例1一项工程甲队单独做完要12天乙队单独做完要10天.doc

例1    一项工程，甲队单独做完要12天，乙队单独做完要10天，两队合做多少天就可以完成？分析1把这项工程看作整体“1”，甲每天完成工程的，乙队每天完成工程的，甲乙合做每天完成工程的，工程“1”里包含几个，就是两队合做完成这个工程的天数.解法1两队合做1天完成的工程？=两队合做多少天完成这项工程？1÷=（天）综合算式： 1÷（+）=1÷=（天）.分析2用最小公倍解法.因为12和10的最小公倍数是60，所以可假设这项工程为60.那么甲队工作效率为60÷12=5，乙队工作效率为60÷10=6，甲乙合做效率为5+6=11.用总工作量60除以甲乙效率和11，即得两队合做完成这个工程的天数.解法2假设这项工程总工作量为60. 60÷（60÷12+60÷10）=60÷（5+6）=60÷11=（天）.分析3由题意可知，甲队每天的工作量，乙队天就可完成，即天.两队合做1天的工作量由乙队独做需要1+天，即天.所以乙队10天完成的这项工程，两队合做要用10÷=（天）完成.解法3 10÷（1+10÷12）=10÷（1+）=10÷=（天）.分析4甲队12天的工作量，乙队10天即可完成，所以乙队1天的工作量，甲队要用天完时，即天。那么甲乙两队合做1天的工作量，甲队要用1+=（天）.所以乙队10天完成的这项工程，两队合做要用12÷=（天）.解法4 12÷（1+12÷10）=12÷（1+）=12÷=（天）.答：两队合做天就可以完成.评注解法1是工程应用题的一般解法，易于理解.是较好的解法。解法2是利用求公倍数法解工程应用题，这种解法其实是假设解法，读者可根据实际情况选择恰当的数假设为总工程量.例2  一列货车与一列客车同时从甲、乙两站相对开出，经过9小时相遇，相遇后两车都继续以原速前进。已知货车又行了6小时到达乙站，问客车行完全程需要几小时？（省市东区）分析1把甲乙两站全程看作标准“1”.两车同行1小时行完全程的，货车1小时可行全程的，即.那么客车1小时可行全程的-=.全程“1”里包含着多少个，就是客车行全程需要多少小时.解法1 1÷（-）=1÷=（小时）.分析2货车行全程需9+6=15（小时），9和15的最小公倍数是45，所以两站全程可假设为45，那么两车同时行1小时可行45÷9=5，货车1小时可行45÷15=3，所以客车每小时可行5-3=2.甲乙两站全程45包含多少个2，就是客车行全程需要多少小时.解法2假设甲乙两站全程为45. 45÷45÷9-45÷（9+6）=45÷45÷9-45÷15=45÷5-3=（小时）.分析3两车9小时行完的路程，货车要用9+6=15（小时）行完.而客车9小时行完的路程，货车只需6小时行完.那么货车1小时行完的路程，客车需要9÷6=1.5（小时）.所以货车15小时的行程，客车需要1.5×15=22.5（小时）.解法3 9÷6×（9+6）=9÷6×15=1.5×15=22.5（小时）.分析4两车同时行全程需9小时，货车行全程需要9+6=15（小时），那么客车行9小时恰好行完全程的×6=，所以客车每小时行全程的÷9=.由此可求客车行全程的时间.解法4 1÷（×6÷9）=1÷（÷9）=1÷=（小时）.分析5把客车行完全程需要的时间看作“1”.货车行全程需9+6=15（小时），而货车6小时的行程和客车9小时的行程恰好一样，由此可求出客车9小时行全程的×6=，即9小时的对应分率，由此可求客车行全程的时间.解法5 9÷（×6）=9÷（×6）=9÷=（小时）.答：客车行完全程需要小时.评注比较以上五种解法，解法1是工程应用题的一般解法，思路简明清晰，易于理解和掌握；解法5是运用分数除法应用题的解法，更有益于理解工程应用题，且运算简便，这两种解法是本题的较好解法.例3    一件工作，甲乙合做8天可以完成，甲独做12天可以完成.现在甲乙合做若干天后，余下的由乙继续做3天才完成.乙一共做了多少天？（省地区）分析1乙每天完成这件工作的，那么乙3天完成了这件工作的，再求出甲乙合做的工作量1-=，里包含多少个，就是甲乙合做了几天，即乙先做了几天.再加上余下3天即得乙共做多少天.解法11-（）×3÷+3=1-×3÷+3=1-÷+3=÷+3=10（天）。