6ABCD【答案】B【分析】依题意，应选B.7.设D为ABC的边AB的中点，P为ABC内一点，且称心，那么()A.B.C.D.【答案】C【分析】如图，DB，ADPABC，D是AB的中点，ADAB.应选C.8.A，B，C是圆O上差异的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，假设(，R)，那么的取值范围是()A(0,1)B(1，)C(1，D(1,0)【答案】B【分析】设m，那么m>1，由于，因此m，即，又知A，B，D三点共线，因此1，即m，因此>1.应选B.10.已经清楚点O，A，B不在一致条直线上，点P为该破体上一点，且，那么()A点P在线段AB上B点P在线段AB的反向延长线上C点P在线段AB的延长线上D点P不在直线AB上【答案】B【分析】()，即，因此点P在线段AB的反向延长线上应选B.11假设O为ABC所在破体内一点，且230，那么SOBCSAOCSABO()A321B213C132D123【答案】D【分析】如以下列图，延长OB到D，使得BDOB，延长OC到E，使得CE2OC.连接AD，DE，AE.230，点O为ADE的重心SOBCSODE×SADESADE；SAOCSOAE×SADESADE；SABOSOAD×SADESADE.SOBCSAOCSABO123.应选D.12.在ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，那么的值为()A.B.C.D1【答案】A【分析】设t，那么()t()，.应选A.13在ABC中，点D在线段BC的延长线上，且3，点O在线段CD上(与点C、D不重合)，假设x(1x)，那么x的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【分析】设Cy，那么yy()y(1y)，3，点O在线段CD上(与点C、D不重合)，y，x(1x)，x.应选D.14.假设M为ABC内一点，那么ABM跟ABC的面积之比为()A.B.C.D.【答案】A【分析】设，以AD，AE为邻边作平行四边形ADME，延长EM交BC与F，连接BM.那么EFAB，.应选A.15在中，为其内部一点，且称心，那么跟的面积比是A3：4B3:2C1:1D1:3【答案】D【分析】取中点,那么由得,因此,在线段上,因此，选D.16已经清楚，点是边的中点，假设点称心，那么ABCD【答案】D【分析】点M是边BC的中点，可得2，可得24，即2+12，可得6，即，应选：D17如图，在中，设，的中点为，的中点为，的中点为，假设，那么ABCD1【答案】C【分析】由题意可得，由解方程求得.再由可得.18四边形OABC中，CB=12OA，假设OA=a，OC=b，那么AB=Aa12bB12abCb+12aDb12a【答案】D【分析】由CB=OB-OC=12OA，可得OB=OC+12OA=b+12a，因此AB=OB-OA=b+12a-a=b-12a，应选D.19点P在ABC所在破体上，且称心PA+PB+PC=2AB，那么SPABSABC=A12B13C14D23【答案】B【分析】由于PA+PB+PC=2AB=2(PB-PA),因此3PA=PB-PC=CB,因此PA,CB共线，且3PA=CB，因此SPABSABC=13.应选B.20如以下列图，点是正六边形的中心，那么ABCD【答案】A【分析】，此题精确选项：21如以下列图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，那么ABCD【答案】D【分析】按照题意得：，又，因此.应选D.22已经清楚点是所在破体内一点，且称心，那么直线必经过的()A外心B心田C重心D垂心【答案】D【分析】单方同乘以向量,得即点P在BC边的高线上，因此P的轨迹过ABC的垂心，应选D.23.在中，是上的点，假设，那么实数的值为_.【答案】【分析】由于，因此，即，因此又由于三点共线，因此，因此24如图，直线EF与平行四边形ABCD的单方AB，AD分不交于E，F两点，且与对角线AC交于点K，其中，那么的值为_【答案】【分析】，2.由向量加法的平行四边形法那么可知，()2，E，F，K三点共线，21，.25.如以下列图，在ABC中，D为BC边上的一点，且BD2DC，假设mn(m，nR)，那么mn_.【答案】2【分析】由于BD2DC，那么3，其中，那么3可转化为3()，可以掉掉落23，即，那么m，n，那么mn2.26A，B，C是圆O上差异的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，假设(，R)，那么的取值范围是_【答案】(1，)【分析】设m，那么m>1，由于，因此m，即，又知A，B，D三点共线，因此1，即m，因此>1.27已经清楚A，B，C是破体上不共线的三点，O是ABC的重心，动点P称心，那么ABC的面积跟PBC的面积之比为_【答案】32【分析】设BC的中点为M，那么，(2)，即32，22，也的确是2，P，M，A三点共线，且P是AM上濒临A点的一个三中分点，SABCSPBC32.28.如以下列图，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分不交直线AB，AC于差异的两点M，N，假设m，n，那么mn的值为_【答案】2【分析】连接AO，O是BC的中点，()又m，n，.M，O，N三点共线，1.mn2.