2023年高数考研视频笔记.docx

文登考研高等数学笔记研究对象：函数。研究方法：极限研究思想：以不变代替变，消除误差取极限研究内容：微积分：（一元函数微积分）通过 空间解析几何转化为（多元函数微积分）以及其实际应用；应用：无穷级数和常微分方程；一元函数微积分：一元函数微分学（函数、极限和连续）、（导数与微分）、通过中值定理4个这座桥实现（导数与微分的应用）+积分学（不定积分）、（定积分及反常积分）、（应用）维数增长多元函数微积分：微分学：（函数、极限和连续）、（偏导数，全微分）、（二元函数泰勒公式【未考过】）、（极值应用）+积分学：重积分（二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分）、（重积分应用）、（无穷区域上的二重积分【也许在概率记录二维随机变量考】）注：一元函数微积分与多元函数微积分学之间的联系与差别。课程讲解部分函数、极限、连续一、 函数1. 概念：x属于I，有f=f（x）相应法则后，y属于D；定义域、y=f（x），y=f（+）表达同一函数关系、由实际问题所建立的函数【重点】2. 性质奇偶性：y=f(x),x属于（-t，t），偶函数图像关于y轴对称，y=f(x)=f(-x);奇函数图像关于原点对称，y=f（-x）=-f(x);注：1、f(x)=1/2f(x)+f(-x)+1/2f(x)-f(-x)2、奇偶性在求导，积分中的应用 周期性：存在T>0,f(x+T)=f(x),则f（x）周期为T的周期函数注：周期性在求导函数特性以及积分中的应用。 增减性：若x1<x2,有f(x1)<f(x2),则单调增；或f(x1)>f(x2)，单调减;注意大于等于，小于等于的情况 注：1.函数的增减性与讨论的区间有关。 2.运用导数的符号鉴定增减性（后讲） 3.增减性是证明不等式的一个重要工具（后讲） 4.有界性，若存在f(x),对任意的x属于I，存在M>0,使得|f(x)|<=M,则f(x)在I上有界。 有上界，f(x)<=M;有下界：f(x)>= -M5.单调增有上界，单调减有下界；有界与讨论的定义域区间有关，可与求函数的最大值和最小值，极大值、极小值相关联起来。3函数的分类 1.反函数；y=f(x) > x=f-1(y) 存在性：为单调函数 注：y=f(x)和x=f-1(y)是同一个图形，代表同一条曲线，y=f(x)和y=f-1(x)是关于一三象限角平分线对称的3. 基本初等函数(*)指数函数、对数函数、三角函数，反三角函数规定必须规定对这积累函数的定义域、值域、特性要非常清楚。 列： y=e1/x2arctan (x2+x+1)/(x-1)(x-3)的垂直渐近线有几条？解：垂直渐近线是无穷间断点相应的。有x>定值时。Y>无穷。这里需要注意的是：由于arctan x是基本初等函数有界的。没有无穷间断点。故这里只有一条垂直渐近线。4. 复合函数；y=f(u),u=g(x),则y=fg(x)是复合函数，并非任意两函数均可复合，且考研考将复合函数拆成多个函数，即：复合函数的求导。5. 初等函数；通过有限次四则运算或者复合构成；6. 参数方程 x=x(t),y=y(t)；得出y=y(x)【2023考了参数方程求导】7. 隐函数，F（x,y）=0；这里与微分方程可联系起来。8. 分段函数【*】每年必考；涉及4类：考求导、积分、解微分方程（1）分段定义的函数（2）y=|f(x)|等形式（3）y=maxf(x),g(x);x属于a,b等分段定义形式（4）y= f(x) 取整函数二、 极限1.定义：数列极限、函数极限定义，看懂书中例题即可。2023年之后没考过 注：是任意的，、N存在、不唯一，=(),N=N(). limnXnA等价于存在>0,对任意的N>0，可以找到某个n>N,使得|Xn-A|>= 极限由变化过程【对自变量而言，N和】以及变化趋势【对函数而言】例如： limn-x+1+x+1x2+sinx错解：消除无穷大因子；即可分子分母同除X2 即可，结果为2.