分析2根据“甲乙合做的工作量与乙独做完成工作量的和等于总工作量”这一等量关系列方程，先求乙先做了几天，再加上3天即得乙共做了多少天.解法2设甲乙合做了x天.+=1=1- x=7 7+3=10分析3假设总工作量为24，那么甲乙效率和是24÷8=3，甲的效率是24÷12=2，所以乙的效率是3-2=1，它3天完成了1×3=3.因此，甲乙合做（24-3）÷3=7（天），即乙先做了7天，再加上3天即得乙共做的天数.解法3假设工作总量为24. 24-（24÷8-24÷12）×3÷（24÷8）+3=24-（3-2）×3）÷3+3=24-3÷3+3=21÷3+3=10（天）.分析4假设甲乙合做了5天，那么比实际少完成1-×5-（-）×3=，甲乙继续合做还要用÷=2（天）.所以乙共做了5+2+3=10天.解法4假设甲乙合做了5天. 1-×5-（-）×3÷+5+3=1-×5-×3÷+5+3=÷+5+3=10（天）.答：乙一共做了10天.评注解法1和解法2是较好的解法.解法1是工程应用题的一般解法，虽思路较繁，但容易想到.  例4    如图是表示甲、乙、丙三个工程队单独完成某项工程所需天数的条形图.请计算：甲、乙两队合做4天后，剩下的工程由丙队做，丙队还要做几天才能完成任务？（省市）分析1先求出甲、乙两队合做 4天完成了工程的几分之几，再求剩下的工程，再除以丙队每天的工作量，即得丙队还要做的天数.解法1甲、乙合做4天完成的工程？剩下的工程有多少？1-=丙队还要几天完成？（天）综合算式： 1-÷=1-÷4÷=1-÷=（天）.分析2先求出甲、乙合做4天的工作量由丙队独做需要几天，再用丙独做全工程用的15天减去这个天数，即得丙队还要做的天数.解法2甲、乙合做4天完成多少？=甲、乙合做的工程由丙独做需几天？÷=11（天）剩下的工程丙队还要几天完成？15-11=4（天）综合算式： 15-÷=15-×4÷=15-÷=15-11=4（天）.分析3把丙队独做全工程需用天数看作“1”.先求出甲、乙合做后剩下的工程，即丙队还要做天数的对应分率，最后求出剩下工程丙队还需几天完.解法3甲、乙合做了工程的几分之几？还剩下全工程的几分之几？1-=丙队完成剩下的工程还需几天？15×=4（天）综合算式： 15×1-=15×1-=15×=4（天）.分析4根据“剩下工程=总工程-甲乙合做的工程”这一等量关系，列方程解.解法4设丙队还要x天完成.=1-=1-x=÷x=4答：丙队还要做4天才能完成任务.评注比较以上四种解法，解法1和解法3是较好的解法.解法1是解工程应用题的一般方法，容易理解.解法3是运用分数乘法应用题的解法，比解法1的思路更直接.另外，本题还可用最小公倍法和正比例来解，读者可试解一下.例5     一项工程，甲、乙两队合做20天完成.已知甲、乙两队工作效率的比是45.甲乙两队单独完成这项工程各需要多少天？（省市）分析1甲乙两队的工作效率和是，又知甲乙工作效率的比是45，由此运用按比例分配的方法，分别求出甲、乙两队的工作效率.再用总工作量“1”分别除以甲乙的独做效率，即得甲乙独做全工程的天数.解法1甲队每天完成多少工程？乙队每天完成多少工程？甲队独做全工程需几天？1÷=45（天）乙队独做全工程需几天？1÷=36（天）综合算式：甲队：1÷（）=1÷=45（天）乙队：1÷（）=1÷=36（天）.分析2因为“工作量÷工作效率=工作时间”，工作时间一定，所以工作量和工作效率成正比例.即甲乙两队工作量的比是45，所以甲20天完成了全工程的，乙队20天完成了全工程的.由此可分别求出甲、乙独做全工程各需多少天.解法2甲队独做全工程需要多少天？20÷=20×=45（天）乙队独做全工程需要多少天？20÷=20×=36（天）分析3由分析2可知，甲乙完成工作量的比是45.因为他们的工作效率一定，所以他们各自完成的工作量与所需的时间成正比例.由此可分别列比例式，求出两队的独做时间.解法3设甲队独做需x天完.204=x（4+5）4x=20×9x=20×9÷4x=45设乙队独做全工程需要y天.205=y（4+5）5y=20×9y=20×9÷5y=36答：略.评注解法1是解工程应用题的一般方法，易于理解，但思路较曲折.