2023年矩阵理论知识点整理.doc

三、 矩阵的若方标准型及分解 -矩阵及其标准型定理1 -矩阵可逆的充足必要条件是行列式是非零常数引理2 -矩阵=的左上角元素不为0，并且中至少有一个元素不能被它整除，那么一定可以找到一个与等价的使得且的次数小于的次数。引理3任何非零的-矩阵=等价于对角阵是首项系数为1的多项式，且引理4等价的-矩阵有相同的秩和相同的各阶行列式因子推论5 -矩阵的施密斯标准型是唯一的由施密斯标准型可以得到行列式因子推论6两个-矩阵等价，当且仅当它们有相同的行列式因子，或者相同的不变因子推论7 -矩阵可逆，当且仅当它可以表达为初等矩阵的乘积推论8两个等价当且仅当存在一个m阶的可逆-矩阵和一个n阶的-矩阵使得 推论9两个-矩阵等价，当且仅当它们有相同的初等因子和相同的秩定理10设-矩阵等价于对角型-矩阵，若将的次数大于1的对角线元素分解为不同的一次因式的方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按照反复的次数计算）就是的所有初等因子。初等因子被不变因子唯一拟定但，只要-矩阵化为对角阵，再将次数大于等于1的对角线元素分解为不同的一次方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的必须反复计算）就为的所有初等因子，即不必事先知道不变因子，可以直接求得初等因子。矩阵的若当标准型定理1两个阶数字矩阵A和B相似，当且仅当它们的特性矩阵等价N阶数字矩阵的特性矩阵的秩一定是n 因此它的不变因子有n个，且乘积是A的特性多项式推论3两个同阶矩阵相似，当且仅当它们有相同的行列式因子，或相同的不变因子，或相同的初等因子。定理4 每个n阶复矩阵A都与一个若当标准型矩阵相似，这个若当标准型矩阵除去其中若当块的排列顺序外是被矩阵A唯一拟定的。求解若当标准型及可逆矩阵：根据数字矩阵写出特性矩阵，化为对角阵后，得出初等因子，根据初等因子，写出若当标准型，设（），然后根据用初等行变换化为阶梯形矩阵，解非齐次方程组时，使增广矩阵的秩与系数矩阵的秩相同，在拟定自由未知量时，除非零首元外，均可以取为自由变量，运用回代法求通解。得到P（X1X2X3）方阵矩阵的最小多项式定理1 矩阵A的最小多项式整除A的任何零化多项式，且最小多项式唯一。N阶数字矩阵可以相似对角化，当且仅当最小多项式无重根若要证明A可以相似对角化，则需证明A的最小多项式无重根 。定理2矩阵A的最小多项式的根一定是A的特性值，反之，矩阵的特性值一定是最小多项式的根。求最小多项式：根据数字矩阵写出特性多项式，根据特性多项式得到最小多项式的形式，然后根据拟定最小多项式。矩阵的若干分解设为阶复矩阵，则存在酉矩阵和上三角阵使得方法：根据数字矩阵列出，正交化单位化后，得到，即根据得R。奇异值分解设是阶复矩阵，是的所有的非零奇异值，则存在阶酉矩阵、阶酉矩阵，使得其中，是对角阵，等式是的奇异值分解对于一个阶复矩阵来说，阶方阵是半正定的，及特性值是所有大于或者等于，这些特性值的平方根便是的奇异值。求的奇异值分解：根据数字矩阵得到必须是，否则错误，根据特性矩阵根据特性矩阵求特性值化简矩阵时，只能初等行变换，化为三角阵得到特性值，并计算出每个特性值相应的特性向量特性向量赋值时，自由变量是排除第一个和拐角处。自由变量的选取直接决定P Q。，则 满秩分解设则存在列满秩矩阵和行满秩矩阵使得求的满秩分解：根据数字矩阵写出分块矩阵（）进行初等行变换得（）其中，根据求得的P求出一般根据随着矩阵求逆计算时主义转置和负号然后对进行列分块，得到。则 第二章 内积空间实内积空间（欧氏空间）A为过渡矩阵（对称且正定）N维欧氏空间V中两组不同基的度量矩阵是协议的。设两组基及两组基之间的过渡矩阵正交基及正交补由欧氏空间V的任意一组基都可以构造出V的一组标准正交基。任一非零欧氏空间都有正交基和标准正交基。由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交阵。设V1V2是欧氏空间V的两个正交基子空间，则V1+V2是直和，两个子空间互为正交补正交变换要证明一个变换是正交变换，则需要先证明是线性变换说明是线性变换后再证明其保持内积不变正交变换的等价条件证明：对称变换复内积空间（酉空间）酉空间两组标准正交基的过渡矩阵一定是酉矩阵在实内积空间中，两组标准基之间的过渡矩阵一定是正交阵酉空间V的线性变换满足酉空间内变换的等价条件酉对称变换（Hermite变换）：定理：若A是n阶方阵（1） 若A是复矩阵，则A是正规阵，当且仅当A酉相似于对角阵。即（2） 若A是实矩阵，且A的特性值全是实数，则A是正规阵，当且仅当正交相似于对角阵，即证明：1.必要性：设存在酉矩阵P使得则，即为正规阵2.充足性：若A是正规阵，则满足则。推论：任一Hermite 矩阵A酉相似于对角阵，任一实对称矩阵A酉相似于对角阵，推论：设A是n阶正规阵（1） 是Hermite矩阵，当且仅当A的特性值全是实数（2） 是反Hermite矩阵，当且仅当A的特性值全是0或者纯虚数（3） A是酉矩阵，当且仅当A的每个特性值的模长是1 。证明：定理：设是n阶Hermite 矩阵（实对称矩阵）则证明：一线性空间与线性变换数域及多项式数域：关于加减乘除所有封闭，如有理数集，实数集，复数集线性空间零元唯一，负元唯一基变换与坐标变换由基的过渡矩阵是可逆的。线性子空间（关于加法和数乘封闭）平凡子空间：零子空间和线性空间自身维数公式：线性空间的等价条件