【但是结果是错的，由于没考虑变化过程，x<O的】可有一个负号。正解：前面都有一个负号，结果为0单边极限，即左极限和右极限；f(x-0)和f(x+0)。极限存在的充要条件：左右极限都存在且相等；同理：f()=f(-)=f(+)=A2极限的性质； （1）唯一性 （2）局部保号性；若limx-X0f(x)=A>0(A<0),则一定存在X0的去心邻域，有f(x)>0【f(x)<0】；极限大于0，则函数大于0 例如：设Y=f(x)在x=a附近连续，且limx->afx-f(a)(x-a)2=1,则 （D）A f(a)不存在B f(a)存在，但不为0C a为f（x）的极大值点D a为f（x）的极小值点分析：limx->afx-f(a)(x-a)2=1>0，则一定存在a的去心邻域，在其内，有fx-f(a)(x-a)2>0,即f(x)>f(a),故a为极小值点。注：假如f(x)在x=X0及其附近有定义，f(x)>0(<0),且limx->x0fx=A存在，则A0（3）局部有界性：f(x)极限存在，在X的某一去心邻域，则f(x)有界.例如：y=f(x)=tanxsin(x-2)xx-1(x-2)2 在下述哪个区间有界？AA（-1,0） B（0,1） C(1,2) D(2,3) 6.无穷小的比较limfx=0,limgx=0,若limf(x)g(x)=k,则（1） k0,且k为常数，称f(x),g(x)为同阶无穷小；（2） k=1，则称f(x),g(x)为等价无穷小，f(x)g(x)注：等价无穷小具有f(x)f(x)；f(x)g(x) => g(x)f(x);以及，翻身性，对称性传递性（3） k=0时，f(x)是比g(x)高阶的无穷小，即f(x)=o(g(x)（4） k=无穷大；f(x)是比g(x)低阶无穷小注：若limf(x)g(x)k=t0,则存在f(x)是g(x)的t阶无穷小。无穷小与函数之间的关系；若limf(x)=A，则 f(x)=A+；其中lim （x）=0;运用无穷小的等价求极限。7.两个重要极限(1) limx->0sinxx=1 (夹逼定理) 推广：lim ? =0;则 lim sin?=1； 00型；学会配分母。凑成重要极限形式；需要注意常见的几个等价无穷小(2)limn1+1nn=e limn01+nin=e均可推广：1形式 若lim ?=0;则lim (1+?)1?=e 三、 连续1. 定义等价定义定义1，设f(x)在X0及其附近有定义，x>y的增量y=f(X0+x)-f(X0),若limx>0y=0,则称f(x)在X0点连续。定义2：若limx>X0fx=f(X0),称f(x)在x=X0点连续。【极限值等于函数值】注：（1）limx>X0-f(x)=f(X0) 则f(x)在X0点左连续。limx>X0+f(x)=f(X0) 则f(x)在X0点右连续。（2）若f(x)在（a,b）内点点都连续，则称f(x)在此区间内都是连续的。（3）若f(x)在（a,b）内连续，在x=a右连续，在x=b左连续，则函数f(x)在a,b上连续2.连续函数的运算注：基本初等函数在其定义域内都是连续的。初等函数在定义区间内连续，在定义的点不一定连续；如：y=arc sin(x2+1),在x=0不连续【由于在0附近没有定义】2. 间断点【不连续的点】F(x)在x=x0连续，limx>X0fx=f(X0)意味着：（1）f(x)在x0处有定义（2）limx>X0fx存在（3）limx>X0fx等于函数值f(x0)假如f(x)在x0处有以上三条至少有一条不成立，则那么x0称为f(x)的间断点；注：间断点的分类：x0为间断点1.若f(x0-0)，f(x0+0)存在，则x0称为第一类间断点；特别的；若f(x0-0)=f(x0+0)f(x0)，称x0为可去间断点；若f(x0-0)f(x0+0)，称x0为跳跃间断点2. 