解法2是运用分数除法应用题的方法来解的，思路简单明白，运算也较简便，是本题的较好解法.解法3虽与解法2的思路、方法都不同，但两者的数量关系是一样的.例6   修一段公路，甲队单独修需要16小时完工.甲乙两队合修4小时后，剩下的由乙队又用小时修完.这段公路全部由乙队修筑需要几小时完工？（省市南岗区）分析1乙队先后共修了4+=小时.先求乙队共修了这段路的几分之几，再求乙队的工作效率，最后看这段公路“1”里包含几个乙队的工作效率，即乙队独修需几小时.解法1乙队共修了全长的几分之几？1-×4=乙队先后共修了几小时？4+=（小时）乙队每小时修全长的几分之几？乙队独修全长需几小时？1÷=14（小时） 综合算式：1÷（1-×4）÷（4+）=1÷（1-）÷=1÷=1÷=14（小时）.分析2把乙队独修全长需要的时间看作“1”.由分析1可知，乙队先后共修了小时，修了全长的，根据分数除法的意义求出乙队独修全长需要几小时.解法2（4+）÷（1-×4）=÷=14（小时）.分析3根据“甲队修路+乙队修路=全路长”这一等量关系列方程解.解法3设乙队独修需x小时完.×4+×（4+）=1×=1-x=1÷x=14答：这段公路由乙队独修需14小时完工.评注比较以上三种解法，解法2的思路最简捷，运算最简便，是本题的最佳解法.例7   一项工程甲队单独做要15天才能完成，乙队单独做12天才能完成，如果甲队先做3天后，剩余的工作两队同时去做，还要多少天可以完成？（省市）分析1先求出甲队先完成了工程的几分之几，那么即可求出剩下的工程，再用剩下的工程除以甲、乙队的工作效率和，即得甲、乙队合做还要多少天完.解法1甲队先做了多少？×3=剩余的工作有多少？1-=两队合做还要多少天完？÷（）=（天）综合算式：（1-×3）÷（）=（1-）÷=÷=（天）.分析2把两队合做全工程的时间看作“1”.先求出两队做全工程需要多少天，再求剩余的工程是全工程的几分之几，最后求出两队还要多少天完成.解法2甲乙合做全工程需要几天？1÷（）=（天）两队要合做全工程的几分之几？1-×3=两队还要多少天可以完成？×=（天）综合算式： 1÷（）×（1-×3）=1÷×=×=（天）.分析3根据“甲队先做的工作量+两队合做的工作量=工作总量”列方程解.解法3设两队还要x天完成.×3+（）x=1x=（1-）÷x=分析4剩余的工作由甲独做要用15-3=12（天）.把剩余的工作看作定量，那么所需的时间和工作效率成反比例.由此列方程解.解法4设两队合做还要x天完.×（15-3）=（）x×12=x x= x=答：剩余的工作两队还要天可以完成.评注以上四种解法各有特点.解法1是一般解法，最容易想到，运算较简便，是较好的解法.解法2是分数应用题的解法，思路更直接.解法3和解法4都是方程解法，但等量关系不同.读者可灵活选用.例8   仓库有45吨化肥，甲汽车单独运10小时完成，乙汽车单独运15小时完成.用甲乙两辆汽车同时运，多少小时可以运完？（省江都县）分析1先求两车每小时各运多少吨，再求两车每小时共运多少吨，最后用总吨数除以两车每小时运的，即得两车同运所需时间.解法1甲车每小时运多少吨？45÷10=4.5（吨）乙车每小时运多少吨？45÷15=3（吨）两车每小时运多少吨？4.5+3=7.5（吨）两车同时运需几小时运完？45÷7.5=6（小时）综合算式： 45+（45÷10+45÷15）=45÷（4.5+3）=45÷7.5=6（小时）。分析 2先求出两车每小时共运总吨数的几分之.几？再求两车每小时共运多少吨，再看总吨数里包含几个这样的吨数，就是两队合运需几小时.解法2两车每小时运货的几分之几？两车每小时运货多少吨？45×=7.5（吨）两车合运几小时完成？45÷7.5=6（小时）综合算式： 45÷45×（）=45÷45÷=45÷7.5=6（小时）.分析3甲车每小时运化肥的，乙车每小时运化肥的，两车每小时运化肥的（）=.把化肥总吨数看作“1”，“1”里包含几个，就是两车同运几小时完成.解法31÷（）=1÷=6（小时）.分析4根据“甲车运肥+乙车运肥=化肥总量”这一等量关系列方程解.解法4设两车同运x小时完.x+x=1（）x=1x=1÷x=6或（）x=1 x=1÷（）x=6答：两车同时运6小时可以完成.