若f(x0-0)，f(x0+0)至少有一个不存在，则属于第二类间断点。Y=sin1/x：在x=0处是震荡型间断点，y=1/x在x=0处是无穷间断点。注：无穷间断点在求垂直渐近线、反常积分中的应用。例如：设y=x3-x2x2-11+1x2 的无穷间断点有：解：化简为y=x2（x+1）x-1(x+1)1+x2x 有1个间断点，x=-1,由于当x->0时极限是存在的。4.闭区间上连续函数的性质。设y=f(x)在a,b上连续，则：【一定是闭区间上的】(1) y=f(x)在a,b上必有最大值和最小值。即存在x1,x2属于a,b，对任意的x属于a,b，有f(x)<=f(x2),f(x)>=f(x1)。最大值和最小值是唯一的，但是取得最大值和最小值的点是不唯一的。若最大值和最小值相等，则为常数函数。(2)介值定理：f(x)必能取得介于最大值和最小值之间的一切值。注：1、闭区间上的连续函数一定是有界的。由于有最大、小值2、f(x)在a,b上连续，f(a)f(b)<0则至少存在属于（a,b）使得f()=0【零点定理】典型例题设xn,yn,limn->xnyn=0,则成立的是：DA，若xn发散，则yn必发散B若xn无界，则yn必有界C若xn有界，则yn必为无穷小D若1xn无穷小，则yn比为无穷小解析：可举例说明选项即可。,limn->1xnxnyn=limn->yn=0,故D对。3. 证明limn->yn=limn->ann!（a>0）存在证明：1.单调有界。2.夹逼定理Yn=ann!=anan-1(n-1)!=anyn-1; limn->an=0则存在N>0,使得n>N时，an<1,即n>N时，yn<yn-1,即yn是单调减小的。【现在看是否有下界】；又由于yn>0，故0为下界，故极限存在。且极限为0；单调有界数列必有极限合用于有递推公式的数列。4. 求limn->n（1n2+1+1n2+2+1n2+3+1n2+n）解：运用夹逼定理；n2n2+n<=n1n2+1+1n2+2+1n2+3+1n2+n<=n2n2+1由于两边极限都是1，故原极限是15.求极限（1）limx->+x(x+1-x) (2) limx->1(11-x-31-x3)解：（1）分子有理化；limx->+x（x+1+x）=limx->+11+1x+1=12(2)通分化简即可。lim x->11+x+x2-31-x3=lim x->1x-1+x-1(x+1)1-x(1+x+x2)=-lim 1+x+11+x+x2=-1x->1lim 2+tanx-2+sinxx3x->0解：通分化简即可得答案：142例：在x>0+时，与x等价的无穷小是：BA1-ex B.ln1+x1-x C.1+x-1 D.1-cosx常用等价无穷小【ex-1x、（1+x）x、】 ln(1+x)等价于x； 已知lim 1x-(1x-a)exx->0=1,则a为（C）A、 0 B 、1 C 、2 D 、3 解：lim 1x-1xex+aex=x->0limx->01x(1-ex)+aex=limx->0(-xx+aex)=-1+a=1,a=2例：已知limx->0（x+2ax-a）x=8,求a解：拆底数；limx->0（1+3ax-a）x-a3a3axx-a=e3a=8;故a=ln2注：limx->0a0xn+a1xn-1+an-1x1+anb0xm+b1xm-1+bm-1x1+bm=当m=n时，结果：a0b0当n>m时，结果：当n<m时，结果：0例：证明方程x-asinx-b=0,(a，b>0)至少有一正根，且不大于a+b.证明：令f(x)= x-asinx-b，则f(x)在0,a+b上连续，并且有：f(0)=-b<0f(a+b)=a+b-asin(a+b)-b=a-asin(a+b) 0;(1) f(a+b)=0，则取根为a+b；(2) 若f(a+b)>0,有f(0)f(a+b)<0;有零值定理得存在属于(0,a+b)使得f()=0;得证。