评注比较以上四种解法，解法3的思路最简捷，运算最简便，是本题的最佳解法.例9    甲乙两地相距630千米，客车和货车同时从两地出发，相向而行.客车行完全程需14小时，货车行完全程需21小时.两车相遇时各行了多少千米？（市徐汇区）分析1先求客车和货车的速度各多少，再求两车的相遇时间，最后用两车的速度分别乘以相遇时间，即得每车各行多少千米.解法1客车每小时行多少千米？630÷14=45（千米）货车每小时行多少千米？630÷21=30（千米）两车几小时相遇？630÷（45+30）=（小时）相遇时客车行多少千米？45×=378（千米）相遇时货车行多少千米？30×=252（千米）综合算式：客车： 630÷14×630÷（630÷14+630÷21）=45×630÷（45+30）=45×=378（千米）货车： 630-378=252（千米）分析2先求出甲车的速度，再运用工程应用题的解法求两车的相遇时间，然后用甲车速度乘以相遇时间即得甲车行多少千米.最后再求货车的行程.解法2客车每小时行多少千米？630÷14=45（千米）两车几小时相遇？1÷()=（小时）客车行了多少千米？45×=378（千米）货车行多少千米？630-378=252（千米）综合算式：客车：（630÷14）×1÷（）=45×1÷=45×=378（千米）货车：630-378=252（千米）分析3因为“路程÷速度=时间”，时间一定，所以客车和货车的路程比等于速度比即=32.由此可运用按比例分配的方法分别求出两车各行了多少千米.解法3客车与货车所行路程的比？=32客车行了多少千米？630×=378（千米）货车行了多少千米？630×=252（千米）综合算式：客车：630×=378（千米）货车：630×=252（千米）.答：略.评注比较以上三种解法，解法1最繁，但其思维难度小，也最容易想到.解法3的思路简单明白，运算最简便，是本题最佳解法.如果由分析3继续分析，运用分数应用题解法也可求出两车各行多少千米.例10   一项工程，甲单独做40天完成，乙单独做30天完成，二人合做若干天后，甲临时调走，乙继续完成这项工程，一共用27天.求乙单独工作了多少天？（省市）分析1把全工程看作“1”.先求出乙共完成的工程，再求出甲完成的工程，然后再除以甲的工作效率即得甲做了几天，即甲乙合做的天数.最后用27天减去甲乙合做的天数，即得乙单独做了多少天.解法1乙共完成工程的几分之几？×27=甲完成了工程的几分之几？1-=甲乙合做了多少天？÷=4（天）乙单独做了多少天？27-4=23（天）综合算式： 27-（1-×27）÷=27-÷=27-4=23（天）.分析2假设甲没有被调走，那么甲乙合做27天要超过全工程的（）×27-1=.这部分工程就是甲留下完成的，因此求出甲完成工程的需要几天，就是乙单独又做了几天.解法2甲乙的效率和是多少？=甲乙合做27天完成工程的几分之几？×27=超过全工程的几分之几？-1=乙单独工作了多少天？÷=23（天）综合算式： （）×27-1÷=×27-1÷=-1÷=÷=23（天）. 分析3根据“甲乙合做的工作量+乙单独做的工作量=总工作量”列方程解.解法 3设乙单独工作了x天.（）×（27-x）+x=1×27-x+x=1（-）x=×27-1 x=23分析4甲乙合做全工程需要1÷（）=（天），那么实际多用27-=（天）.这是因为甲应完成的工作由乙天完成，由此可求若甲不调走，甲还应做（天），所以乙独做的时间为+=23（天）. 解法4甲乙合做全工程需几天？1÷（）=（天）全工程延长了几天？27-=（天）乙天的工作量甲需几天完？（天）乙单独做了几天？+=23（天）.分析5假设乙独做27天完成全工程，那么比它实际每天多做全工程的.这是因为把甲完成的工作量平均分了27等份，每份恰是.因此把每份工作量乘以27即得甲完成的工作量，再除以甲的工作效率，即得甲乙合做天数，由此可求乙独做了多少天.解法5 27-（）×27÷=27-×27×40=27-4=23（天）.答：乙单独工作了23天.评注比较以上五种解法，解法1、解法2、解法5各有特点，是本题的较好解法.读者可根据实际情况，选择合适的方法.16 / 16