例：设f(x)在（-，+）上连续，且limx->fx存在，证明f(x)在（-，+）有界。证明：limx->fx=A存在N>0，当X>N时fx有界，设|f(x)|<=A+1,又由于f(x)在（-，+）上连续设fx在-，+有界，设|f(x)|<=B，取M=max|A|+1,B,则对任意的x属于（-，+）有|f(x)|<=M导数与微分一、 导数1. 定义：设f(x)在x=x0及其附近有定义，xy=fx0+x-fx0,若limx->0xy=limx->0fx0+x-fx0x 存在，则称y=f(x)在x=x0处可导，且极限值称为f(x)在x=x0的导数；记为，f(x0)、dydx|x=x0.注：等价定义：f'(x0)=limx->x0fx-f(x0)x-x0; 单侧导数：f_ (x0)= limx->x0-fx-f(x0)x-x0; f+ (x0)= limx->x0+fx-f(x0)x-x0; F(x0存在f_(x0)=f+(x0).导函数f(x)在（a,b）内点点可导相应的新函数，则导函数f(x)。2. 几何意义：y=f(x)曲线在某点处切线的斜率。F(x0)存在，则切线方程y=f(x0)+f(x0)(x-x0); ,若函数不可导，在曲线在改点处任有切线的也许【尖点】。可导切线一定存在。3 可导与连续的关系：可导必连续，但连续不一定可导。典型例子：y=|x|,在x=0处连续，但不可导，切线也不存在。 可导：limx->0yx=f'x0,则yx=f'x0+即：y=f'x0x+x; limx->0y=0则fx在x=x0连续注：（1） 设f(x)在x=0及其附近有定义，f(0)=0,且limn0fen-1 存在，证明fx在x=0处可导。证明：limn0 f0+en-1-f(0)en-1en-1n存在则，limn0 f0+en-1-f(0)en-1存在，故f(x)在x=0处可导。（2） 设f(x)在x=0及其附近有定义，且limh01h2f(eh2-1)存在，且f(0)=0,问f(x)在x=0处是否可导？解：这个极限limh01h2f(eh2-1)存在只能保证f+(0)存在，由于eh2-1>0恒成立。只能反映0+的趋向4求导法则：（四则运算法则）略 5、反函数求导 y=f(x)，x=f-1(y).dy/dx=1/dx/dy;即：反函数的导数等于原函数导数的倒数。6.复合函数求导。一层一层求导。链式求导法。7.参数方程的导数。X=x(t),y=y(t),dy/dx=dy/dt dt/dx=y(t)/x(t)8.隐函数求导。【复合函数求导思想；将y当作X的函数，是一个中间变量。】注：基本求导公式要熟记。二、 高阶导数【导数的导数】三阶导数以上的导数为高阶导数注：（1）按定义求f（x）=limx->0f'x0+x-f'x0x =limx->x0f'x-f'(x0)x-x0,三阶导数以此类推 (2)反函数的二阶导数 x=1y' 则x''=-y''y'2【错误】 x=1y'则x''=-y''y'21y' 【对的】 （3）参数方程的二阶导数 x=x(t) dydx=y'(t)x'(t) d2ydx2=y''tx't-x''(t)y'(t)x'(t)21x'(t) y=y(t) (4)fn(x)的一般表达式 Sinx, cosx,ln(1+x),xa ax.以及莱布尼茨公式【略】三、 微分1.定义注：（1）可微与可导的关系【可导必可微，两者等价,且A=f(xo)】 可微:y=Ax+o(x);yx=A+o(x)xlimx0yx=A=f'(x0) 可导：limx0yx=f'(x0)yx=f'x0+a,y=f(x0)x+o(x)求微分：dy=f(x0)dx;【注意这里的dx千万不能少】。问题：d(ex2)d(sinx)故意义吗？【有】微分的商。dydx:微商，即导数